贝尔不等式检验简史

彭鹏 刘博闻

量子力学是构成现代物理学大厦的两大支柱之一，从根本上改变了人类对物质结构及其相互作用的理解，是久经考验、最為成功的科学理论之一，它的建立标志着人类对客观规律的认识从宏观世界深入到微观世界。它推动了小到芯片，大到航天飞机等无数前沿科技的发展。理论物理学家温伯格（S. Weinberg）在其著作《量子场论》中提到：“如果发现不服从量子力学和相对论法则的系统，那则是一场灾难。”

但是，量子力学从诞生起，围绕它展开的争论从未停息，最为著名的当是爱因斯坦和玻尔二人关于量子力学完备性的争论。这场争论持续了数十年，直到他俩去世，也没有得出最终结论。其中一个很重要的原因是，这场争论局限于哲学思辨，始终没有得到实际的实验验证，因此很难得出一个让人信服的结论。不过到了1964年，爱尔兰理论物理学家贝尔（J. S. Bell）提出贝尔不等式，将哲学思辨推进到实践检验，为解决二人的争论提供了一线希望。

基于贝尔的理论构想，法国物理学家阿斯佩（A. Aspect）、美国物理学家克劳泽（J. F. Clauser）与奥地利物理学家蔡林格（A. Zeilinger）开创性地进行了贝尔不等式检验实验，证明贝尔不等式在量子世界中不成立，确认了量子纠缠的非定域性，为量子信息科学的发展奠定了基础。

贝尔不等式的建立与发展

爱因斯坦为反驳以玻尔为代表的哥本哈根学派对量子力学的诠释，与波多尔斯基（B. Podolsky）、罗森（N. Rose）在1935年共同撰文提出EPR悖论（Einstein-Podolsky-Rosen paradox）思想实验。他们利用粒子的动量和位置两个连续变量进行讨论，根据不确定性原理，粒子的动量和位置无法同时精确测定，爱因斯坦认为当精确测定其中一个物理量时，另一个物理量则失去了物理的实在性。在相关讨论扩展到两个相互纠缠的粒子时，发现它们之间的“鬼魅般的超距作用”违背了经典定律的定域性，因此，爱因斯坦认为量子力学并没为物理实在提供一个完整的描述，即量子力学是不完备的。他进一步认为，还存在未知的隐变量影响微观世界状态，即隐变量诠释。爱因斯坦的观点并没有说服玻尔，并且其所考虑的思想实验在当时是很难付诸验证的。

1951年，英国物理学家玻姆（D. Bohm）在《量子理论》中提供了一个新版本的EPR实验[1]——EPRB实验。他在保持EPR思想实验精髓的前提下，将连续变量（动量和位置）替换为分立变量（自旋），讨论了总自旋为0的双原子分子情况。在保持分子总自旋不变的条件下，将两个原子分开，如果沿x方向对A原子测量，会得到自旋态为↑，那么对B原子也沿x方向测量，得到的结果一定是↓。这样的测量结果总是100%关联。但是由于不确定性原理，如果选择沿其他方向如y或z对B进行测量，此时其自旋态测量结果就不可预知，为概率性结果（这里的x、y、z可以是任意的三个方向）。采用分立变量替换连续变量，不仅更直观，而且更容易进行数学处理，EPRB实验也更易实现。实际上，爱因斯坦构想的连续变量的EPR悖论实验直到1993年才得以实现，我国量子光学先驱、山西大学光电研究所彭堃墀院士参与完成了这一重要的实验工作。[2]

贝尔从玻姆的EPRB实验讨论中获得灵感。他是爱因斯坦的忠实粉丝，为给隐变量提供切实的实验证据，他考虑将两个相互纠缠的电子分开足够远，并分别测量两电子A、B的自旋。贝尔从理论上证明，无法构建一种可以同时沿多个方向测量粒子自旋的探测器，因此，对两处的电子只能沿着一个方向进行测量，不过测量的方向不再是固定的同向，而是二人分别相互独立、随机选择方向。贝尔在实在性和定域性的双重假定下，通过分析隐变量和量子力学两种情况下粒子的相关性，建立了贝尔不等式：|P（x，y）-P（x，z）|≤1+P（y，z），其中P（x，y）代表A电子沿x方向，同时B电子沿z方向多次测量获得的平均值，P（x，z）和P（y，z）同理。同时，他提出贝尔定理：没有任何定域隐变量理论能够复制所有量子力学的预测。他进一步解释道：“如果隐变量理论是定域的，那么它将无法和量子力学调和，如果它和量子力学一致，那么它就不会是定域的。这就是这个理论所表达的内容。”贝尔不等式在经典世界是严格成立的，但是如果微观世界确实如量子力学所描述的那样，则该不等式不再成立。因此，通过实验检验贝尔不等式是否成立就可以知晓爱因斯坦和玻尔孰对孰错，可惜此时，二人都已去世。

然而，贝尔最初设想的思想实验需要极其苛刻的实验条件，比如，他要求两处测量所选取的三个方向必须严格相同，即必须使用同一个坐标系，这对分离两处的实验装置来说，基本是不可能实现的。因此，为了能将贝尔的思想实验付诸实践，1969年，克劳泽、霍恩（M. Horne）、希莫尼（A. Shimony）和霍尔特（R. Holt）在贝尔不等式基础上，对其进行了拓展和推广，提出了更一般化的形式——以他们姓氏首字母命名的Bell-CHSH不等式[3]：|P（x， y）+P（x′， y）+P（x， y′）-P（x′， y′）|≤2。式中，x， y和x′， y′分别是两处各自选取的坐标系。这样，BellCHSH不等式剔除了贝尔不等式中难以实现的特殊限制，简化了实验实现条件，为即将实施的检验实验奠定坚实的理论基础。

早期实践探索

理论上的讨论已很充分，似乎只欠东风，然而即便如此，受早期技术限制，检验实验仍面临巨大困难。按照贝尔最初的设想“这些仪器的设置足够提前，使它们能够通过以小于或等于光的速度交换信号而达到某种相互关系”，这就要求两观察者测量并获得结果的时间，短于光从A地传播到B地所用的时间，这样才能保证在完成测量前，粒子之间没有不超过光速的沟通和联系，否则无法排除不超过光速的隐变量。因此，两粒子在保持纠缠的状态下，分隔足够远，才能避免实验漏洞之一——定域性漏洞。然而，贝尔、玻姆等人设想的粒子自旋实验虽然在形式上更加简洁，但对当时的实验技术而言，获得相距较远的实物纠缠粒子对（如电子、原子等有质量的粒子对）极其困难，事实上，此类实验直到近几年才实现。相较而言，获得相隔较远的纠缠光子对容易很多。因此，早期的检验实验均利用光子来完成。

在贝尔不等式诞生前，就有物理学家尝试探究纠缠光子间的关联性。1946年，物理学家惠勒（J. Wheeler）提出利用正负电子湮灭产生的纠缠光子对来验证EPR实验。1950年，华裔物理学家吴健雄使用惠勒的实验方案，进行了量子纠缠实验。然而，正负电子湮灭产生的光子能量较高，传统方式不能直接测量光子的偏振，而是采用康普顿散射间接获得偏振信息，这样做并不能获得理想的结果。贝尔不等式诞生后，1967年，美国物理学家克歇尔（C. A. Kocher）在读博士期间曾试图进行贝尔不等式的检驗，在加州大学伯克利分校建立了实验装置。克歇尔改用钙原子的级联辐射获得纠缠光子对，此纠缠光子频率在可见光范围内，可利用标准光学偏振片获得光子偏振信息。

1970年，克劳泽到加州大学伯克利分校做博士后研究。他意识到克歇尔的实验装置改进后可用于Bell-CHSH不等式检验，并用两年时间进行实验改进。1972年，克劳泽通过200小时的实验测量，完成了首次检验实验。最终，得到了一个明显违背BellCHSH不等式、符合量子力学预测的结果，证明了两个相距很远的粒子可以互相纠缠。然而，由于技术限制，早期的实验设置过于简陋，可以说是漏洞百出。

除了定域性漏洞，还有一个漏洞即探测效率漏洞。检验实验要求进行大量稳定的纠缠光子对的测量，由此获得统计结果。而纠缠态极易受到外界干扰而坍缩，故长时间维持稳定的实验条件极其困难。在实验过程中，纠缠光子对的产生和发送非常不稳定，效率较低，要么在大部分时间里不产生光子对，要么光子对在发送和探测过程中丢失。因此，受当时实验技术限制，研究者只获得了少部分纠缠光子对的实验结果。要想关闭探测效率漏洞，必须尽可能探测到更多的纠缠光子对。理论计算表明，探测到的光子对数需要超过总数的2/3，这个数值即便是对当前的实验技术而言也是不易的。检验实验还有赖于实验技术的进一步发展。

新技术的积累

为了能够获得更加精准的实验结果，阿斯佩试图关闭实验中的一些漏洞，进行了更多有益的尝试，这也是他攻读博士研究生的研究方向。贝尔理论成立的一个重要前提就是两端的探测过程必须相互独立、毫无关联，在探测方向的选择上必须要求“自由且随机”。为了满足这一实验条件，首先要解决的就是定域性漏洞。

阿斯佩是第一个设计避免定域性漏洞的人。1981—1982年，他连续发表了三篇论文。他将两纠缠光子分别发送到巨大房间的两端，距离为12米，使得两纠缠光子进行联系至少需要40纳秒，这个时间长于测量并获得结果的时间。当然，除了要保证距离足够远，还要有快速变化的实验设置，这样做同样是为了避免可能的隐变量。1957年，玻姆就曾设想纠缠粒子在飞行过程中，测量方向仍在改变，贝尔认为这点对实验设置而言极其重要。在所有早期的实验测量方案中，每次实验选取的测量方向都是提前设置好且不变的。为了快速改变实验设置，阿斯佩在实验过程中利用声光调制技术改变光路，使其按50兆赫的频率周期性变化，从而达到快速改变测量方向的目的，第一次实现变换方向的偏振测量。当然，测量过程使用符合测量。阿斯佩通过这样的设置，确保了两处测量点A和B之间每次测量过程不会有不超过光速的隐变量的信息交换，从而关闭定域性漏洞。

另外，阿斯佩还使用更高效的纠缠光子源和双通道探测系统来提高探测效率，进而获得更精确且更有说服力的数据。基于上述重要的实验改进，实验结果最终证明贝尔不等式不成立，首次为量子力学提供了较为可靠的实验证据，也为进一步开展贝尔不等式检验实验开辟了道路。虽然他已尽可能关闭漏洞，但就现在看来，受限于当时的技术，实验方案其实并不完美，仅关闭了定域性漏洞。虽然阿斯佩的实验设置保证了测量过程中不会有不超过光速的即时的信息交换，但是仍然无法保证测量方向的选择是真正意义上的相互独立且随机，因为周期性变换本身就是一种关联，谈不上随机。实际上，按照经典物理学的因果论，很难找到没有丝毫关联的真随机事件。因此，如果无法保证实验测量设置的随机性，就会导致自由选择漏洞。

无论如何，此实验是迈向无漏洞检验的关键一步，对量子基础理论研究产生了重要影响。贝尔一直在关注阿斯佩的实验，1981年，他撰写题为“伯特曼的袜子和现实的本质”的文章。贝尔以其同事伯特曼双脚从不穿相同颜色的袜子为喻，来探讨量子纠缠，并表达了当时学界比较认可的观点：“我很难相信在低效的实验设置下，能够和实验结果符合得很好的量子力学会在更加完美的实验设置中失效。”这是物理学家对量子力学的信仰，就连最初站在爱因斯坦一方的贝尔，此时也坚定地站到了玻尔这边。

彼时检验实验的漏洞可以总结为三个：定域性漏洞、探测效率漏洞以及自由选择漏洞。随后的几十年中，随着量子调控技术特别是单粒子水平的调控技术发展，更加完美的实验验证成为可能。为提高探测效率，研究人员改用囚禁在阱中的原子、离子或超导线路等实物粒子替代光子作为实验对象。早期实验中，纠缠物质之间的距离只能达到几微米，较短的距离显然无法关闭定域性漏洞。不过很快，新技术的出现为远距离的物质纠缠提供了可能。

1993年，波兰理论物理学家茹科夫斯基（M. ？ukowski）以及蔡林格等人提出纠缠交换的概念。纠缠交换是指通过贝尔态测量（投影到任意一个最大纠缠态基矢）过程，实现纠缠状态的传递。比如，准备两对纠缠粒子，分别是来自纠缠源Ⅰ的纠缠粒子对1、2和来自纠缠源Ⅱ的纠缠粒子对3，4，通过对粒子2和3进行一次联合贝尔态测量就可以实现粒子1和4的纠缠，而粒子1和4从未有过任何相互作用。1998年，蔡林格团队首次实现了纠缠交换实验，论文第一作者为中国科学技术大学潘建伟院士。