三轴磁强计的空间立体校正

赵育良，黄婧丽*，毛日升

（1.海军航空大学青岛校区，山东 青岛 266041；2.91911 部队，海南 三亚 572000）

三轴磁强计［1］（Three Axis Magnetometer，TAM）是测量磁场强度的传感器，可以提供精确和可靠的近地磁场向量信息，并且不会随时间产生漂移，还可以和陀螺仪等其他传感器一起提供位置信息。因此，广泛应用于导航系统等领域。然而，由于受制造工艺的限制，TAM 的输出有着固有误差（如非正交误差、尺度因素误差、零位偏差）［2］，并且经常受各种干扰磁场［3］（如软磁、硬磁、测量噪声）影响。因此，在应用之前进行校正具有重要意义，校正是当前三轴磁强计研究的重点、难点以及亟需解决的关键问题。

磁强计校正经典方法为摇摆算法（swing algorithm）［4］。在已知航向角的情况下，水平仪绕着唯一垂直方向的轴旋转。这种方法虽然简单易操作，但需要外部独立航向测量信息。与此同时，该方法是航向校正方法，不适合除航向确定以外的其他校正。针对这一情况，文献［5-6］提出了一种旋转校正方法，该方法不需要外部独立航向信息，并且能提供多种误差源的校正。球形校正都是基于一个事实，即在补偿地点，无论传感器处于什么方向，地磁场幅值应相同。在这种情况下，通过旋转设备的3 个轴得到的测量值应该在一个球面上，其中球面半径为地磁场强度。

然而由于固有误差和干扰磁场的存在，测量值生成的是椭球而不是标准的球［7］。因此，通过经典的最小二乘法以代数拟合的方式极小化测量值与椭球体之间的误差，计算简便，不需要迭代，是应用最广泛的方法之一［8］。但是直接拟合有可能得到任意二次曲面，并不符合实际的物理意义［9］。

针对以上这些情况，本文在建立了较完整的误差校正模型基础上，提出采用最小二乘法对校正模型参数进行最优估计，并加入了更符合实际物理意义的椭球约束，使得结果不是任意二次曲面，通过这种方式更完整地校正了误差源。

1 TAM误差校正模型

磁强计的测量误差包括：传感器零位偏差、尺度因素误差、非正交误差、测量噪声误差、硬磁干扰误差和软磁干扰误差，下面分别加以分析。

受制造工艺限制，各个传感器特性不一致，不同的TAM 具有不同的零位偏差chi和不同的尺度因子。尺度因素误差矩阵Dsf可以表示为

其中，sx、sy、sz为3个轴的尺度因子。

TAM 的敏感轴不能完全正交，从而导致非正交误差，误差矩阵Dno为

其中，ρ为实际ys轴与理想轴的夹角；ϕ为实际zs轴与理想轴的夹角在xsOszs平面的投影；λ为实际zs轴和理想轴的夹角在ysOszs平面的投影。

受热特性和电路测量因素的影响，磁强计输出不可避免地具有测量噪声，可建模为高斯白噪声为ε、服从均值为0、方差为σ2的正态分布。

由于飞行器的结构件或电子设备中包含磁铁性材料，所以TAM 的测量值会受到除地球磁场外的其他磁场干扰。如果干扰磁场为永久的不变磁场，则称为硬磁干扰。硬磁干扰在磁强计的输出中表现为固定零位偏移c0。如果干扰磁场是随载体姿态变化的，则为软磁干扰。软磁干扰在TAM 的输出中表现为变化的零位偏差，软磁干扰误差矩阵Dsi为

式（3）中，αij(i，j=x，y，z)为由j轴外部磁场诱导产生的磁场在i轴上的投影。软磁干扰误差可等效为尺度因素误差、非正交误差和非对准误差的综合效应。

综合这几种误差，TAM校正数学模型可以表示为

其中，Bm和Bb为载体坐标系下TAM 的实际输出值与无误差源干扰的理论真实值，它们都包含xs、ys、zs3 个轴的分量，即

令DE=DsfDnoDsi，c=DEchi+c0，则TAM 误差校正数学模型可表示为

接下来的任务即为通过一系列已知实际的测量点求解校正模型中的未知参数DE和c，以便能够补偿磁强计输出受误差源干扰的部分。

2 空间旋转立体校正

忽略ε，设

为了求解椭球参数，用代数法表示理想测量点与待求椭球之间的距离，则代价函数可以写为

3 校正模型参数的求解

如果没有约束存在，式（11）可求解出任意二次曲面，而在实际情况中，可能只关心某种具体类型的二次函数。由于磁强计校正模型最终形式为椭球体，因此本文加入椭球约束，使得拟合结果为严格的椭球体。这样做虽然有可能牺牲了精度，但结果符合实际物理意义，更有价值。根据上文的分析，磁强计校正问题就可以转化成下面带椭球约束的最小二乘问题，即

这就是一个广义特征值问题，即

矩阵T代表约束。在约束矩阵T中只涉及x2、y2、z2、xy、yz、xz这几个非线性项，而与线性项x、y、z无关。也可以说T中的大部分元素为0。式（13）中的向量和矩阵可以分解为

其中，T1代表可以确定二次曲面为椭球的约束矩阵。则式（11）可以写为

通过上述分析，现可以通过求解Ypol满足约束1β1=const 的特征向量β1来估计磁强计误差校正参数，求解如下广义特征值问题：

对于椭球拟合的约束，可选择为

当4βJ−>0时，参数β代表椭球体。同时，椭球体短半径长度是长半径一半以上时，可以得到4βJ−>0，即k=4。但不是所有椭球体都满足这个充分条件，长瘦和扁的椭球体不满足4βJ−>0 的条件。对于任意椭球体来说，总是存在k使得kβJ−>0。可以看出当椭球体短半径至少是长半径的倍时，可得到kβJ−>0。为了保证拟合结果为椭球，可以设计一种迭代方法，使k从一个较大的值开始设定T(k)，估计参数向量β，直到估计的参数向量β可以得到椭球体，这样就可以保证拟合的是椭球体。

4 仿真验证

为了验证上文方法的有效性，下文进行数值仿真实验 。假设测量地点的地磁场为[10 000 18 000 15 000]TnT；测量噪声为高斯白噪声，均值为0，方差=0.94；测量点数量n=1 000；真实误差校正模型参数如表1-2所示。

表1 误差参数Tab.1 The error parameters

表2 软磁干扰误差参数Tab.2 The soft iron parameters

仿真实验流程如下：

step 1：设定噪声方差幅值，通过以上仿真参数及TAM误差校正模型（11）模拟校正前的实际测量值；

step 2：由带椭球约束的最小二乘法解得椭球参数，即可拟合出椭球体；

step 3：由椭球体求解出校正后的磁场测量强度，并与真实值B0进行比较。

当噪声方差幅值μ=1 000时，进行仿真实验流程step 1，结果如图1所示。

图1中，直线表示当地磁场强度的真实值，星型线表示受到误差干扰的实际磁场强度测量值。现利用这些测量值进行椭球参数的求解。椭球拟合结果如图2所示。

其中离散点表示当地磁场实际测量值，通过拟合可以得到图中的椭球体。在椭球体参数得到之后，即可按照上文第三部分对磁场测量值进行误差补偿，补偿后的磁场强度结果如图3所示。

图3 磁场强度补偿结果Fig.3 Compensation result of magnetic field density

图3中横坐标表示测量值序号，Line 1表示当地磁场强度真实值B0，Line 2 表示未校正的TAM 强度测量值，Line 3 表示校正后的TAM 强度测量值。从图3 中可以看出，未进行校正的磁强计输出不稳定且偏离真实值较多。校正后的磁强计测量值更接近真实值，消除了测量值偏差，基本可以稳定在真实值周围，误差有了较大的减小。

5 结论

针对大噪声未知环境下三轴磁强计校正问题，提出一种基于立体空间约束的校正方法。实验结果表明，较补偿前，噪声补偿后模型参数估计精度有了较大提高。