含裂纹脆性材料的拉压模量

摘要：脆性材料在承受拉伸和压缩时，其机械性能会显示出较大的差异性。这种差异性体现在2个方面：1）脆性材料的抗压强度（强度极限）远远高于抗拉强度;2）含缺陷的脆性材料在受压时，由于裂纹面的闭合效应和摩擦效应，其有效压缩模量会显著地高于有效拉伸模量。为了考察含缺陷脆性材料的拉压模量的差异，可以考虑一个远端受拉伸或压缩应力的无限大薄板，分析在其上截取的一个含一条任意方向裂纹的单元。采用弹性力学理论中的复变函数法，得到代表性单元边界处各点的位移和应力，再通过平均化法，得到作用在单元边界上的正应变和正应力，从而求出单元的有效拉压模量。分析表明，薄板远端受拉伸时，单元内的裂纹始终处于张开状态;远端受压时，裂纹大多情况下处于闭合状态，闭合时裂纹面上的正应力与裂纹方向有关，从而影响了有效压缩模量。计算结果很好地符合了预期。

关键词：拉压模量; 弹性力学; 复变函数法; 闭合效应; 摩擦效应

中图分类号：O343.1;O341文献标志码：A

doi：10.3969/j.issn.1673-5862.2023.04.001

Tensile and compressive modulus of brittle materials containing crack

CUI Song1，2， LYU Yan1，2， CHEN Lanfeng1，2

（1. College of Physical Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China;

2. Ray Instrumentation Engineering Technology Research Center of Liaoning Province， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：Brittle materials exhibit significant differences in mechanical properties when subjected to tension and compression. This difference is reflected in two aspects： one is that the compressive strength （strength limit） of brittle materials is much higher than the tensile strength; another issue is that brittle materials containing defects， when subjected to compression， have significantly higher effective compressive modulus than effective tensile modulus due to the closure effect and friction effect of the crack surface. In order to investigate the differences in tensile and compressive modulus of brittle materials with defects， an infinite thin plate subjected to tensile or compressive stress at the far end can be considered. An element containing a crack in any direction cut from it can be analyzed， and the displacement and stress at each point at the boundary of the representative element can be obtained using the complex function method in elasticity; then， the normal strain and stress acting on the element boundary can be obtained through the averaging method; thus， the effective tensile and compressive modulus of the element can be determined. The analysis shows that when the thin plate is stretched at the far end， the cracks within the element are always in an open state. When subjected to remote compression， cracks are mostly in a closed state， and the normal stress on the crack surface in a closed state is related to the direction of the crack， thereby affecting the effective compression modulus. The calculated results are in good agreement with expectations.

Key words：tensile and compressive modulus; elasticity; complex function method; closure effect; frictional effect

同一种脆性材料在内部无损伤的情况下，其拉伸模量和压缩模量是相等的，即同为杨氏模量E。如果材料内部有缺陷，则受多种因素的影响，其有效拉压模量并不相等。对这一类问题进行分析，需要用到损伤力学，其方法大体有2种：宏观唯象法［14］和细观分析法［58］。而把二者结合起来，可以更好地符合材料的力学背景和细观图像。

含裂纹的脆性材料薄板在远端受拉伸载荷时，不管裂纹是沿什么方向，其总是处于张开状态;而在远端受压缩载荷时，裂纹两侧则受到复杂的双轴压力作用，考虑到闭合应力［9］，裂纹角度在一个较大的范围内裂纹都是闭合的，在一个较窄的范围内则是张开的，闭合的情况又分裂纹面滑动和不滑动［1012］。这种差别，导致材料的有效拉伸和压缩模量存在显著的差异。

1远端受拉压薄板内部的代表性单元

考虑一个远端沿y轴方向受均布拉伸或压缩载荷q的无限大薄板，薄板内有一长度为2a的裂隙，裂隙与x轴夹角为θ，如图1所示。在薄板中截取一代表性单元，单元的2条边界分别平行于结构坐标系的x和y轴，单元的长度为2l，高度为2h，裂隙位于单元中央。

再设一个损伤主轴坐标系ox′y′，其中x′轴沿裂隙方向，按照应力转换关系，可得薄板远端在ox′y′系下的应力边界条件为

q′1=sin2θ·q

q′2=cos2θ·q

q′3=sinθcosθ·q（1）

其中：q′1，q′2分别为薄板远端在x′和y′方向的均布正应力;q′3为远端在ox′y′系下的均布剪应力。损伤主轴坐标系下的远端应力边界条件如图2所示。

若图1中薄板远端受拉伸，即qgt;0时，则由式（1），图2中的远端应力q′1，q′2均为拉应力，裂隙必处于张开状态，代表性单元内有损伤，其有效拉伸模量应有所下降。如果qlt;0，则q′1，q′2均小于零，图2中的薄板远端承受均布的双轴压力，根据文献［9］，当q′2lt;μq′1时，裂隙张开，其中μ为泊松比;当q′2≥μq′1时，裂隙闭合，μq′1称为闭合应力，此时裂纹面上的正应力q′N=q′2-μq′1，即

q′N=0q′2lt;μq′1

q′2-μq′1q′2≥μq′1

当裂纹面闭合时，如果q′3lt;μsq′N，裂纹面闭合不滑动;若q′3≥μsq′N，则裂纹面有摩擦滑动。其中μs为材料的摩擦系数。

图2中薄板内任一点（x′，y′）的位移和应力，可以采用复变函数法［1314］获得，依据公式

E1+μ（u′+iv′）=3-μ1+μφ1（z）-zφ′1（z）-ψ1（z）（2）

和公式

σy′+σx′=4Reφ′1（z）

σy′-σx′+2iτx′y′=2［φ″1（z）+ψ′1（z）］（3）

分别求出薄板在该点处ox′y′系下各点的位移分量u′和v′，以及应力分量σx

SymbolbB@

，σy

SymbolbB@

和τx

SymbolbB@

y

SymbolbB@

。其中，式（2）中的E为材料的杨氏模量，z=x′+iy′。

为了计算图1中代表性单元边界上各点的位移和应力，可以先将边界各点在oxy坐标系下的坐标（x，y）通过转换式

x′y′=cosθsinθ-sinθcosθxy

转变为ox′y′系下的坐标（x′，y′），再代入到式（2）和式（3）中，算出位移和应力之后，由公式

v=sinθ·u′+cosθ·v′

和

σy=sin2θ·σx′+cos2θ·σy′+sin2θ·τx′y′

得到单元在边界y=h上oxy系下各点的位移分量v和应力分量σy，再求其平均值和y，令

y=/h

y和y分别为代表性单元的总体平均正应力和总体平均正应变，而

=yy

即为代表性单元的有效弹性模量。

2脆性材料拉压模量差异性的计算分析

式（2）和式（3）中的复变函数φ1（z）和ψ1（z）与薄板在图2中的应力边界条件q′1，q′2，q′3和q′N有关，如果裂纹面闭合且有摩擦滑动，裂纹面的边界条件还要加上剪切力μsq′N。其中q′1，q′2，q′3对应的函数φ1（z）和ψ1（z）的表达式可以参阅文献［13］，q′N对应的φ1（z）和ψ1（z）表达式为［9］

φ1（z）=q′N2z-z2-a2

ψ1（z）=q′N2·a2z2-a2

而μsq′N对应的复变函数的表达式为［12］

φ1（z）=iμsq′N2z2-a2-z

ψ1（z）=iμsq′N22z-2z2-a2-a2z2-a2

最后计算式（2）、式（3）中的φ1（z）和ψ1（z）是各种应力边界条件下对应表达式的叠加形式。

下面作一个具体的算例。这里选用的材料为砂岩，其材料常数［15］为E=66GPa，μ=0.26，μs=075;代表性单元的一些尺寸参数比为l/h=1，a/l=0.2;裂隙的角度θ取值范围为［0，210°］。先后给薄板远端施加某个数值的拉伸载荷和压缩载荷q，算出单元的/E随裂隙角度θ的变化关系，并描绘出曲线，如图3所示。其中，曲线1和曲线2分别表示薄板远端受到拉伸和压缩作用下的计算结果。

2条曲线均以180°为周期。其中，曲线1中θ在0°～90°有效拉伸模量是逐渐增大的，在90°～180°是逐渐下降的，所有情况下裂隙都是张开的;曲线2中裂隙的状态分为3种： 1）θ在0°～36.86°和143.14°～180°裂纹面闭合且不滑动，其中在0°～36.86°，随着裂隙的闭合应力μq′1逐渐增大，q′2逐渐减小，导致裂隙面上的正压力q′N减小，有效压缩模量缓慢下降，143.14°～180°的情况则与此相反; 2）θ在36.86°～62.98°和117.02°～143.14°裂纹面闭合且有摩擦滑动，其中在36.86°～62.98°，裂纹面上能承受的最大剪切力为μsq′N，小于q′3，且随着q′N的减小而减小，所以有效压缩模量比0°～36.86°下降得更快，而117.02°～143.14°的情况则与此相反; 3）θ在62.98°～117.02°，裂隙张开，因而在这一段曲线2与曲线1重合。

如果薄板远端受压缩作用的情况下不考虑裂纹面的闭合应力μq′1，认为裂纹面上的正应力q′N=q′2，则由此得到的/E-θ关系曲线如图4所示，与按照q′N=q′2-μq′1得到的结果曲线相比，前者裂纹面闭合不滑动阶段有效拉伸模量保持不变，且等于杨氏模量E，不像后者曲线为缓慢下降或上升。

3结论

本文利用弹性力学中的复变函数法分析了含裂隙的代表性单元在承受拉伸和压缩载荷时其有效弹性模量展示出的差异，结果显示，压缩模量总是大于或等于（大多情况下是大于）拉伸模量。该方法还可以和统计方法相结合，分析含各种分布裂纹群的薄板的有效弹性模量。

参考文献：

［1］KRAJCINOVIC D，FONSEKA G U. The continuous damage theory of brittle materials［J］. J Appl Mech， 1981，48（4）：809-824.

［2］TALREJA R. Damage development in composites： Mechanics and model［J］. J Strain Anal Eng， 1989，24（4）：215-222.

［3］CHOW C L，WANG J. An anisotropic theory of elasticity for continuum damage mechanics［J］. Int J Fract， 1987，33（1）：316.

［4］SWOBODA G，YANG Q. An energy-based damage model of geomaterials （part 1 and part 2）［J］. Int J Sol S， 1999，36（12）：1719-1755.

［5］BENVENSITE Y. On the Mori-Tanakas method in cracked solids［J］. Mech Res Comm， 1986，13（4）：193-201.

［6］HUANG Y，HU K，CHANDRA A. A generalized self-consistent mechanics method for microcracked solids［J］. J Mech Phys Solids， 1994，42（8）：1273-1291.

［7］冯西桥. 脆性材料的细观损伤理论和损伤结构的安定分析［D］. 北京： 清华大学， 1995.

［8］HORII H，NEMAT-NASSER S. Overall moduli of solids with microcracks： Load-induced anisotropy［J］. J Mech Phys Solids， 1983，31（2）：155-171.

［9］崔崧，吕嫣，李慧玲. 双轴压力下的压缩损伤变量［J］. 沈阳师范大学学报（自然科学版）， 2018，36（4）：301-304.

［10］BASISTA M，GROSS D. The sliding crack model of brittle deformation： An internal variable approach［J］. Int J Sol S， 1998，35（5）：487-509.

［11］DRAGON A，HALM D，DESOYER T. Anisotropic damage in quasi-brittle solids： Modeling， computational issues and applications［J］. Comput Meth， 2000，183（3/4）：331-352.

［12］崔崧，吕嫣，李慧玲. 复杂加载状态下的剪切本构关系［J］. 沈阳师范大学学报（自然科学版）， 2019，37（4）：296-299.

［13］徐芝纶. 弹性力学： 上册［M］. 4版." 北京： 高等教育出版社， 2006.

［14］陆明万，罗学富. 弹性理论基础：下册［M］. 2版. 北京： 清华大学出版社， 2001.

［15］蔡美峰. 岩石力学与工程［M］. 北京： 科学出版社， 2002.