林木果球采收机械臂动力学参数辨识及补偿

赵月 刘亚秋 徐妍 刘勋 房立金 张华良

摘 要：由于林木果球采收机械臂的工作场景复杂，对机械臂控制精准度的要求越来越高，研究机械臂动力学模型对其控制精度的影响非常重要。为提升机械臂的控制精度，提出一种在优化后的激励轨迹下基于最小二乘法和高斯混合模型（GMM）的3次迭代整体参数辨识方法。该方法以6自由度机械臂构型为例，通过建立动力学模型及QR（正交三角）分解得到最小参数集；通过轨迹优化算法得到激励轨迹的优化参数，进而得到优化的激励轨迹；得到轨迹后，依次对关节力矩采用迭代加权最小二乘法进行理论辨识，构建区分关节高、低速的非线性模型对机械臂非线性摩擦力进行拟合，用GMM算法来补偿无法精确建模的不确定力矩分量。在COMAN R5机械臂上进行试验测试，结果表明，所提出的轨迹参数优化方法将条件数从329减少到193，力矩残差的平均均方根从9.53降低到6.14，从而证明激励轨迹和辨识方案的可行性和有效性。

关键词：林木果球采收机械臂；三次迭代动力学参数辨识；激励轨迹；非线性摩擦力模型；GMM补偿算法

中图分类号：S776;TP241.3 文献标识码：A 文章编号：1006-8023（2023）03-0150-11

Abstract：Due to the complexity of the working scene of the forest fruit ball harvesting manipulator， the accuracy of the manipulator control is increasingly required. Considering the influence of the dynamic model of the manipulator on its control accuracy， in order to improve the control accuracy of the manipulator， a three-iterative global parameter identification method based on the least square method and GMM under the optimized excitation trajectory is proposed. This method takes the 6 - DOF manipulator configuration as an example， and obtains the minimum parameter set by establishing the dynamic model and QR decomposition. The optimization parameters of the incentive trajectory are obtained through the trajectory optimization algorithm， and then the optimized incentive trajectory is obtained. After the trajectory is obtained， the joint torque is identified by iterative weighted least square method， and the nonlinear friction force of the manipulator is fitted by constructing a nonlinear model that distinguishes high and low speed. The GMM algorithm is used to compensate the uncertain torque component that cannot be accurately modeled. Experimental tests are carried out on the COMAN R5 manipulator. Results show that the proposed trajectory parameter optimization method reduces the number of conditions from 329 to 193， and the average root mean square of torque residuals from 9.53 to 6.14， which proves the feasibility and effectiveness of the excitation trajectory and identification scheme.

Keywords：Forest ball harvesting manipulator; dynamic parameter identification of three-iterations; excitation trajectory; nonlinear friction model; GMM algorithm

基金項目：国家自然科学基金项目（61821005）;国家重点研发计划项目（2018YFE0205802）。

第一作者简介：赵月，硕士研究生。研究方向为机械臂动力学和运动学。E-mail： zhaoyue_0329@nefu.edu.cn

*通信作者：刘亚秋，博士，教授。研究方向为机械臂动力学和运动学、移动机器人。E-mail： yaqiuLiu@nefu.edu.cn

0 引言

林木果球采收过程需要大量的劳动力，传统人工方式存在效率低和准确率低等问题，同时近几年新冠疫情导致了劳动力缺失，严重影响林业采收产业发展。面向林木果球采收的自动化设备或大型工业机器人设备[1]研发及维护成本较高、通用性差、缺乏协作功能，因此在当前研究中采用协作操作臂进行取代。

建立精确的动力学模型对于多自由度协作机械臂的精确控制至关重要，如Xiao 等[2]提出的机器人示教方法、李智靖等[3]提出的碰撞检测和Fu等[4]实现的准确对机械臂末端的控制，这些都是基于机器人动力学参数实现的。对于动态参数识别的研究目前有很多，如孙昌国等[5]利用物理试验来测量各连杆的动力学参数、Armstrong等[6]通过CAD法对PUMA560动力学参数的测量、通过整体识别法[7-9]对动力学参数进行辨识。目前广泛应用的是整体辨识方法，其大致可以分为确定动力学模型（包括摩擦力）、设计最优激励轨迹和确定整体辨识算法。

在动力学模型中，由于多数机器人依靠有摩擦的齿轮传动，所以摩擦模型对整体辨识至关重要。目前在线性辨识方法中摩擦力通常建模为库仑摩擦力和线性黏性摩擦力，如Gautier[10]使用库仑摩擦力和线性黏性摩擦力拟合摩擦。然而，一些研究表明，黏性摩擦力和关节速度之间存在非线性关系[11-12]。因此本研究提出一种改进摩擦模型，在区分关节低速和高速的基础上，将库仑摩擦和黏性摩擦的非线性模型结合起来，并在整体辨识中迭代确定低高速的阈值。

在整体辨识中，使用合适的激励轨迹[13-14]会加快辨识算法的收敛速度，提高抗噪声能力。本研究选用5阶傅里叶级数作为激励轨迹模型，回归矩阵的条件数作为优化准则。研究表明[15]，对回归矩阵和其子矩阵进行优化，实现对回归矩阵内部结构的约束。Bonnet等[16]研究表明，迭代优化能够充分激励机器人的动态特性。因此，本研究提出一种迭代最小二乘法来同时优化回归矩阵和子回归矩阵，并使用变异系数法来确定子回归矩阵的权重。

就整体辨识算法而言，目前已有的算法十分丰富，如使用神经网络辨识参数[17]、混沌粒子群优化算法辨识[18]、基于李理群论实现参数辨识[19]和最小二乘法[8-9]等。最小二乘法是一种稳健且被广泛使用的方法。例如，Gautier 等[20]提出了一种非线性最小二乘优化算法来估计二自由度机器人的SCARA（Selective Compliance Assembly Robot Am，选择顺应性装配机器手臂）、韩勇[21]提出了基于迭代的加权最小二乘法。本研究基于迭代加权最小二乘法，对连杆的惯性和关节摩擦模型进行估计。但在整体参数辨识过程中，一些不确定的分量无法通过建模来辨识，使得拟合效果始终达不到预期效果，本研究针对这部分通过拟合剩余力矩来补偿，鉴于这部分的困难和非线性等性质，运用高斯混合（GMM）统计模型[22]实现拟合。

综上，本研究提出一种基于3次迭代的协作机械臂动力学模型辨识及补偿算法。辨识算法使用区分低速库仑摩擦和黏性摩擦的非线性摩擦模型，结合加权迭代最小二乘法和拟合非线性残差部分的GMM算法，完成协作机械臂的参数辨识及补偿。为使结果更加准确，使机械臂在优化后的激励轨迹下运动并且使激励轨迹充分激发动力学特性，提出一种基于分块回归矩阵的迭代最小二乘的激励轨迹参数优化算法。该算法利用迭代最小二乘法优化回归矩阵，使用变异系数法确定子回归矩阵的权重，从而得到最优激励轨迹。进而提高辨识结果的准确性和鲁棒性。

1 建立机器人动力学模型

1.1 建立线性动力学模型

1.1.1 牛顿-欧拉动力学模型

基于牛顿-欧拉方程，若机械臂各关节位置、速度和加速度已知，并给定机器人运动学参数和各连杆质量分布特征，那么引起刚体产生上述运动的理论力矩值可通过牛顿-欧拉迭代法[23]求得。机械臂关节力矩公式为

式中：M（q）∈Rn×n和n分别为正定对称惯性矩阵和关节数；C（q，q·）∈Rn×n和G（q）∈Rn×1分别为科里奥利离心力矩阵和重力力矩矢量；q，q·，q¨分别为 n×1的关节角位移、角速度和角加速度矢量；τ∈Rn×1和τf∈Rn×1分别为关节的驱动力矩和摩擦力矩；J（q）T为机械臂的雅可比矩阵；fext为作用在机械臂末端的外力项矢量。

1.1.2 线性化模型

由于外力项与机械臂动力学参数本身无关，所以本研究不考虑外力项，式（1）改为

从式（2）中可以看到摩擦力在动力学模型中有着至关重要的影响，目前广泛使用的摩擦模型是库仑黏滞摩擦模型[24] ，该模型的描述为

式中，kc和kv分别为库仑摩擦系数和黏性摩擦系数。

但这种单一的线性模型不能准确表示真实的摩擦现象，为此本研究使用下述的摩擦力模型，該模型在设计时考虑拟合低速时的负斜率现象并与库仑黏性模型相结合

式中，λ是关节速度的阈值。

公式中的黏性摩擦模型kv（q·）改为

式中，kv3、kv2和kv1是实系数。

在本研究提出的模型中，库仑摩擦在正方向和负方向都有表现。当机器人关节向不同方向运动时，重力以与重力相反的方向施加到关节上。因此，式（4）中使用2个库仑摩擦系数方向相反的kc。另一方面，准确定义静摩擦和低速摩擦是一个巨大的挑战，与式（3）相比，式（4）中设置合适的阈值λ，使得关节的低速运动和高速运动更加平滑。此外，在计算中考虑关节的速度平方和速度立方，以保证摩擦模型的准确性。

式（2）中机械臂动力学模型是非线性的，但参数辨识算法一般要求模型为线性的。因此需要对式（2）进行线性化，转换为下面的线性形式[25]

式中：τ为机械臂各关节力矩组成的向量；H（q，q·，q¨）为关于q，q·，q¨的非线性函数矩阵，即动力学参数回归矩阵，其中包括连杆动力学部分回归矩阵Hlink和摩擦力部分回归矩阵Hf；δ为动力学的标准参数集向量，其中包括连杆标准动力学参数向量δlink和摩擦力动力学参数向量δf。

由于式（6）中的连杆动力学回归矩阵存在整列为零和某些列线性相关的问题，需要重新整理待辨识的机械臂动力学参数，得到基本连杆动力学参数。当前广泛使用的方法是QR（正交三角）分解[26]，QR分解将矩阵Hlink和机械臂标准动力学参数向量δlink都分成2部分，动力学方程改为

式中：Hlink，b为矩阵Hlink中nb个线性无关列组成的子矩阵；Hlink，d为Ηlink中剩余nd个列组成的子矩阵；δlink，b为基本连杆动力学参数组成的列向量；δlink，d为连杆动力学模型中不起作用参数组成的列向量;τlink为由连杆动力学（不含摩擦力）产生的力矩。

综上，将线性化后的参数集进一步简化，得到仅包含基本动力学参数的动力学方程

因此，机械臂的动力学模型为

式中：H=Hlink，bHf（Hf为摩擦力部分对应的回归矩阵）；π=δTlink，bδTfT（其参数数目p=nb+6n）。

1.2 建立非线性动力学模型

在伺服系统中，谐波环节和力矩传递存在误差，摩擦力建模存在误差，加速度测量波动较大以及滤波产生误差，这部分惯量产生的力矩无法精确建模，本研究将其融进误差，即非线性动力学部分。这里基于传统动力学模型得到模型力矩与实际力矩之差，对这部分进行分析，对动力学模型的线性部分和非线性部分进行统一建模

式中：τlink为不包含摩擦力部分的连杆动力学力矩；τm为关节电流驱动力矩，是真实情况下控制关节力矩，可由电流和换算系数直接获得；τf为摩擦力矩；τerr为无法建模力矩包含一部分摩擦力和上述谐波误差等不精确分量力矩的合力矩。

2 基于迭代的激励轨迹优化算法

本研究使用基于有限项傅里叶级数的激励轨迹模型为设计目标，提出了基于分块回归矩阵的迭代最小二乘的参数优化算法，充分激发机器人动力学特性并使得回归矩阵的条件数达到理想数据。

2.1 基于有限傅里叶级数的轨迹模型

激励轨迹的确定为无限维泛函问题，很难得到解析解，因此对激励轨迹参数化，从而将无限维泛函问题转变为有限维的优化问题。本研究通过有限项的傅里叶级数对激励轨迹参数化，有限项傅里叶级数表示激励轨迹如下

式中：qi（t）、q·i（t）、q¨i（t）分别为关节i在t时刻下的关节位置、速度和加速度；N为傅里叶级数的阶数；ωf为频率；ci为关节i位置的常数项，al，i，bl，i为关节i的正余弦函数的幅值，因此al，i、bl，i、ci为待优化参数；则每个关节的待辨识参数为2N+1個。

2.2 基于分块观测矩阵条件数的优化目标

针对激励轨迹参数的优化问题，已存在多种优化指标，如条件数法、行列式法和协方差矩阵法等，本研究选取矩阵条件数作为衡量激励轨迹优劣的指标。对于任意给定矩阵A，其条件数的定义为

式中，σmax（A）和σmin（A）分别表示矩阵A奇异值中的最大值和最小值。

选取条件数作为优化指标的意义为：条件数值越小，机械臂在其允许的工作空间内以较高速度和加速度尽可能地遍历整个机器人工作空间，从而采集对参数辨识较为有用的信息。

由于激励轨迹每个关节独立，摩擦力的观测矩阵存在很多0，容易造成条件数增大，所以本研究的激励轨迹中所用的观测矩阵不包含摩擦力部分。

对于加权最小二乘法，优化目标转换为加权回归矩阵H*，本研究用参考文献[21]中的研究方法

式中，Ω为常矩阵，这里通过测量噪声计算该矩阵。

同时，仅优化H*的条件数难以达到想要的效果，还需要对H*子矩阵进行优化约束H*的内部结构。这里主要研究重力相关列组成的回归矩阵H*1和重力无关列组成的回归矩阵H*2。其中H*1和H*2的权重由变异系数法确定，H*的权重为H*1和H*2权重之和。用变异系数法求出基本连杆动力学回归矩阵中每列所对应的权重，对于本研究所使用的6自由度机械臂，该矩阵包含的列数为36，因此基本连杆动力学回归矩阵中每列对应的权重Wc=（wc1，wc2，…，wc36）。

式中：std（·）为标准差函数；mean（·）为平均值函数；H*（：，i）为回归矩阵中第i个参数对应的矢量。

变异系数法根据统计学方法计算出系统各指标变化程度，该方法中变化差异较大的指标权重较大，变化差异较小的指标权重较小。

将重力相关列和重力无关列权重分别相加，得到H*1和H*2的权重系数wh1和wh2。

综上所述，本研究的优化目标为

式中：α为待辨识参数向量；H*为归一化回归矩阵；H*1为H*子矩阵，对应重力相关列组成的回归矩阵；H*2为H*子矩阵，对应重力无关列组成的回归矩阵。

2.3 基于迭代方法的激励轨迹参数优化

使用迭代方法对激励轨迹参数进行优化，让当前优化的激励轨迹与前面优化的激励轨迹形成互补，使得激励轨迹的组合充分激发机器人动力学特性。

迭代优化过程中，H*具有以下结构：在第1次优化时，H*形状为 6 m×nb（m为采样点数，nb为基本动力学参数（不含摩擦力参数）的数目）；在第2次优化时，H*的形状为12 m×nb，其中前面部分为第1次优化的结果，后面部分为本次迭代要优化的部分；在第k次优化时，H*的形状为6×k×m×nb，其中最后6 m行为当前步骤要优化的部分。在每次优化过程中，α的起始点都随机选取，若经过当前步骤的优化，目标函数降低，则记录当前结果；否则重新随机选择起始点继续优化；当经过15次尝试后，目标函数未降低，则认为达到全局最优并停止优化。

最后激励轨迹的优化公式为

式中：qi，max、q·i，max、q¨i，max分别代表各关节可运行的最大角度、最大角速度以及最大角加速度，保证了机械臂在可承受的速度和加速度下安全运行不发生碰撞。后3个等式保证机械臂的平稳启停，其中t0和tf分别表示单个激励轨迹周期内的起始和终止时刻。

3 基于3次迭代辨识的动力学模型辨识及补偿方法

本研究提出3次迭代辨识的动力学模型辨识方法，第1层先对连杆动力学τlink进行理论辨识；第2层对摩擦力τf进行辨识；第3层基于柔性误差来补偿不确定分量τerr。

3.1 辨识基本连杆动力学参数

该部分是辨识方法的内层，根据各关节力矩噪声大小对回归矩阵进行加权，将多维线性回归问题转化为单维线性回归问题。

使机器人沿着特定的激励轨迹运动，以一定的采样频率对运动过程中机器人各个关节的关节位置q、关节角速度q·、关节角加速度q¨和关节输出力矩τ进行采样，且保证采样数目m远远大于待辨识动力学参数的数目。这样即可构造回归矩阵Hm、力矩向量Γm

式中，π^为动力学参数近似值；Hm∈Rmn×p，Γm∈Rmn×1。

使用最小二乘法解式（19）的线性回归方程组，回归系数π的计算公式如下

为使方差达到最优，使用加权最小二乘法（WLS）。首先，计算残差，即预测力矩和实测力矩之差

式中：R∈Rmn是残差，其次

式中：Σjj为残差方差矩阵Σ对角线j元素；Ej为E的第j行；var（·）为方差函数；E∈Rn×m是残差的变形。加权最小二乘法计算回归系数

式中：Σm∈Rmn×mn为分块对角矩阵，其对角线上有m个Σ。在传统辨识方法中，假设关节力矩的噪声是相互独立的，这里去掉相互独立条件，则可以计算非对角协方差矩阵Ω∈Rn×n为

计算回归系数的加权最小二乘法改为[20]

式中，Ωm∈Rmn×mn为块对角矩阵，其对角线上有m个Ω，为提高辨识模型的精度，将迭代加权最小二乘（IRLS）方法引入用来识别基本动力学模型参数。

3.2 摩擦力辨识

对于这部分，在估计出摩擦力大小后，可寻找更准确的模型来拟合摩擦力。本研究从测量力矩中减去与摩擦不相关的力矩（即由连杆参数计算的刚体动力学的力矩）来估计摩擦力[21]，即

在式（26）估计的摩擦力基础上，本研究外层选择的非线性摩擦力模型如下。

式中：库仑摩擦部分包括正反方向2个正反方向相反的参数kc;黏滞摩擦部分包括kv3、kv2和kv13个参数。因此每个关节待辨识的参数为5个，这里通过阈值λ将摩擦力辨识分为2个部分。

摩擦力辨识首先通过低速运动部分的数据，辨识低速运动部分的摩擦力参数。并且为了准确辨识参数，得到合适的λ。本研究使用修改的Lawson和Hanson的NNLS非線性最小二乘法确定λ，算法如下

式中：Festi为通过测量力矩和内层辨识确定的第i个关节的摩擦力矩；τfi为通过摩擦模型估计的第i个关节的摩擦力矩。在确定λ之后再通过高速运动部分的数据，辨识高速运动部分的摩擦力参数。

3.3 基于柔性误差补偿不确定分量

针对τerr这部分无法精确建模的力矩分量，本研究通过GMM算法进行非线性逼近，误差力矩估计为

式中，u为输入向量。

假设GMM中包含高斯成分的数量为Gl，定义为O=el，μl，ΣlGll=1，其中e1，e2，…，eGl是高斯成分的混合系数，并且有约束el>0和∑Gll=1el=1;μ1，μ2，…，μGl为高斯成分的均值向量;Σ1，Σ2，…，ΣGl为高斯成分的协方差矩阵。

采用GMM算法拟合数据的过程：首先，创建数据集为Z={Z1，Z2，…，Zf}（f=1，2，…，m），式中，m为数据集Z的个数;Zf=Zs，f，Zξ，f，Zs，f∈［q，q·］=u，Zξ，f∈f（u）。Z的分布由有限高斯分布的GMM表示，概率密度表示为

式中：Ol为第l个高斯成分的相关变量。

其中第l个高斯成分定义为

GMM通过期望最大化（EM）算法得到GMM参数，再使用高斯混合回归（GMR）复合期望函数f（·），在给定数据u的情况下，f（u）的条件概率也满足高斯分布，即

3次迭代辨识算法的流程图如图3所示。

4 结果与分析

本研究试验均在中科深谷的COMAN R5 6自由度机械臂上完成，代码程序均在联想电脑的PyCharm上开发完成，试验的机械臂实物如图4所示，模拟机械臂果球采收如图5所示，机械臂修改后的D-H参数见表1。

4.1 激励轨迹求解

对于激励轨迹的求解，根据变异系数法求出每个参数权重的均值为

确定惯性子回归矩阵和重力子回归矩阵的权重比为

其中，round（·）为四舍五入取整算法。回归矩阵H*前的系数为22。因此优化激励轨迹的目标改为

此过程中，本研究轨迹单位为弧度，基础频率为ωf=2πff，激励频率为ff=0.1 Hz。同时，为客观展现本研究方法与传统最小二乘法、普通迭代最小二乘法相比的优越性，在表2中列出了不同方法的条件数。

4.2 试验及数据

通过试验评估3次迭代辨识的准确性。操作如下：1）采集机械臂在激励轨迹下运动的关节角度、关节力矩值（电机电流，单位mA），采样频率为fs=1 kHz；2）使用五阶巴特沃斯滤波器对关节角度和关节力矩进行滤波，从而降低噪声对数据的影响；3）对关节角度进行中心差分运算，得到关节角速度和关节角加速度；4）分别使用不同的参数辨识算法，辨识动力学参数，并使用辨识出的参数进行力矩拟合，验证结果。

关于摩擦部分，通过速度-摩擦力矩电流拟合证明摩擦模型的有效性，使用本研究提出的摩擦模型拟合摩擦力矩效果如图6所示。

为验证辨识算法的准确性和有效性，分别将传统最小二乘法、迭代最小二乘法和本研究方法的力矩拟合情况展示在图7—图9中。从图7—图9中可以发现，本研究提出的算法计算的残差相对最小，参数模型精度最高。为客观展现本研究方法的优越性，列出使用不同识别方法的验证噪声残差的均方根，其中最小二乘法表示标准最小二乘法；噪声代表测量电流和滤波电流之间的残差均方根。

为更好地展现加入GMM的效果，将加入GMM前和加入GMM后的测量电流和滤波电流之间残差进行对比，如图10所示。

上述结果表明，与传统的最小二乘法相比，本研究提出的3次迭代辨识方案有显著的改进，并且在几个关节中残差的力矩均方根值降低了30%；参数辨识精度由6个关节的平均力矩残差均方根衡量，其中使用最小二乘法的力矩残差平均均方根为9.53、迭代最小二乘法的力矩残差平均均方根为9.32，本研究方法力矩残差平均均方根为6.14。证明了本研究方法相较于传统方法的优越性。

5 结论

针对林木果球采收协作机械臂动力学模型参数精准辨识问题，充分考虑机械臂多连杆动力学辨识误差、非线性摩擦力和不确定噪声力矩影响，提出一种协作机械臂动力学参数模型精准辨识及补偿方法，即1次轨迹优化和3次迭代辨识过程，通过激励轨迹优化，收集采样机械臂在激励轨迹下运动的关节角度/关节力矩值，3次迭代辨识及柔性补偿处理，获得了相对传统方法的突出优化效果。

首先设计了能充分激发机械臂动力学特性的激励轨迹。通过对比条件数为329的最小二乘法和条件数为275的迭代最小二乘法，条件数为193的本研究方法有明显优势。

在对协作机械臂的动力学参数辨识提出了以下2方面改进，一是使用构建区分高、低速的非线性摩擦力模型拟合机械臂动摩擦力效应；二是将GMM算法引入动力学参数辨识中，补偿不可线性拟合的不确定力矩残差部分。

通过COMAN R5六轴机械臂实机测试结果表明，该方法与传统最小二乘法相比，使得辨识结果的残差均方根降低了30%，模型参数辨识精度提升效果非常显著。

【参 考 文 献

[1]孔庆华，陆怀民，王守忠.RBT14型林木球果采集机的设计[J].东北林业大学学报，1997（6）：61-63。

KONG Q H， LU H M， WANG S Z. Design of RBT14-cone collecting machine[J]. Journal of Northeast Forestry University， 1997， 25（6）： 60-62.

[2]XIAO J L， ZENG F， ZHANG Q L， et al. Research on the forcefree control of cooperative robots based on dynamic parameters identification[J]. Industrial Robo， 2019， 46（4）： 499-509.

[3]李智靖，叶锦华，吴海彬.机器人带未知负载条件下的碰撞检测算法[J].机器人，2020，42（1）：29-38。

LI Z J， YE J H， WU H B. Collision detection algorithm for robots with unknown payload[J]. Robot， 2020， 42（1）： 29-38.

[4]FU Z T， SPYRAKOS-PAPASTAVRIDIS E， LIN Y H， et al. Analytical expressions of serial manipulator jacobians and their high-order derivatives based on lie theory[C]//2020 IEEE International Conference on Robotics and Automation （ICRA）. May 31 - August 31， 2020， Paris， France. IEEE， 2020： 7095-7100.

[5]孫昌国，马香峰，谭吉林.机器人操作器惯性参数的计算[J].机器人，1990，12（2）：19-24。

SUN C G， MA X F， TAN J L. Calculation of inertial parameter of robot manipulator[J]. Robot， 1990， 12（2）： 19-24.

[6]ARMSTRONG B， KHATIB O， BURDICK J. The explicit dynamic model and inertial parameters of the PUMA 560 arm[C]//Proceedings of 1986 IEEE International Conference on Robotics and Automation. April 7-10， 1986， San Francisco， CA， USA. IEEE， 2003： 510-518.

[7]WU J， WANG J S， YOU Z. An overview of dynamic parameter identification of robots[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing， 2010， 26（5）： 414-419.

[8]KINSHEEL A. Robust least square estimation of the CRS A465 robot arm's dynamic model parameters[J]. Journal of Mechanical Engineering Research， 2012， 4（3）：89.

[9]周军，余跃庆.考虑关节柔性的模块机器人动力学参数辨识[J].机器人，2011，33（4）：440-448。

ZHOU J， YU Y Q. Dynamic parameter identification of modular robot with flexible joints[J]. Robot， 2011， 33（4）： 440-448.

[10]GAUTIER M. Dynamic identification of robots with power model[C]//Proceedings of International Conference on Robotics and Automation. April 25-25， 1997， Albuquerque， NM， USA. IEEE， 2002： 1922-1927.

[11]WOLF S， ISKANDAR M. Extending a dynamic friction model with nonlinear viscous and thermal dependency for a motor and harmonic drive gear[C]//2018 IEEE International Conference on Robotics and Automation （ICRA）. May 21-25， 2018， Brisbane， QLD， Australia. IEEE， 2018： 783-790.

[12]ISKANDAR M， WOLF S. Dynamic friction model with thermal and load dependency： modeling， compensation， and external force estimation[C]//2019 International Conference on Robotics and Automation （ICRA）. May 20-24， 2019， Montreal， QC， Canada. IEEE， 2019： 7367-7373.

[13]GAUTIER M， KHALIL W. Exciting trajectories for the identification of base inertial parameters of robots[C]//[1991] Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control. December 11-13， 1991， Brighton， UK. IEEE， 2002： 494-499.

[14]PRESSE C， GAUTIER M. New criteria of exciting trajectories for robot identification[C]//[1993] Proceedings IEEE International Conference on Robotics and Automation. May 2-6， 1993， Atlanta， GA， USA. IEEE， 2002： 907-912.

[15]丁力，吳洪涛，姚裕，等.基于WLS-ABC算法的工业机器人参数辨识[J].华南理工大学学报（自然科学版），2016，44（5）：90-95。

DING L， WU H T， YAO Y， et al. Parameters identification of industrial robots based on WLS-ABC algorithm[J]. Journal of South China University of Technology （Natural Science Edition）， 2016， 44（5）： 90-95.

[16]BONNET V， FRAISSE P， CROSNIER A， et al. Optimal exciting dance for identifying inertial parameters of an anthropomorphic structure[J]. IEEE Transactions on Robotics， 2016， 32（4）： 823-836.

[17]CHEN E W， LIU Z S， GAN F J. Application of ANN in identification of inertial parameters of end-effector of robot[C]//2006 IEEE International Conference on Information Acquisition. August 20-23， 2006， Veihai， China. IEEE， 2007： 972-977.

[18]丰非，扈宏杰.基于混沌PSO的SCARA机器人参数辨识[J].自动化与仪表，2017，32（12）：14-18。

FENG F， HU H J. Parameter identification of SCARA robot based on PSO algorithm of chaos[J]. Automation & Instrumentation， 2017， 32（12）： 14-18.

[19]FU Z T， PAN J B， SPYRAKOS-PAPASTAVRIDIS E， et al. A lie-theory-based dynamic parameter identification methodology for serial manipulators[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2021， 26（5）： 2688-2699.

[20]GAUTIER M， JANOT A， VANDANJON P O. A new closed-loop output error method for parameter identification of robot dynamics[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2013， 21（2）： 428-444.

[21]韓勇.协作机器人模型辨识方法与人机交互控制技术研究[D].上海：上海交通大学，2020。

HAN Y. Model identification and human-robot interaction control of robots[D]. Shanghai： Shanghai Jiao Tong University， 2020.

[22]BLUNDELL R， BOND S. GMM Estimation with persistent panel data： an application to production functions[J]. Econometric Reviews， 2000， 19（3）： 321-340.

[23]NIKU S B. An introduction to robotics analysis， systems， applications[M]. Upper Saddle River， NJ： Prentice Hall， 2001

[24]BAGLIONI S， CIANETTI F， BRACCESI C， et al. Multibody modelling of N DOF robot arm assigned to milling manufacturing. Dynamic analysis and position errors evaluation[J]. Journal of Mechanical Science and Technology， 2016， 30（1）： 405-420.

[25]罗欣.机器人平滑运动轨迹规划及控制方法的研究[D].广州：华南理工大学，2017。

LUO X. Smooth motion trajectory planning and control method research for robot[D]. Guangzhou： South China University of Technology， 2017.

[26]苏二虎.基于优化激励轨迹的工业机器人动力学参数辨识[D].芜湖：安徽工程大学，2019。

SU E H. Dynamic parameter identification of industrial robot based on the optimal exciting trajectory[D]. Wuhu： Anhui Polytechnic University， 2019.