Euler示性数的相交数表示

刘昌莲，刘登品，唐九奇

（广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006）

伟大的几何学家陈省身（1911—2004）曾指出[1]：Euler示性数是大量几何课题的源泉和出发点。Eul‐er 示性数是一个经典的、众所周知的拓扑不变量，其涉及了组合中的Euler 定理、代数拓扑中的Euler-Poincaré公式、微分拓扑中的Poincaré-Hopf指标定理。

欧拉（Euler，1707—1783）发现[2]：对任何一个3维的凸面体P3，其顶点数V减去棱数E后再加上面数F，所得结果是2，该数记为χ(P3)，即有χ(P3)=V-E+F，称χ(P3)为凸面体P3的Euler 示性数。对于一般的高维组合对象，如单纯复形也有类似的Euler示性数定义。设K为单纯复形，记αq为单纯复形K的q维单形个数，则定义单纯复形K的Euler 示性数为χ(K)=特别地，当K为S2的一个单纯剖分，即K为3维凸多面体时，有χ(K)=2。令M是一个n维紧流形，K是M的一个单纯剖分，定义M的Euler示性数为χ(M)=χ(K)。该定义与单纯剖分的选取无关[3]。

此外，庞加莱（Poincaré，1854—1912）运用单纯同调方法把关于凸面体的Euler定理做了推广[1]，将上述流形M的Euler 示性数与拓扑不变量同调群Hq(M,Z)联系起来，从而生成Euler-Poincaré 公式[4]：，其中βq为Hq(M,Z)中自由部分的秩，也称为M的q维Betti数。

在向量场的相关理论中，Poincaré-Hopf 指标定理将Euler 示性数χ(M)与M上只具有孤立零点的C∞切向量场X联系起来，则有χ(M)=其中X(p)指的是切向量场X的奇点个数，Indp(X)表示X在奇点p的指标[5]。对于带边流形且边界上的向量指向向外，上述定理仍然成立[6]。对于更多的Euler示性数定义及研究概况可见文献[7]。

本文主要研究Euler示性数的另一种几何拓扑表示，即相交数表示。根据示性类理论，下文定义了流形M的Euler示性数为χ(M)=，其计算方法运用了Poincaré对偶的思想，所谓相交理论就是发掘了这个思想。由于相交数N1⋅N2是一个不变量，其与Kronecker积有关，故利用Poincaré对偶性将Euler示性数与相交数联系起来。可预见Euler示性数χ(M)可以用相交数N1⋅N2来表示，且本文证明了χ(M)=N1⋅N2。

1 预备知识

为了方便读者交流，本节列举了一些主要的概念以及所需的引理。

1.1 Thom同构定理与Euler类

Thom同构定理和Euler类在示性理论中起着重要作用，本文将从矢量丛的角度来介绍。

为同构映射，则称U为Thom类，φ为Thom同构。

Thom同构定理对矢量丛Euler类的定义有关键的作用，下面定义中的符号及含义与Thom同构定理保持一致。

定义1[8]（Euler 类）考虑投影π:E→B和零截口ρ:B→E，则πρ=IB，显然在矢量空间中有同伦ρπ ≃IE，所以映射π∗:Hk(B)→Hk(E)，ρ∗:Hk(E)→Hk(B)都为同构。构造如下映射

1.2 Thom-Pontrjagin构造

本节首先介绍管状邻域定理，再以此为基础得出Thom-Pontrjagin构造。最后，应用这一构造得出法丛的Euler类具体表达形式。在引入管状邻域定理之前，首先观察管状邻域的特征。若M是一个光滑流形，子流形N⊂M的管状邻域V是沿N在M法方向上扩张而成，即V与N在M中的法丛微分同胚。

引理2[8]（管状邻域定理）令M是一个光滑流形，N是M的一个光滑子流形。N在M中的法丛记为ν(N,M)，则N在M中存在一个管状邻域V，使得映射ϕ:ν(N,M)→V是一个微分同胚。在映射ϕ下，以N作为零截面在ν(N,M)中的包含关系与子流形N⊂M的包含关系等同。

将π:V→N看作是一个可定向的矢量丛且把N当作为零截面，则可定义如下映射

其中n=N的余维数=dimM-dimN，φ为Thom 同构，第二个映射为切除同构。由于i:N→M是包含映射，因此记上述映射为i!，则该过程称为Thom-Pontrjagin构造。

图1 交换图

由上积具有单位性的性质可知：i∗i!(1)=e(V)，1∈H0(N)。根据管状邻域定理有V≅ν(N,M)，故e(ν(N,M))=i∗i!(1)，此公式具有一般性。

1.3 流形的相交数

引理3[9]流形M在M×M中的对角嵌入相关的法丛与M的切丛同构。

2 主要结论

设M是一个可定向的n维光滑紧流形，记Δ:M→M×M为对角嵌入，其像为N1；又有嵌入映射s:M→TM是一个零截口，根据TM与法丛ν(N1,M×M)同构，N1在M×M中有管状邻域V与法丛ν(N1,M×M)微分同胚，最终s(M)可嵌入到M×M中并记其在M×M的像为N2。

定理1设M是一个可定向的n维光滑紧流形，N1和N2如上所述，则有χ(M)=N1⋅N2。

证明通过对比注记4中N1⋅N2和χ(M)的具体表达式可以看出：若μ1=i1!(1)，则χ(M)=N1⋅N2。由于μ1是在M×M中的Poincaré 对偶性下i1∗[N1]的对偶上同调类，若在M×M中的Poincaré 对偶性下i1∗[N1]和i1!(1)互为对偶，则等式μ1=i1!(1)成立。

图2 交换图

记T≜M×M，构造交换图（图3）。对1∈H0(N1)，U⋂ρN∈Hn(V)，则有i1!(1)∈Hn(M×M)，i∗(U⋂ρN)∈Hn(M×M)。

图3 交换图

由图3 的交换性及最后一行的卡积运算可知：M×M存在一个基本类[M×M]∈H2n(M×M)，使得i1!(1)⋂[M×M]=i∗(U⋂ρN)=i1∗[N1]，即在M×M中的Poincaré 对偶性下，i1∗[N1]和i1!(1)互为对偶，故μ1=i1!(1)，因此χ(M)=N1⋅N2。即定理1的证明完成。

3 结束语

在组合数学、代数拓扑及理论物理学中，Euler示性数占有重要地位且有着广泛应用，其计算方法运用了Poincaré对偶的思想，所谓相交理论就是进一步发掘了这个思想。本文给出了Euler示性数的另一种几何拓扑表示，也就是相交数表示，在研究可定向的n维光滑紧流形的Euler 示性数遇到困难时，从相交理论出发也是一种解题思路。