分类讨论思想如何在初中数学解题训练中妙用

赵雯君

【摘要】随着新一轮课程改革的持续推进，对广大教育工作者的业务能力与教学水平有着更高的要求，对学生的培养需求从以往的知识型教学转变成眼下的能力型教学，以其思维能力的发展为前提，帮助学生提高学习成效.分类讨论思想作为初中数学解题教学中一个影响较大的数学思想方法，教师应指导学生在平常的解题训练中巧妙运用，提升他们的解题能力.本文主要对分类讨论思想如何在初中数学解题训练中妙用做探讨，并分享一些解题实例.

【关键词】初中数学；分类讨论思想；解题教学

在处理部分题目时，把所要研究问题根据题目特征及要求分成多个类别、转化成多个小问题进行解决，这种先按照不同情况进行分类、再逐个研究解决的思想，就是分类讨论思想，广泛适用于各个科目的解题练习.在初中数学解题训练中，教师应指引学生根据实际情况巧妙应用分类讨论思想，使其从不同视角分析与思考题目，更为理性地处理数学问题，助推他们更好地整理数学知识点以及学习探索数学问题的规律，降低数学题目的解题难度.

1应用分类讨论思想解答绝对值问题

绝对值指的是一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用符号“丨丨”表示，属于初中数学课程体系中的基础性知识点，由于在数学中，绝对值是非负值，虽然无需考虑数的符号，但是因为一对互为相反数的绝对值相同，这里面就涉及分类讨论思想.因此，在初中数学解题训练中，教师可以引领学生应用分类讨论思想分析与解答绝对值类问题，对绝对值中的数值进行分类讨论，分别考虑是正数或者负数的不同情况，帮助他们计算出准确的答案[1].

例1已知丨a丨＝3，丨b丨＝2，且a＞b，那么ba的值是什么？

分析在本道题目中，主要考查学生对绝对值的性质与幂的计算掌握情况，难点之处在于b有两个取值，但是都比a小，所以需要采用分类讨论思想，确保答案的完整.

解根据丨a丨＝3可以得到a＝3或者a＝－3，同理根据丨b丨＝2能够得到b＝2或者b＝-2，由于a＞b，则a与b的值有两种情况，一种是a＝3，b＝2，另外一种是a＝3，b＝-2，所以ba=23=8或者ba=（-2）3=-8.

本题通过对分类讨论思想的应用，不会遗漏b的两个不同取值，这样得到的结果才完善而准确.

2采用分类讨论思想解答不等式问题

不等式是一类十分常见的代数式，学生在小学时期就有所接触，不过在小学阶段遇到的以严格不等式为主，即为纯粹用“＞”“＜”连接的不等式，难度不是特别大，但是步入初中以后，他们还会遇到不“≥”、“≤”（小于或等于号）连接的不等式，难度相对较大.在初中数学不等式解题训练中，教师应引导学生采用分类讨论思想，使其把握好题目中的多种情况，从而助推他们轻松求出正确的结果[2].

例2已知关于x的不等式（n＋3）x≥n2－9，求x的值.

分析這一题目主要考查学生对不等式相关知识的掌握情况，不过需要注意的是，应考虑到题目中可能出现的多种情况，即为当n＋3＝0也就是n＝－3时，x能够取任意数值.

解（1）当n＋3＝0时，即n＝－3时，不等式恒成立，表明x可以是任意实数；

（2）当n＋3＞0，n＞－3时，

x≥n2-9n+3＝（n+3）（n-3）n+3＝n－3，

所以x的值是x≥n－3.

（3）当n＋3＜0，n＜－3时，

x≤n2-9n+3=（n+3）（n-3）n+3=n-3，

所以x的值是x≤n－3.

综上可得，当n=－3时，x为任意实数，当n＞－3时，x≥n－3；当n＜－3时，x≤n－3.

3使用分类讨论思想解答方程类问题

学生在小学阶段就学习方程的相关知识，以一元一次方程为主，在初中阶段则进一步学习方程，包括一元二次方程、一元三次方程，及方程组等内容，解题难度与复杂程度与之前相比均有所提升，学生极易陷入困境之中.这时初中数学教师在平常的方程解题训练中，可以指导学生使用分类讨论思想，使其根据定义对方程的指数情况进行分类讨论，以免出现遗漏情况，注重解题的全面性，帮助他们找到完整的答案，不断增强解题自信[3].

例3已知关于x的方程（m－3）x|m-1|+x2-3=0，假如这是一个一元二次方程，则m需要满足什么情况？

分析在这道题目中，由于要满足该式子是一个一元二次方程，所以需满足x的指数是小于等于2，且是自然数即可，也就是丨m－1丨≤2，这里同样要用到分类讨论思想.

解（1）当丨m－1丨＝2时，解之得m＝3或者m＝－1，把m＝3或者m＝－1分别代入到原式可以得到一元二次方程x2-3=0或者3x2+3=0；

（2）当丨m－1丨＝1时，解之得m＝2或者m＝0，把m＝2或者m＝0分别代入到原式可以得到一元二次方程x2-x－3＝0或者x2-3x－3＝0；

（3）丨m－1丨＝0时，解之得m＝1，把m＝1代入到原式后得到一元二次方程x2-5＝0.

综上可得，当该式子是一个一元二次方程时，m的值分别是－1，0，1，2，3.

4利用分类讨论思想解答函数类问题

函数贯穿于整个初中数学教学过程，无论是平面直角坐标系，还是正比例函数、一次函数、二次函数与反比例函数，都是初中阶段的核心知识，与其他教学内容相比，有着明显的抽象化与复杂化特点，导致学生在解题过程中往往会遇到一些困难，影响他们对试题的顺利解答.这就要求初中数学教师在函数解题训练中，应该引领学生利用分类讨论思想分析与研究题目内容，使其找到新的解题思路，促进解题能力的提升，让他们深入掌握函数知识[4].

例4 某文具店推出两种优惠方案：①购1个书包，赠送1支钢笔；②购买书包与钢笔一律打9折，每个书包20元，每支钢笔5元，张华与同学一共需要购买4个书包和多支钢笔（不少于4支）.（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买钢笔支数x（支）之间的函数关系式；（2）分析x的取值情况，指出哪种方案比较便宜；（3）张华和同学需购买4个书包与12支钢笔，如何购买最划算.

分析本题考查一次函数的实际运用、运算能力与分类讨论思想.

解  （1）设按方案①购买费用是y1元，按方案②购买费用是y2元，

则从y1＝（x－4）×5＋20×4＝5x＋60，

y2＝（5x＋20×4）×0.9＝4.5x＋72；

（2）设y1＞y2，即5x＋60＞4.5x＋72，解之得x＞24，

当x＞24且是整数时，选择方案②比较便宜；

设y1＝y2，即5x＋60＝4.5x＋72，解之得x＝24，当x＝24时，选择方案①、②均可；

设y1＜y2，即5x＋60＜4.5x＋72，解之得x＜24，4≤x＜24且是整数时，选择方案①比较便宜；

（3）购买4个书包和12支水性笔，而12＜24，故有以下两种购买方案，

方案一，用方案①购买，需5x＋60＝5×12＋60＝120（元）；

方案二，采用两种购买方式，用方案①购买4个书包，需4×20＝80（元），同时获赠4支水性笔，

用方案②购买8支水性笔，需8×5×90%＝36（元），共需80＋36＝116（元），显然116＜120，则最佳购买方案使用方案①购买4个书包，获赠4支水性笔，再用方案②购买8支水性笔.

5运用分类讨论思想解答几何类问题

数学试题主要由代数类与几何类两大部分构成，在初中数学解题训练中应用分类讨论思想时，不仅可以用来处理代数类的问题，能够解答不少几何类试题.具体来说，初中数学几何知识主要涉及点、线段、射线、直线、垂直、平行、三角形、圆、对称以及各种四边形等，可谓是知识点众多，有的题目还是组合类图形，教师应当指引学生巧妙运用分类讨论思想分析图形信息，使其结合题中文字信息的描述找到解题思路，得出更为全面的结果[5].

例5如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，动点P从点D处出发，沿射线DA方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒），当t是何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

分析要使以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，需有BP＝QP或BP＝BQ或QP＝BQ这几种情况中的任意一种.

解（1）假如BP＝QP，可作PH⊥BC于点H，则BH＝QH，

由于PD＝2t，CQ＝t，PD＝2CQ，

因为PD＝CH，

所以CQ＝QH＝BH，t＝163；

（2）假如BP＝BQ，

則（16-2t）2+122＝16－t，

整理后得到3t2－32t＋144＝0，

由于Δ＝322－4×3×144＜0，该方程没有实根，故t不存在，这种情况不成立；

（3）假如QP＝BQ，则t2+122＝16－t，

解之得t＝72；

综上可得，当t＝163或t＝72时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.

6结语

综上所述，在初中数学解题训练活动中，教师应充分意识到分类讨论思想的重要意义与价值，带领学生在分类讨论思想影响下深入分析数学题目，掌握问题的本质，通过实践训练让他们学会巧妙应用分类讨论思想来处理各种情况与条件下的不同题目，继而高效率地求得正确结果，使其对分类讨论思想产生更为深刻的理解与领悟，真正提高自身的解题能力.

参考文献：

[1]蔡基德.分类讨论思想在初中数学解题教学中运用论述[J].数理化解题研究，2022（26）：35－37.

[2]许浩.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].数理化解题研究，2022（26）：62－64.

[3]朱军平.探析分类讨论法在初中数学解题教学中的实践[J].数理天地（初中版），2022（06）：23－24.

[4]癿璟.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用策略[J].试题与研究，2021（27）：177－178.

[5]陈慧如.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用分析[J].新课程，2021（33）：98.