发现关联，化归求解

徐墨言

今天，老师带领我们认识了一个新朋友——二元一次方程。不过，我觉得它的名字特别亲切。因为我发现它和一元一次方程是“亲戚”。它们都是“一次”的“整式方程”，只是从“一个未知数”变成了“两个未知数”而已。

那么，对于这种方程，我们怎么求解呢？我找了一个二元一次方程2x+y=10尝试了一下。

我发现当x=0时，y=10；当x=1时，y=8；当x=2时，y=6；当x=3时，y=4……我把y写成用含x的代数式表示的形式：y=10-2x，发现x可以取无数个值，此时，对应的y就有无数个。也就是说，这个方程竟然有无数个解！

为什么一元一次方程有唯一解，而它却有无数个解呢？我又观察了起来，原来，它有两个未知数，却只有一个等量关系，所以无法确定两个未知数的值。

那如果再给一个关于x、y的等量关系呢？我又写了一个二元一次方程：x-y=2。

倘若x和y同时满足上述两个方程，是否就能确定x、y的值呢？我陷入了迷茫。

怎么办呢？我想到老师教的“化归”思想——遇到难解的问题，可以试试将其转化为已解决的问题，想办法将生疏化为熟悉。

那我熟悉什么呢？这两个方程都含有两个未知数，如果是一元一次方程就好了。我豁然开朗，将从第一个方程得到的y=10-2x代入第二个方程中，看，第二个方程变成了x-（10-2x）=2，这不就是一个一元一次方程嘛！解得x=4，再代入y=10-2x中，解得y=2。这里的x和y是唯一确定的。

看来，如果两个未知数满足两个不一样的等量关系，它们的值就是唯一确定的！我回头梳理了求解的过程，发现如果x、y同时满足两个不同的二元一次方程，可以将其中一个方程变形成用一个未知数表示另一个未知数的形式，再将其代入另一个方程中，就可以将二元一次方程转化为一元一次方程来求解了。

我继续思考，如果方程有三个未知数呢？我认为，它们应该同时满足三个不同的等量关系，类似地，可以将“三元”化为“二元”，再将“二元”化为“一元”，应该也是可以求解的。

说干就干，我写了三个方程：x+y+z=8、2x-y+z=5、x+y-2z=-7。观察这三个方程，与y相关的项比较简单，我决定先把y去掉。根据第一个方程，可得y=8-x-z，将其分别代入第二个和第三个方程，可得3x+2z=13和8-3z=-7，其中就有一个一元一次方程，可求得z=5。将z=5代入3x+2z=13，可得x=1。再将x、z的值代入y=8-x-z，可得y=2。我求出来了！

从“一元”到“二元”，再到“三元”，我们学习的方程越来越复杂，可是在求解时，抓住它们之间的联系，从“三元”到“二元”，再到“一元”，轻轻松松就求出了解。“化歸”思想真是神奇啊！

教师点评

化归是一种重要的思想方法，它的基本功能是将生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。它需要学习者会用运动变化发展的观点，事物之间相互关联、相互制约的观点看待问题，能善于对所要解决的问题进行变换、转化，从而使问题得以解决。小作者善于思考，发现了二元一次方程与一元一次方程的联系，并主动关联至三元一次方程组，利用“消元”，解决了多元一次方程求解的问题，这是多么了不起的发现！不妨让我们进一步思考，对于“一元一次方程”，如果改变的不是“元”，而是“次数”呢？比如，是否有“一元二次方程”？如果有，这样的方程你能举出例子并尝试求解吗？试一试吧，你一定能行！

（指导教师：孙洁）