聚焦意义，让学习走向深度

金滢

［摘  要］ “数对”是沟通学生认知结构中代数与几何的重要基石，在教学中教师应帮助学生主动探究，感悟数学思想，经历活动过程。在意义的教学中教师需要进一步思考增加或删减的内容，让学生的有意义学习得以进行和拓展。

［关键词］ 有意义学习；学习心向；数对

一、偶遇：关于“数对”的错误表白

“数对”是小学数学教学中比较特殊的一个内容，“数对”的学习对学生后续数学核心素养的发展具有非常重要的意义。教师既要关注学生的空间观念，又要关注学生的代数理解。大多数教师深谙此理，但在实际教学中却存在着一些问题。

（一）忽略现场的“情境设计”

教师们在教学“用数对确定位置”这一课时，往往会想办法创设看起来贴近学生生活的教学情境。

师：看，这是同学们参加军训的場景。大家队列整齐，精神抖擞，真像一个个小军人。小强是小班长，你找到他了吗？那你能描述他在队伍中的具体位置吗？谁来说说。

（出示军训情境图）

生1：第2排第3个。

生2：从前数第2排从右数第4个。

……

在这样的情境中，教师发现引导学生用不同的方法描述小强的位置时有些困难，从而引出“数对”的教学。然而，在这个情境中学生始终处于观察者的位置去调动生活经验进行问题解决。数对的引出只是为了表达方式的统一，从直观图到数对仅仅是生活数学到数字化表达的提升。教学中教师把学生所处的现实情境与图示情境进行转换才是教学的难点，才能让学生的空间观念与直角坐标系进行对接，这不正是笛卡尔的初衷所在吗？

（二）走过场式的“教师牵引”

在数对的教学过程中，看似由学生经历了创造“统一符号”的过程，实际上这是教师预先设定的环节，学生只是走过场而已。

在学生用多种方法表示某一位置后。

师：数学是一种国际语言，追求简洁明了，这些文字写起来多麻烦啊，能不能把这些方法写得再简单些呢？想一想，把你的想法记录在学习单上。

学生开始思考。

教师展示学生作品后，介绍数对。

乍一看教师确实在努力引导着学生探索最佳的表示方法。但是在这一过程中，学生真的有收获吗？学生真的有效理解了这个知识点吗？对于处于第二学段的学生来说，数对是一个新的事物，在他们的认知结构中是很难想出既合适又简便的表示位置的方法，一味地为了“教师牵引”而让他们去探索，只能适得其反。

（三）浮于表面的“数学思想”

在教学中教师努力地渗透数形结合的思想，让学生在方格图上找点，找出同一列的数对的第一个数字相同。

师：你能用数对表示出方格图上这几个点的位置吗？根据数对，能指出（2，4）和（3，5）分别在哪儿吗？

（2，3）和（2，4）它们的位置有什么共同点？表示它们位置的数对有什么共同点？

但在这一过程中，学生只是被动地去发现，去接受教师所教授的内容，并没有真正地感悟到原来数对还可以用来描述图形上的点的位置，这样的“数学思想”自然是浮于表面的。

二、思考：关于数对确定位置的聚焦点

以上几点只是传统的“数对确定位置”教学中的冰山一角，那么该如何解决这些问题呢？教材是众多专家和一线教师智慧的结晶，是新课标的进一步展开和具体化，而学生又是学习的主体。接下来笔者将聚焦于教材和学生两个角度进行思考。

（一）教材编排中窥探聚焦点

１. 知己：纵向聚焦探究竟

以人教版教材为例，教材在“位置与方向”领域在不同年段安排了4个内容（如表1所示）。

可见，学生在会用“上、下、前、后、左、右”以及“东、南、西、北”等方位词来描述位置之后，教材安排了“用数对确定位置”的学习内容，而这一内容并不仅仅是简单的生活意义上的确定位置，还是认识坐标的雏形，并引导学生用坐标的方法描述位置，为后续能够描述简单的路线图奠定知识基础。因此，教师应当基于学生的有意义学习来展开教学。

２. 知彼：横向对比得不同

为了寻求引导学生有意义学习数对相关知识的有效途径，笔者精心阅读了三个版本的教材（如表2），发现它们在编排上有所差异，但在知识形成体系上却有着异曲同工之处。

笔者结合各个版本教材的特点以及学生进行有意义学习的相关情况，将教材整合如下：

（1）化静为动凸显概念本色

教材中的情境图是静止的，有时并不能完整、准确地表达编者的意图。在教学中，教师可以先完整呈现教材中的教室位置情境动态图，再隐去一部分，让学生更专注、更有效地感受到数对概念的本质。

（2）化直为曲经历活动过程

三个版本的教材给出的都是教室的座位图，这样直接对接数对虽然比较直观，却忽略了学生从自身位置到数对的转换。所以在教学时，笔者决定选取学生最熟悉的这个教室，从学生最熟悉的情境和事物出发，让学生经历由真实生活空间到数学符号转化的曲折过程。

（3）化无为有体现数学思想

仔细分析三个版本的教材不难发现，教材中都提供了图形中的数对。所以，在教学中，笔者选取了从点到线到面这样的形式，出示格子图中的长方形，从原来什么都没有，到有一个点，点连成线，线连成面，让学生逐渐感悟到数形结合的数学思想。

（二）学生起点中寻觅聚焦点

学生在之前已经学习过用“第几组第几个”的方式来描述实际情境中物体的位置，并且在生活中也有许多类似的经验，但是学生对物体位置的描述还没有形成特定的规范。为了了解学生学习的起点，笔者设计了以下三道前测题。

１. “组”“排”的意义是学生描述位置的基础

处于第二学段的学生对于位置的描述还没有形成特定的规范，皮亚杰的认知发展理论指出11岁至成人的这段时间是儿童思维发展趋于成熟的阶段。这个阶段的儿童能理解符号的意义，能对事物做一定的概括（学生做题的统计如图１）。

从结果中不难看出，大部分学生能够想到用“组”“排”的意义去描述物体的位置，部分学生还想到了带上方向。这是本课学习的现实基础之一。

２.丰富的生活经验是位置意义的原材料

生活中学生接触到的有关位置的情境较多，如电影院的位置、动车上的位置、飞机上的位置等，也能想到生活中类似的经验，而这恰好就是本课教学位置意义的前提。

３.数轴上点的认识提供了一维的意义基础

虽然在之前的数学学习中，学生没有接触过数轴，但是大多数学生可以用自己的方式描述A、B、C三个点的位置。这为后续学习像数对这样的二维坐标提供了一维的意义基础。

如表3所示，大部分学生知道要去数点的数，只有少部分学生考虑到了方向。综合三道前侧题的调查数据，不难发现学生能用自己的语言描述位置，但是大多不规范，所选取的思考角度也都不同，这就有了数对产生的必要性。

综上所述，不管是教材的编排还是学生的起点，都具有一定的现实意义。与传统的数对教学不同的是，笔者认为本节课要让学生有意义地学习数对。

三、实践：让“有意义”成为教学的核心

基于“数对确定位置”的教学现象，以及奥苏泊尔的相关理论，笔者结合教材编排以及学生起点，切实落实数对概念的本质，让学生有意义地理解数对的相关性质，从而发展学生的空间能力。

（一）意义呼之欲出：“小品式”冲突引生入“瓮”

合理的认知冲突有助于激发学生的“有意义学习心向”，在整个教学过程中，笔者创设了三个“小品式”的冲突，引导学生的思维一步步走向深入。

１. 冲突1：4个同学的“争执”

在学生用“组”“排”介绍完自己在教室所处的位置后，笔者直接在黑板上板书（4，5），请认为是自己所处位置的学生站起来，一下子有4个学生站了起来，大家都觉得自己是有道理的。

生1：我坐在从左往右数的第4排，从前往后数的第5个座位。

生2：我坐在从左往右数的第4排，从后往前数的第5个座位。

生3：我坐在从右往左数的第4排，从后往前数的第5个座位。

生4：我坐在从右往左数的第4排，从前往后数的第5个座位。

这时，笔者提出：大家都觉得自己是对的，看来要想用它来确定咱们班同学的位置得先做一个规定。在学生原有的认知结构中，（4，5）可以有不同的意义，那么到底应该如何来判断呢？

冲突1的创设，让学生有了“有意义学习的心向”，对数对学习有了兴趣，为后面自己去探究数对的相关性质奠定了基础。

２. 冲突2：第8列的困惑

在学生对数对有初步认识后，笔者板书了（8，  ）这样一个并不完整的数对，提问学生：这个数对所表示的是我们教室中的哪一位同学呢？

不同水平的学生有不同的思考，在这个过程中笔者没有直接给出数对必须有两个数字这个性质，而是通过创设又一认知冲突，让学生在这样的氛围中有意义地习得这一知识，水到渠成。

３. 冲突3：一起找小亮

学生已经学会用数对来描述教室中的位置，这是学生原有的生活经验基础之上所能达到的高度。而数学教学就是将生活中的数学转化成抽象的数学知识的过程。

因此在教学中，笔者设计了这样一个“一起找小亮”的环节，出示教材上的情境图（如图２），让学生用数对来描述小亮的位置。学生有了前面的知识经验，很快描述出了小亮的位置。这个时候，教师将小亮周围的其他同学隐去，追问：现在这样，你能用数对表示出小亮的位置吗？

从教室到一幅情境圖，学生都可以直接判断出位置，现在一下子隐去了其他人，学生发现没有办法判断了，所以一致认为应该把人数填满。

笔者追问：什么叫作“把人数填满”？教师出示格子图，用格子上的点代替其他同学，然后要求学生在格子图上找到小亮的位置。

在这一环节，笔者采取了“先出现、再隐去、最后抽象成格子图”的方式，学生可以更加直观地感受到数对的坐标意义，为后续第三学段学习二元一次方程奠定了知识基础。

（二）揭秘步步为营：任务式探寻主动启智

数对的概念比较抽象，与小学生思维的具体形象性之间的矛盾，造成小学生掌握这一概念比较困难，因此在教学中笔者引导学生主动去探寻，增长知识。

1. 自学中长知识

奥苏泊尔强调，学生在学校中的有意义学习最主要的应该是有意义地接受学习。接受学习并不就等同于机械学习，它可以并且应该是有意义的学习。

所以当学生对（4，5）这个位置产生疑惑的时候，笔者就呈现规定：（4，5）第一个4表示从左往右数第4组，5表示从前往后数第5个。随后笔者在黑板上写一个数对（6，1），询问这表示哪个同学的位置呢？

这时，笔者提出探究任务：学生自学教材上关于数对的知识。在这一学习任务的引领下，学生有意义地学习一个新的知识点“数对”。自学结束后，围绕数对这一个知识点展开进一步的教学。

2. 寻找中促理解

心理学研究表明，良好的学习情境可以激发学生的学习兴趣，从而促进他们对知识的理解。因此，在学生自学后，设计“找一找”的环节，让学生在这样的学习氛围中更加深入地理解知识。

在学生能够用数对表示自己和同学在教室中的位置后，通过问题“在教室里表示的是你的位置，在这幅图中表示的是谁的位置”激发学生的认知冲突，引导学生将空间想象从“本位感知”转向“间接转换”——课件的座位图中出现相应的数对，学生根据图示与现实情境对接，确定该位置对应的同学，体会到行和列的相对性，渐渐地加深了对数对意义的理解。

（三）思想层层渗透：数学化引领深入人心

学生的数学思维离不开数学思想方法，教师要关注教材中所蕴含的数学思想，在教学过程中有机渗透，让学生在潜移默化之中去感悟、应用它们。

1. 由意义到本质，突破符号化

数对的理解需要学生将图转化成完整的数学表达，在学生学会根据数对来寻找教室里的位置以及图上的位置以后，教师让学生写出小亮所在的位置，正如前文提到的“先出现、再隐去、最后抽象成格子图”。同时，教师通过前面一环节出示（8，  ），使学生意识到数对必须有两个数，让学生在感受符号化思想的同时逐步感悟出数对的本质——任意两个有序的数都能确定位置。

2. 由情境到模型，实现坐标化

数学模型是学生数学学习的重要内容，学生学习数学知识的过程就是对一系列数学模型理解的过程。因此，在将数学情境转化成模型的过程中，学生渐渐理解了坐标化的数学思想。

学生在由情境到模型的转化过程中，不仅感悟到在三种图中用数对确定位置的内在联系（如图3），还借助格子图渗透了“坐标”的思想，为后续的学习打下坚实的知识基础。

3. 由静态到动态，数形联结化

在学生会用数对确定格子图上的位置后（如图4），笔者继续拓展，出示A点，循序渐进，找出B、C、D点的位置后，探究性质。

师：你们还会找A点吗？

师：现在这个点要变化了。A向右移动变成B，A向上移动成为C。

你能用数对表示出B、C两个点的位置吗？请把它们写在学习单的前面。

笔者展示学生作品。

课件出示：AB连成线段，AC连成线段，把它们分别向右向上平移，变成了一个长方形。你们能用数对来表示D吗？

师：你有什么发现？

生1：C和D行数10，A和C列数4，B和D列数17，A和B行数3。

师：你还有什么补充？

生1：假如在第4列，数对第1个数不会变。假如在第10行，数对第2个数不会变。

采用数形结合思想进行小学数学教学不仅能将抽象的数学语言变得形象易懂，而且有利于培养小学生数学思维和空间想象力。学生在学习数对的同时，还感悟到图形的特征和数对的特征可以彼此映衬。

（四）拓展耐人寻味：深度化练习“意”在人为

數学学习的过程从本质上来说就是让学生亲历数学化活动的过程，而亲历数学化的过程就是学生学习数学意义的一个最基本的路径。

1. 开放式情境，“意”促理解

开放式的情境能让学生在思考和分析时思路更加开阔，能够充分利用已学的数学知识进行思考。“糖果可能放在哪些同学的位置上”就是一个极具开放性的问题，每个人对于糖果所放的位置都有不同的想法，可以从0开始标，也可以从其他数字开始标，答案不唯一。

笔者请学生画一画、标一标糖果可能放在哪些位置上。这样的一个开放性的问题极大地促进了学生对数对意义的理解。

2. 代入式体验，“意”由心生

数学学习离不开个体的体验，只有充分的体验，学生才能真正地理解数对的意义，而意义的理解也是由学生的内在需要达成的。教师应在教学中充分引导学生去体验、感悟、实践。

在进行反馈时，教师发现学生的创造能力是很强的，有的是“中规中矩”地从0开始标；有的标着标着发现这样分下去，自己分不到糖果了，所以就改变了起始的位置。在这一过程中，学生顺理成章地将自己代入这个分糖果的情境中。而在这一代入式的体验中，学生自然而然地感悟到为什么要创造出数对来描述位置，更加深刻地体会了数对的意义。

创设开放性的情境式练习，使得每一个学生都能参与进来，并且由于所处的地点就是他们的教室，他们具有强烈的代入感。正是在这样极具代入感的开放式情境中，学生进一步体会到用数对确定位置的必要性和数对的意义。

数对的教学源于意义，同样也成于意义。基于有意义的学习，学生对“数对”的认识从浅层走向深层，将其纳入原有的认知结构中，让学习有趣、有序也更加有效！