基于ARIMA模型的北京市GDP分析与预测

李振亮 乐昕雨

【摘  要】GDP是衡量国民经济发展的重要指标。论文通过选取北京市1978-2020年的GDP年度统计数据，利用R软件对数据进行分析，构建ARIMA模型，进而预测北京市未来5年的GDP。根据AIC准则构建最优ARIMA（2，2，1）模型，其相对误差在7%以内，模型预测效果较好。应用该模型预测北京市2021-2025年GDP依次为37 094.89亿元、38 831.57亿元、39 714.03亿元、41 144.21亿元、42 623.04亿元，可以看出北京市未来5年GDP仍然保持较高的增长速度，为未来北京市的经济发展提供一个科学的参考和依据。

【关键词】GDP；ARIMA；预测

【中图分类号】F224                                             【文献标志码】A                                                 【文章编号】1673-1069（2023）01-0153-03

1 引言

国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP）是反映国家或地区经济发展水平和人民生活状况的重要指标。因此，预测GDP未来趋势可把握经济发展情况，具有重要意义。国内已有诸多研究使用ARIMA模型对贵州、重庆、江苏、广东、湖北、吉林、陕西、安徽、浙江等地区的GDP进行分析与预测，表明ARIMA模型对GDP预测具有很好的效果。其中，张梓[1]选取贵州省1978-2020年GDP数据，通过构建ARIMA（0，1，1）模型来对贵州省2021-2025年GDP进行预测，且2016-2019年相对误差均控制在7%以下。夏如玉等[2]选取重庆市2009-2020年GDP数据，建立ARIMA（0，1，0）模型对重庆市2021-2032年GDP进行预测。查华等[3]选取江苏省1975-2020年GDP数据，建立ARIMA（0，1，1）模型对江苏省2021-2022年GDP进行预测，且2018-2020年平均相对误差在5%以下。王铮[4]选取广东省1995-2020年GDP数据，通过构建ARIMA（0，1，4）模型对广东省2021-2022年GDP进行预测，且2018-2020年相对误差均在5%以下。瞿海情等[5]选取湖北省1978-2019年GDP数据，建立ARIMA（0，2，3）模型对湖北省2020-2021年GDP进行预测，且2018-2019年平均相对误差为10.585%。潘典雅[6]选取吉林省1993-2019年GDP数据，建立ARIMA（2，1，1）模型对吉林省2020-2021年GDP进行预测，且2018-2019年相对误差均在1%以下。胡咏琪[7]选取陕西省1986-2020年GDP数据，建立ARIMA（1，1，0）模型对陕西省2021-2022年GDP进行预测，且2017-2020年相对误差均在6%以下。王佳佳[8]选取安徽省1978-2019年GDP数据，建立ARIMA（2，1，3）模型对2020-2022年GDP进行预测，且1978-2019年相对误差均在8%以下。郑梦琪等[9]选取浙江省1978-2018年GDP数据，建立ARIMA（5，1，5）模型对浙江省2019-2021年GDP进行预测。

北京市作为我国首都，经济发展迅速，GDP的总量始终居于全国前列。本文将利用R软件，选取北京市1978-2020年的GDP年度数据，构建ARIMA模型对北京市2021-2025年未来5年GDP进行预测，为北京市未来GDP的发展提供一个科学的参考和依据。

2 ARIMA模型的基本原理

差分自回归移动平均（Auto Regressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型是由自回归模型（Auto Regression，AR）、移动平均模型（Moving Average，MA）和差分法结合而来的时间序列预测模型，常用于非平稳时间序列的分析和预测[10]。对于时间序列数据可以使用ARIMA模型进行分析，模型表达式为ARIMA（p，d，q），其中p是自回归项数，q是移动平均项数，d是差分次数。ARIMA模型的数学通式为：Φ（B）（1-B）dXt

=θ（B）εt；模型的自回归系数多项式为：Φ（B）=1-Φ1B-Φ2B2

-…-ΦpBp；模型的移动平均系数多项式为：θ（B）=1-θ1B

-θ2B2-…-θqBq；Xt表示需要预测的时间序列，εt表示白噪声序列[11]。ARIMA模型主要用于平稳时间序列的预测，步骤包括绘制时间序列图、数据预处理（包括平稳性和白噪声检验）、模型识别与定阶和模型预测。

3 基于ARIMA模型的实证分析

3.1 数据预处理与初步分析

1978-2020年北京市GDP年度统计数据来源于《北京市统计年鉴》，通过Excel  2019软件建立GDP的时间序列数据库，使用R软件（version 4.0.5，the R Foundation for Statistical Computing，Vienna，Austria）對数据进行预处理、建模、诊断、预测等。从时间序列图（图1）可以看到，1978-2020年北京市GDP呈现指数增长趋势，2020年GDP值为36 102.6亿元，是1978年的332倍左右。

3.2 平稳性检验

从时序图（图1）可以发现北京市GDP随时间呈指数增长趋势，为非平稳时间序列。因此，首先利用R软件中log函数对原始数据进行对数处理，再进行差分。随后利用R软件中diff函数对其进行一阶差分，单位根检验结果显示P=0.413 3＞0.05，表明对数一阶差分后的序列还不是一个平稳序列。故对其进行二阶差分，单位根检验结果显示P＜0.05，表明其符合平稳时间序列特征。

3.3 ARIMA（p，d，q）的识别

原始序列数据通过取对数和二阶差分处理后变为平稳序列，因此d=2，初步确定ARIMA模型为ARIMA（p，2，q）。利用R软件中acf和pacf函数绘制出上述平稳化序列的自相关图（图2）和偏自相关图（图3），通过观察图形的自相关系数变化趋势可初步判断p、q的取值。从序列的自相关图可以看到序列在零阶截尾，初步判断q=0；从序列的偏自相关图可以看到序列在二阶截尾，初步判断p=2。

为保证p、q值的选择更加准确合适，利用R软件中ARIMA函数进行模型拟合，AIC值在ARIMA（2，2，0）、ARIMA（2，2，1）、ARIMA（1，2，0）、ARIMA（1，2，1）等不同参数下，分别为-127.83、-128.89、-122.14、-126.32。根据AIC准则（该值越低越好）选择最优模型为ARIMA（2，2，1）。

3.4 残差白噪声检验

通过绘制残差序列的Q-Q图（图4）可以看到残差近似落在一条直线，可以初步判断该序列是随机正态分布。利用R软件中Box.test函数开展进一步白噪声检验，结果显示Ljung-Box统计量的P值大于0.05，说明该序列属于白噪声序列。因此，可判定模型ARIMA（2，2，1）合理。

3.5 模型预测

通过绘制北京市1978-2020年GDP预测值与实际值的时间序列图（图5）可以看出预测值与实际值的变化趋势基本保持一致，反映出模型拟合程度较好。

图5  真实值与预测值比较

选取北京市2010-2020年GDP真实值与预测值数据进行比较，对比结果发现真实值与预测值的相对误差较低，其中2020年的相对误差最高，为0.062（表1）。总体上，真实值与预测值的相对误差较低，反映出模型预测效果良好，可以应用ARIMA（2，2，1）模型对北京市2021-2025年GDP进行预测。

利用R软件中forecast函数对北京市2021-2025年GDP进行预测，发现北京市未来5年的GDP依次为37 094.89亿元（95%CI：34 027.35～40 439.00亿元）、38 831.57亿元（95%CI：32 056.01～47 039.36亿元）、39 714.03亿元（95%CI：29 877.77～52 788.57亿元）、41 144.21亿元（95%CI：27 295.85～62 018.62亿元）和42 623.04亿元（95%CI：24 690.65～73 579.37亿元），可以看出对北京市未来5年GDP仍然保持较高的增长速度（见表2）。

4 结论与建议

本研究选取1978-2020年北京市GDP年度数据，利用R软件构建出ARIMA（2，2，1）模型，并预测北京市未来5年的GDP值。该模型显示真实值与预测值的相对误差在7％以下，可较好预测北京市GDP未来趋势。2020年北京市GDP预测值出现了超过5％的相对误差，这可能与新冠肺炎疫情有关。通过ARIMA（2，2，1）模型预测北京市未来5年的GDP值，结果显示北京市2021年GDP值为37 094.89亿元，有望在2024年突破40 000亿元大关。预测模型发现未来5年北京市GDP呈现出稳步增长的趋势，可为北京市“十四五”发展规划提供决策建议。

一是建设国际科技创新中心，构建首都特色经济体系。通过支持国家级高新技术企业、专精特新小巨人企业和独角兽企业，实现创新驱动和长线发展。继续聚焦高精尖产业，将创新因子融入先进制造业，追求现代服务业顶层价值，吸引国际一流创新人才，打造世界一流人才高地。

二是发挥数字经济核心优势，加强新型基础设施建设。加快北京数字贸易港建设，开展区块链、人工智能、5G等算力平台先行示范，扩大智慧城市试点区域，更加突出数字经济发展重要地位。

三是建设国际消费中心城市，不断探索消费新模式。针对新时代消费群体的变化，可将北京特色文化融于消费新场景中，加强构建特色商圈、专题品牌等消费活动。将扩大内需作为重要抓手，与传统工商业改造升级进行有机结合，把恢复和刺激消费放到突出位置。

四是鼓励发展民营经济，实现提就业稳税收。民营经济不仅是经济增长、GDP健康稳定发展的重要力量，也是市场机制有效运行的关键因素。面对新冠肺炎疫情的冲击，经济不断面临挑战，民营经济发展对推动社会主义市场经济建设具有重要意义。构建良好的营商环境，解决企业发展问题更加有助于北京经济高质量发展。

【参考文献】

【1】张梓.基于ARIMA模型的贵州省GDP分析与预测[J].国土与自然资源研究，2022（05）：39-41.

【2】夏如玉，王梓桥.基于ARIMA模型对重庆市GDP预测分析[J].中国储运，2022（08）：93-94.

【3】查华，石舢.基于ARIMA模型对江苏省GDP的预测[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2022，36（03）：33-36+54.

【4】王铮.基于ARIMA模型对广东省GDP的预测分析[J].现代商业，2021（36）：69-71.

【5】瞿海情，何先平.基于时间序列分析的湖北省GDP预测模型研究[J].湖北经济学院学报（人文社会科学版），2021，18（09）：37-39.

【6】潘典雅.基于ARIMA模型的吉林省GDP分析及预测[J].中国集体经济，2021（27）：15-16.

【7】胡咏琪.ARIMA模型在陕西省GDP预测中的应用研究[J].中国商论，2021（13）：174-176.

【8】王佳佳.基于ARIMA模型的安徽省GDP的分析与预测[J].枣庄学院学报，2020，37（05）：38-44.

【9】郑梦琪，朱家明.基于ARIMA模型对浙江省GDP预测分析[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2020，36（03）：56-61.

【10】Rguibi MA， Moussa N， Madani A， et al. Forecasting Covid-19 Transmission with ARIMA and LSTM Techniques in Morocco[J].SN Comput Sci，2022，3（2）：133.

【11】王燕.時间序列分析——基于R[M].北京：中国人民大学出版社，2015.