例说求二次函数最值的途径

钱健

二次函数是中学数学中的一种重要函数，其图象为一条抛物线.有关二次函数的问题比较常见，其中二次函数的最值问题较为复杂，通常要灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、方程思想来辅助解题.要求二次函数的最值，往往要讨论函数的对称轴、顶点的坐标、开口方向、单调性等.下面就两类二次函数最值问题及其解法展开讨论，并总结出一些解题的技巧、思路.

一、求不含参数的二次函数的最值

不含参数的二次函数最值问题比较常见，这类问题通常要求根据二次函数的解析式和定义域求最值.在求最值时，可先判定二次项系数的正负，以确定其图象的开口方向；然后将函数式化为顶点式 y =ax -h2+k .一般地，当二次项系数大于0时，抛物线的开口向上，函數在 R上有最小值 k；当二次项系数小于0时，抛物线的开口向下，函数在 R上有最大值 k.若函数的定义域不为 R，则需根据函数的对称轴 x =h 与定义域的位置关系，确定函数的单调性，进而求出最值.还可根据函数的解析式画出相应的函数图象，结合图象来确定最高点、最低点，以确定最值.