统一混沌系统简化模型的动力学行为及仿真

摘要：探讨了统一混沌系统简化模型的三维Lorenz方程的动力学行为及其数值仿真问题。在统一混沌系统稳定性分析的基础上，进一步讨论了统一混沌系统简化模型的线性稳定性。首先，对平衡点的稳定性进行分析，通过对系统的线性稳定性分析可知系统的平凡吸引子（平衡点）存在且系统是局部稳定的;然后，基于最大李雅普诺夫指数和分岔图讨论参数取不同数值时的动力学行为，结合MATLAB（matrix laboratory）软件进行编程作出简化混沌模型的吸引子图、最大李雅普诺夫指数、分岔图、庞加莱截面、功率谱与返回映射的图像，借助这7种混沌指标对系统的动力学行为进行分析。通过数值仿真可知，系统的分岔过程和最大李雅普诺夫指数图像相对应，而且随着参量r值的减小，系统是趋于稳定的。

关键词：统一混沌系统; 简化模型; 线性稳定性; 分岔图

中图分类号：O415.5文献标志码：A

doi：10.3969/j.issn.16735862.2023.04.010

Dynamic behavior and simulation of simplified model of unified chaotic system

WANG" Heyuan， LI" Xinying

（College of Mathematics and Systems Science， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：In this paper， the dynamic behavior and numerical simulation of the Lorenz equation of a simplified unified chaotic system are discussed. Based on the stability analysis of unified chaotic system， the linear stability of simplified model of unified chaotic system is further discussed. Firstly， the stability of the equilibrium point is analyzed， by analyzing the Linear stability of the system， we know that the trivial attractor （equilibrium point） exists and the system is locally stable. Based on the maximum Lyapunov exponent and bifurcation diagram， the dynamic behavior of different parameters is discussed. The attractor diagram， maximum Lyapunov exponent， bifurcation diagram， Poincare cross section， power spectrum and return map of the simplified chaotic model are programmed with matrix laboratory（MATLAB） software， and the dynamic behavior of the system is analyzed with the help of these seven chaotic indexes. By numerical simulation， the bifurcation process of the system is corresponding to the maximum Lyapunov exponent image， and the system tends to be stable with the decrease of parameter r.

Key words：unified chaotic system;" simplified model;" linear stability;" bifurcation diagram

1975年， Yorke和Li［1］定义了混沌;其实早在1963年， 美国气象学家Lorenz［2］就发现经典Lorenz吸引子， 这是混沌系统中最经典的模型; 1999年， Chen和Ueta［3］在研究混沌反控制过程中发现一个类似Lorenz系统但不拓扑等价的混沌吸引子， 这个对偶系统即为Chen系统， 此系统成为继Lorenz系统后又一重要的混沌模型;2002—2004年， Chen等［46］提出一个单参数的连续变化系统统一混沌系统， 即Lorenz系统族， 它包含Lorenz系统和Chen系统，这2个系统作为参数区间的2个极端系统， 临界系统作为一个过渡系统;2008年， Yang和Chen［7］提出a11a22大于0或者小于0的分类; 2013年， 孙克辉等［8］通过对统一混沌系统控制参数的改变， 构建出具备不同拓扑结构的3种混沌系统简化模型。 本文对这3种简化模型进行进一步讨论， 进行线性稳定性分析并对系统的动力学行为进行数值仿真。

1数学模型

1.1统一混沌系统模型：Lorenz系统族

2001年，统一混沌系统模型Lorenz系统族被提出，该系统可以描写为如下微分方程组［9］：

=（25a+10）（y-x）

=（28-35a）x+（29a-1）y-xz

=xy-（a+8）z/3（1）

该方程组中的参数a是实参数，所有取值在［0，1］，此时，系统处于混沌状态。

统一混沌系统在本质上是Lorenz系统和Chen系统的凸组合，且其中包含了无穷多个混沌系统［10］。

1） 当a=0时，系统（1）属于Lorenz系统;

2） 当0＜a＜0.8时，系统（1）属于Vanecek和Celikovsky定义的广义Lorenz系统;

3） 当a=0.8时，系统（1）属于Chen和Lu提出的广义临界系统;

4） 当0.8＜a＜1时，系统（1）属于Celikovsky和Chen提出的广义Chen系统;

5） 当a=1时，系统（1）属于Chen系统。

1.2统一混沌系统简化模型

在系统（1）的第2个方程中的y项用x项替代，则系统（1）可以写成

=（25a+10）（y-x）

=（27-6a）x-xz

=xy-（a+8）z/3（2）

当a∈［-0.2，0.35］时，系统（2）处于混沌状态。若固定系统（2）中第1项和第3项中的a=0，保持第2项中a不变，则得到统一混沌系统的简化数学模型如下：

=10（y-x）

=（27-6r）x-xz

=xy-8z/3（3）

2线性稳定性分析

下面用分岔概念来讨论这个统一混沌系统［1113］。

首先，求定常状态解（平衡解）。由式（3）中第1式右端为零可得

x=y（4）

将式（4）分别代入式（2）和式（3）中。考虑到定常状态解是实的，故统一混沌简化系统式（3）的平衡态是

r＞92，O（0，0，0）

r＜92，O（0，0，0）， C172-16，72-16，27-6（5）

C2-72-16，-72-16，27-6

对稳定态O，其稳定性取决于相应的Jacobi矩阵的特征值。由于特征方程为

（λ+8/3）（λ2+10λ+60r-270）=0（6）

它有3个根为

λ1=-83，λ2，3=-5±-60r+295

1） 当r＞92（92＜r＜59/12）时，3个根均为负实根，故O是稳定平衡点;

2） 当r＜92时，λ1＜0，λ2＞0，λ3＜0，因而O点是不稳定的平衡点。

平衡态C1，C2的稳定性应由Jacobi矩阵的特征值λ决定，且此矩阵的特征方程为

λ3+383λ2+2963-16rλ-320r+1440=0（7）

当r→92-时，式（7）的极限式可以写为

λ3+383λ2+803λ=0（8）

又注意到此时式（8）的左端中除λ3外的各项系数均为正值，故3个根为

λ1→O-，λ2→-83，λ3→-10r→92-时

因此，C1，C2是稳定平衡点。

由式（7）得到罗斯霍威兹的判别行列式，

令3832963-16r-（-320r+1440）=0时，r为rh，则

rh=10766=1.621…（9）

d取负数没有意义，因而只讨论a＞b+1的情形。取rh=10766，当r＞rh时，Δ2＞0，Δ3＞0;反之，当r＜rh时，Δ2＜0，Δ3＜0。

因而根据罗斯霍威兹判据［1415］可知：当r＞rh时，C1和C2都是稳定的;当r＜rh时，C1和C2都是不稳定的。r=rh为此次出现的Hopf分岔的分岔点。

3数值仿真

根据2的分析可知，在选取某些数值的时候，系统（3）会发生混沌现象［1617］。当r取不同值的时候仿真并描述几个混沌指标，模拟得到相应的动力学结果，合并比较分析可以得出如下的结论：

1） 当r＞r1=4.50时，只有O一个定点，它是稳定的;

2） 当4.45=r2lt;rlt;r1=4.50…时，O变成不稳定的鞍点，即一个方向不稳定，另2个方向稳定，点C1和C2的3个特征值都是负的实根，所以点C1和C2就是渐近稳定的点;

3） 当r3=1.77…lt;rlt;r2=4.45…时，方程有2个共轭复根，其实部为负数，另一个根是负的实根，从而得到一个方向是渐近稳定的，而垂直于此方向的平面上是稳定的焦点，且为全局吸引子（图1）;

4） 当r＜rh时，3个根中有一个根是负的实根，其余的2个根是实部为正的共轭复根，这就说明此时C1和C2中一个方向是稳定的，而与这个平面垂直的是不稳定的焦点，从而在r＜rh处发生了Hopf分岔，生成奇怪吸引子，这是一种阵发性混沌，最终出现混沌现象（图2）;

5） 当-17.75…lt;rlt;-10.31…时，系统发生滞后的现象，各种混沌吸引子和拟周期吸引子交替出现（图3和图4）;

6） 当-15.05…lt;rlt;-10.31…时，吸引子逐渐收缩成极限环，这是倒分岔的过程，并且数值结果表明分岔点满足费根鲍姆常数;

7） 当-17.75…lt;rlt;-15.05…时，系统又生成了奇怪吸引子，出现混沌现象（图4）;

8） 当r＜-17.75…时，奇怪吸引子开始收缩，最后形成一个环面，这仍是一个倒分岔的过程，并且也满足费根鲍姆常数（图5）;

9） 图6和图7是系统（-90.10）的最大李雅普诺夫指数图和分岔图，2个图像模拟出系统的混沌现象由发生到终止的全过程。图8、图10是r=0的功率谱、返回映射和庞加莱截面，它们均显现出此系统的混沌特征。

4结论

本文研究统一混沌系统的简化模型，分析其动力学行为并进行了数值模拟。通过线性稳定性分析，得出了解的稳定性结果。统一混沌系统简化模型的动力学行为随着参量r取值而变化。在［-17.75，-10.31］，奇怪吸引子、拟周期轨道和极限环并存，系统存在倒分岔过程;在［-287， -17.75］吸引子稳定为极限环的形式。这些现象说明系统的稳定性随r值的减小而增加。

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