端弯矩作用下侧向支承钢梁的临界弯矩研究*

彭代斌 刘占科

(兰州大学西部灾害与环境力学教育部重点实验室, 土木工程与力学学院, 兰州 730000)

0 引 言

钢梁作为钢结构中的基本构件,在最大刚度平面内作用荷载时,通常会发生出平面外的侧移并伴随着截面绕剪心扭转的现象,即梁发生了弯扭屈曲,此时平面内的最大弯矩即为临界弯矩[1]。

为提高钢梁的平面外稳定性,工程中常采取在梁跨内设置侧向支承的措施,例如钢结构有檩屋盖体系中,针对檩条的侧向稳定性而设置的拉条被看成是侧向刚性支承[2],檩条和隅撑组成的支承体系同时也可为钢梁提供侧向转动刚度[3]。为确保侧向支承钢梁的整体稳定性,需要计算其弯扭屈曲临界弯矩Mcr。

根据荷载工况和支承情况可把当前侧向支承钢梁临界弯矩Mcr的计算方法分为两类,第一类是适用于任意荷载工况和支承沿梁纵向任意布置的一般算法,如Nethercot和Trahair[4]提出的“NT法”。该类算法首先以各支承点之间的梁段为简支梁并计算各梁段的临界弯矩,然后取临界弯矩最大的梁段为最弱梁段,在考虑相邻梁段的刚度、临界荷载的影响后最终以最弱梁段为对象确定支承钢梁的临界弯矩Mcr[5];显然,该方法计算过程繁复,不便于工程设计应用。第二类是适用于具体荷载工况和沿梁纵向等间距布置支承的情况,如被GB 50017—2017《钢结构设计标准》[6](简称《17标准》)采纳的魏世杰[7]提出的βb系数法,以及被GB 50018—2002《冷弯薄壁型钢结构技术规范》[8](简称《02规范》)采纳的方山峰[9-10]提出的“3C”系数法;该类方法把可能存在的相关作用通过等效弯矩系数βb或“3C”系数予以考虑,计算过程较为简单。

对于满跨均布荷载、跨中集中荷载作用下等间距布置侧向支承简支钢梁的临界弯矩,《17标准》和《02规范》均给出了支承数量n=1和n≥2的βb系数或“3C”系数。然而,对于端弯矩作用的工况,《17标准》未提供βb系数,仅给出了无支承钢梁临界弯矩的βb系数;而《02规范》仅给出了端弯矩比例系数ψ=1.0、0.5、0、-0.5和-1.0共5种情况下系数C1的数值,C3恒等于1。由此可见,《17标准》和《02规范》中有关端弯矩作用侧向支承钢梁的临界弯矩计算尚需补充或完善。

为建立端弯矩作用下等间距布置侧向支承简支钢梁临界弯矩的计算方法,本文取两侧向支承点之间的各梁段为简支梁,分析了各梁段的端弯矩比例系数随支承钢梁端弯矩比例系数和侧向支承数量变化而变化的特征,取支承钢梁最大端弯矩所在梁段为两端简支的计算梁段,采用理论分析和数值模拟相结合的方法,揭示了纯弯工况和非纯弯工况计算梁段与其他梁段的相关关系,得到了支承数量n=1～4时计算梁段相关作用系数α的表达式和临界弯矩系数C1的数值,把支承钢梁临界弯矩的计算转化为计算梁段临界弯矩的计算。最后,分别采用系数α和C1以及现行国标的临界弯矩计算方法计算了支承钢梁的临界弯矩,并与有限元数值进行对比,验证了系数α和C1以及现行国标的临界弯矩计算方法的精度。

1 端弯矩作用下侧向支承钢梁的计算梁段及其临界弯矩

1.1 计算梁段及其端弯矩计算

本文研究对象为端弯矩作用下受压翼缘等间距布置侧向支承的简支钢梁,简称“端弯矩作用侧向支承钢梁”。为确保端弯矩作用侧向支承钢梁弯扭屈曲临界弯矩的计算式具有一般性,记支承钢梁的跨度为l,支承钢梁的左、右两侧作用的端弯矩分别为ψM和M,其中ψ为简支钢梁的端弯矩比例系数,其范围为-1≤ψ≤1(图1a)。在钢梁跨内沿钢梁纵向从左到右在受压翼缘上表面的外侧等间距布置n个侧向支承(图1b),其编号i由1开始直至n,则每个梁段的跨度为lcs=l/(1+n)(图1a)。

在端弯矩ψM(-1≤ψ≤1)和M作用下,当M达到临界弯矩Mcr时,各侧向支承点之间的梁段同时发生弯扭失稳。已有研究表明,钢梁弯扭屈曲的临界弯曲为屈曲瞬间的平面内弯矩[1]。根据图1a的端弯矩分布情况和几何关系,可知第i个支承点处的平面内弯矩为:

a—正立面; b—支承处剖面。图1 侧向刚性支承设置在受压翼缘的工字钢梁Fig.1 Steel I-beam with lateral restraints on compression flange

(1)

由于侧向支承限制了支承点处的侧向位移和(或)扭转,支承钢梁弯扭屈曲的半波数随支承数量的增加而增加,故为了简化简支支承钢梁临界弯矩计算,通常取两支承点(包括钢梁两端的边界约束)之间一个梁段为计算梁段,在考虑可能存在的相关作用后,按两端简支钢梁确定计算梁段的临界弯矩。

现取各梁段为简支梁,为满足各梁段端弯矩比例系数ψi不大于1的要求,即-1≤ψi≤1,可把ψi的计算分为3种情况:

1)当Mi=0或M1+i=0时,ψi=0;

2)当Mi≠0,M1+i≠0且Mi与M1+i同号时,ψi=Min(M1+i/Mi,Mi/M1+i);

3)当Mi≠0,M1+i≠0且Mi与M1+i异号时,ψi=Max(M1+i/Mi,Mi/M1+i)。

根据以上3种情况绘出侧向支承数量n=4时的ψi-ψ关系如图2所示。可知,支承钢梁最大弯矩所在梁段的端弯矩比例系数ψn随支承钢梁的端弯矩比例系数ψ变化而呈现出线性变化的趋势。因此,为简化计算,选择支承钢梁最大弯矩所在梁段,即图1a最右侧的梁段(第n个梁段)为计算梁段。由于计算梁段两侧的端弯矩同号且都大于0,右侧的端弯矩M1+n大于左侧的端弯矩Mn,故可由ψn=M1+n/Mn并结合式(1)得到计算梁段的端弯矩比例系数:

(2)

由于钢梁的端弯矩比例系数的范围为-1≤ψ≤1,而支承数量n≥1,则基于式(2)把支承钢梁和计算梁段的临界弯矩、跨度、端弯矩比例系数及其范围总结如表1所示,其中计算长度系数为跨度与支承钢梁跨度l的比值。

图2 各梁段的端弯矩比例系数ψnFig.2 End moment ratios of segments

表1 支承钢梁及计算梁段的参数Table 1 Parameters of the braced steel beams and the objective segment

1.2 作为简支梁的计算梁段的临界弯矩

在端弯矩ψnM(0≤ψn≤1)和M作用下,跨度为lcs=l/(1+n)的计算梁段(简支梁)发生弯扭失稳的临界弯矩可采用式(3)计算[1]:

(3a)

(3b)

(3c)

式中:Pcr,y为绕y轴弯曲失稳的临界荷载;Mocr为纯弯构件的临界弯矩;βy为截面不对称参数;E、G分别为弹性模量、剪切模量;Iy、It、Iω分别为截面绕y轴的惯性矩、自由扭转惯性矩、翘曲惯性矩;lcs为每个梁段的跨度;C1,n、C3,n为钢梁临界弯矩的系数,其中C1,n可采用《17标准》[4]提供的式(4)。

C1,n=1.75-1.05ψn+0.3ψn2≤2.3

(4)

显然,式(3)、式(4)是把支承钢梁临界弯矩Mcr的计算转化为计算梁段临界弯矩Mcrc的计算,这一转化可降低计算工作量,但也不可避免地忽略了梁段之间可能存在的相关作用。因此,为考虑其他梁段对计算梁段的影响,首先结合支承钢梁的数值模拟分析结果揭示其他梁端与计算梁段的相关作用,而后提出支承钢梁临界弯矩计算式。

2 支承钢梁的相关作用分析

2.1 支承钢梁的有限元模型

为分析计算梁段的相关作用特征及后续验证本文计算式的精度,本文取欧标工字钢IPE300、IPE450、IPE600、IPE500以及IPE750×210的截面高度h、翼缘宽度b、腹板厚度tw以及翼缘厚度tf形成如表2所示的5个工字形截面,截面的几何性质见表3。

表2 工字形截面的几何尺寸Table 2 Dimensions of I-section

为使得所分析支承钢梁的跨度l、端弯矩比例系数ψ、支承数量n具有广泛性,支承钢梁的跨度由l=(1+n)lcs计算,而计算梁段的跨度lcs由表4的比例系数lcs/h与工字形截面高度h相乘得到,ψ与n的范围如表4所示,则以IPE300、IPE450和IPE600为截面的支承钢梁的数量共1 512个。

表3 工字形截面的几何性质Table 3 Geometric properties of I-section

表4 数值计算参数Table 4 Parameters for numerical analysis

为获得精确的支承钢梁临界弯矩Mcr,ex,本文分别选用构件整体失稳分析专用软件LTBeamN和通用有限元分析软件ABAQUS分别进行数值模拟。LTBeamN是一款专门分析构件整体失稳的软件,可保证发生失稳的支承钢梁为纯弯扭失稳,且计算过程耗时较少;而采用ABAQUS分析时则可能需要通过加设限制措施才能保证构件以所需的失稳模态发生变形,且建模相对复杂。因此,本文的数值模拟首先以ABAQUS校核LTBeamN的计算精度,而后采用LTBeamN进行计算以确保支承钢梁仅发生弯扭失稳,并提高计算效率。

因为目前没有侧向支承梁在端弯矩作用下失稳的试验研究,故采用ABAQUS对LTBeamN的计算结果进行校核。图3给出了ABAQUS模型的边界条件及支承约束设置,图4给出了支承钢梁跨高比lcs/h=6,支承数量n=2,端弯矩比例系数ψ=1、0.5、0、-0.5、-1情况下表2和表3中截面IPE300、IPE450和IPE500的临界弯矩对比,其中,Mcr,LT由LTBeamN计算得到,Mcr,AB由ABAQUS计算得到,且15个Mcr,LB/Mcr,AB的均值和标准差分别为1.013、0.040。图5给出了图4中ψ=0时,截面IPE500的支承梁在两种有限元软件中的屈曲变形对比。由图4及图5可知,LTBeamN与ABAQUS模拟的支承钢梁弯曲屈曲的失稳模态相似,临界弯矩数值也十分接近,表明LTBeamN在整体失稳数值模拟上具有足够的精度。

图3 ABAQUS模型的边界条件及支承约束设置Fig.3 Setting of boundary conditions and restraints constraints in ABAQUS model

图4 LTBeamN和ABAQUS计算的临界弯矩对比Fig.4 Comparisons of critical moments obtained from LTBeamN and ABAQUS

a—LTBeamN; b—ABAQUS。图5 LTBeamN和ABAQUS计算的屈曲模态对比Fig.5 Comparisons of buckling modes obtained from LTBeamN and ABAQUS

2.2 计算梁段的相关作用分析

在验证了LTBeamN的计算精度后,采用LTBeamN计算表4中共1 512个支承钢梁的临界弯矩Mcr,ex,采用式(3)、式(4)按简支梁确定计算梁段的临界弯矩Mcrc,并按纯弯工况(图6a)和非纯弯工况(图6b)分别给出Mcrc与Mcr,ex的对比图。

由图6a可知,对于纯弯工况(ψ=1)的支承钢梁,n=1～4时,Mcrc与Mcr,ex非常接近,表明该情况下各梁段之间无相关作用,可选取任意一个梁段且作为简支梁计算其临界弯矩。而由图6b可知,对于非纯弯工况(-1≤ψ<1)的支承钢梁,n=1～4时以Mcrc计算支承钢梁的临界弯矩存在偏不安全或偏过于安全的情况,表明对于非纯弯的工况,各梁段之间具有相关作用,故不能直接取梁段为简支梁计算其临界弯矩。

a—纯弯(ψ=1); b—非纯弯(-1≤ψ<1)。图6 不同端弯矩工况下计算梁段的相关作用Fig.6 The interaction between segments for different end moment ratios

3 支承钢梁临界弯矩的实用公式

鉴于非纯弯情况下Mcrc与Mcr,ex之间差异较大(图6b),且不能把支承钢梁的临界弯矩计算直接采用简支钢梁临界弯矩计算式进行计算,故为提出较为精确的端弯矩作用下支承钢梁临界弯矩的计算式,基于LTBeamN计算的Mcr,ex,对于双轴对称截面钢梁(βy=0),可由式(5)反算出精确的C1,ex。

C1,ex=Mcr,ex/Mocr

(5)

当确定了精确的C1,ex后,可进一步由式(6)确定出精确的计算梁段的相关作用系数αex。

(6)

式中:C1,n由式(4)给出的两端简支钢梁在端弯矩作用下的临界弯矩系数。

为揭示C1,ex随支承数量n、端弯矩比例系数ψ的变化规律,以图6中共计1 512个Mcr,ex为依据,根据式(5)绘出n=1～4对应的C1,ex-ψ关系(图7),其中“IPE300,6”表示截面IPE300在lcs/h=6时的数据,其余类同。由图7a可知,当n=1时,在-0.8≤ψ≤1范围内各C1,ex与其平均值曲线(图中的实线)较为接近;由图7b～7d可知,当n≥2时在-0.4≤ψ≤1范围内各C1,ex与其平均值曲线(图中的实线)较为接近。基于图7的分析可给出不同支承数量n、端弯矩比例系数ψ对应的C1系数,如表5所示。

a—n=1; b—n=2; c—n=3; d—n=4。图7 不同支承数量n对应的的C1,ex-ψ曲线Fig. 7 Relation between C1,ex and ψ for different lateral restraint numbers (n)

同样的,可结合《17标准》给出的式(6)考察计算梁段与其他梁段的相关作用情况。根据式(6),绘出截面IPE300、IPE450、IPE600在lcs/h=6时的αex-ψ曲线,如图8所示。可知,αex可很好地描述不同支承数量n、截面几何尺寸与支承钢梁端弯矩比例系数ψ的关系。因此,结合表5给出的系数C1的范围和式(6),给出相关作用系数α的计算式如表6所示。

图8 截面IPE300、IPE450、IPE600在lcs/h=6时的αex-ψ曲线Fig.8 Relation between αex and ψ for IPE300、IPE450、IPE600 when lcs/h=6

表5 建议的C1系数Table 5 Proposal of coefficient C1

至此,可直接采用表5中的系数C1的数值,或由表6中的α的计算式和式(4)给出的C1,n,由C1=αC1,n按式(7)计算端弯矩作用侧向支承钢梁的临界弯矩,其中Mocr和Pcr,y分别由式(3b)和式(3c)计算。需要说明的是,由于《02规范》给出的C3恒等于1,而《17标准》未给出C3的具体数值,故式(7)以包含βy的形式给出,而在精度检验时仅考虑表2中的双轴对称工字形截面(βy=0)。

(7)

表6 相关作用系数αTable 6 Interaction coefficient α

4 数值验证与对比

4.1 系数C1的精度验证及与现行标准的对比

由前述分析可知,对于纯弯工况(ψ=1)的支承钢梁,由于《17标准》和《02规范》都给出C1,n=1,故计算的临界弯矩Mcr是精确的。对于非纯弯的荷载工况(-1≤ψ<1),由于图6b中的Mcrc是采用《17标准》计算的,故可知不能以《17标准》中简支钢梁临界弯矩的计算式计算支承钢梁的临界弯矩。对于《02规范》,采用LTBeamN计算表2、表3中截面分别为IPE300、IPE450和IPE600的支承钢梁的临界弯矩Mcr,其中支承数量n=1～3,并与LTBeamN计算的精确值Mcr,ex进行对比见图9。图9也给出了采用式(7)和表5计算的临界弯矩,其中ψ的范围以表5为准。

由图9可知,对于支承数量n=1和n≥2的情况,采用《02标准》计算的Mcr均偏不安全,且随着支承钢梁端弯矩比例系数ψ减小,偏不安全程度增加,ψ=-1时最大。相反地,采用式(7)和表4计算的Mcr则始终与Mcr,ex符合得很好。因此,建议在端弯矩作用下支承钢梁的设计中采用本文推荐的C1系数(表5)。

图9 非纯弯等间距支承钢梁临界弯矩的对比Fig.9 Comparisons of critical moments of impure restrained beams with equal spacing

4.2 相关作用系数α的精度验证

为验证式(7)及表6给出的相关作用系数α的精度,选用表2、表3中的截面IPE500和截面IPE750×210作为支承钢梁的截面,在支承数量n= 1～4的情况下共计算得到256个Mcr数值,并与LTBeamN和ABAQUS计算的精确值Mcr,ex进行对比(图10),其中截面为IPE500的计算梁段的跨度lcs分别取3 000 mm和7 000 mm,截面为IPE750×210的计算梁段的跨度lcs分别取6 200 mm和10 850 mm。在图10中,LTBeamN与ABAQUS有限元解比值的均值和标准差分别为1.017和0.022,这也表明LTBeamN在计算支承钢梁临界弯矩具有足够的精度。

由图10可知,对于由LTBeamN计算的Mcr,ex,Mcr/Mcr,ex的均值和标准差分别为1.002和0.013;而对于由ABAQUS计算的Mcr,ex,Mcr/Mcr,ex的均值和标准差分别为1.019和0.022,表明式(7)及表6给出的相关作用系数α具有较高的精度,可用于端弯矩作用下支承钢梁临界弯矩的计算。

图10 计算值与有限元解对比Fig. 10 Comparisons of determined results and numerical results

5 结束语

本文以受压翼缘设置侧向刚性支承的工字钢梁为研究对象,为准确计算支承梁临界弯矩引入相关作用系数α,通过对有限元软件求解的支承梁临界弯矩进行数值分析,提出α的表达式并导出临界弯矩计算式,将本文临界弯矩计算值和现有方法计算值分别与有限元解对比,得出以下结论:

1)支承钢梁发生弯扭失稳时两两支承点之间的梁段同时失稳。纯弯工况下支承钢梁各梁段之间无相关作用,可直接取任意梁段为简支梁进行临界弯矩计算;非纯弯工况下支承钢梁各梁段之间存在相关作用。

2)端弯矩作用下支承钢梁最大弯矩所在梁段的端弯矩比例系数呈线性变化的趋势,且其端弯矩比例系数的范围为0≤ψn≤1,以该梁段为计算梁段可简化计算。

3)对于端弯矩比例系数为ψ且布置n个侧向支承的支承钢梁,当n=1且-0.8≤ψ≤1.0或n≥2且-0.4≤ψ≤1.0时可得到较为精确的系数C1的数值或相关作用系数α的表达式,采用C1或α计算支承钢梁的临界弯矩均具有较高的精度。当n=1且-1.0≤ψ<-0.8或n≥2且-1.0≤ψ<-0.4时,临界弯矩的数值与平均值差异较大,难以给出较为精确的C1数值或α的表达式,故无法保证Mcr的计算精度。

4)GB 50017—2017中的βb系数和GB 50018—2002中的C1系数,在纯弯工况下具有较高的精度,而非纯弯工况时则存在偏不安全或偏过于安全的情况。