合理构造数列模型，高效解答通项公式问题

姜凯

构造法是解答数学问题常用的方法.该方法较为 灵活，通常需通过分析、类比、联想等方式，构出合适 的数学模型，从而使问题快速获解.在解题时，我们经 常会遇到一类由递推式求数列通项公式的问题，求解 这类问题，往往要用到构造法，那么如何进行构造 呢？下面举例加以说明.

一、构造形如 an + 1 = an + A 的模型

对于有些递推式，我们可以通过在其左右两边取 倒数、取对数、移项、作差等方式，将其化为形如 an + 1 = an + A 的形式.若A为常数，则根据等差数列的定 义，可以判定该数列为等差数列，利用等差数列的通 项公式就能求得数列 {an} 的通项公式；若 A = f （n） ，则 an + 1 - an = f （n） ，需令 n=1，2，3，…，n-1，然后将这 n-1 个式子累加，采用累加法求数列{an} 的通项公式.

例1

解：

例2

解：

我们由 an + 2 - an ≤ 3n 得到 an + 6 - an ≤ 91?3n ，结合 an + 6 - an ≥ 91?3n ，得到 an + 6 - an = 91?3n ，从而得到递 推式 an + 2 - an = 3n ，该式形如 an + 1 - an = f （n） ，利用累加 法求 a2n + 1 = a1 + 3 + 3 3 + 35 +…+ 32n - 1 ，便可根据等比 数列前n项和公式求出 a2023 的值.

二、构造形如 an + 1 = A?an 的模型

在求数列的通项公式时，可在递推式的两边同时 做除法、取对数、进行因式分解，将其化为形如 an + 1 = A?an 的形式.若A为常数，则由等比数列的定义 可知该数列为等比数列，利用等比数列的通项公式， 便 能 求 出 数 列 {an} 的 通 项 公 式 ；若 A = f （n） ，则 an + 1 = f （n）?an ，令n=1，2，3，…，n-1，然后将这n-1个式 子累乘，采用累乘法来求数列{an} 的通项公式.

例3

解：

解答本题，需先根据数列前 n 项和 Sn 与 an 之间 的关系，求出 an + 2 - 2an + 1 = 2（an + 1 - 2an） ，即可判斷该 数列为等比数列，根据等比数列的通项公式来求数列 {an} 的通项公式.

例4

解：

我们先根据递推式的特征，用待定系数设出数列 的递推式，通过对比各项的系数，求得待定系数，并构 造出等比数列 {an - 3n - 3} ，即可根据等比数列的通项 公 an = a1q n ，求出问题的答案.

例5

解：

将已知递推式进行变形，得 an + 1 an = 2n + 1 2n - 1 ，该式形 如 an + 1 an = f （n） ，需利用累乘法，即令n=1，2，3，…，n-1， 然后将这n-1个式子累乘，从而求得数列的通项公式.

例6

解法1

解法2

上述两种解法分别用不同的方式对递推式进行 变形，从而构造出不同的等比数列，再根据等比数列 的通项公式，即可求出数列{an} 的通项公式.

由此可见，运用构造法求递推数列的通项公式， 关键是将递推式进行适当的变形，将其与等差、等比 数列的通项公式靠拢，以根据等差、等比数列的通项 公式，利用累加法、累乘法，顺利求得问题的答案.

（作者单位：江苏省南通市通州湾中学）