解数学题需注意的几个要点

童云飞

要想提升解题的效率，我们不仅要熟练并灵活运用所掌握的数学知识和方法，还需把握一些解题的步骤和要点.那么在解答数学问题时，我们需注意哪些要点呢？下面一起来探讨.

一、仔细审题

对于很多数学问题，如果能抓住某些关键信息作 为突破口，就可以使问题迎刃而解.这就要求我们在解 题时，仔细审题，抓住关键信息，理解题目的本质，必 要时可将题目中的信息、数据以表格、图象、树状图、 Venn图等形式呈现出现.这样便能灵活地运用所学知 识，将已知条件和所求目标快速地关联起来，从而快 速找到解题的思路.

例1

分析

解

例2

分析

在解题时，要仔细审题，重点研究问题中式子的 结构、形式，各个数据之间的联系，图形之间的位置关 系，提炼出有用的信息.这样才能快速发现问题中的已 知条件与所求目标之间的内在联系，找到解题突破 口，从而使问题顺利获解.

二、挖掘隐含条件

有些数学问题的表述隐晦、复杂，需要通过深入 挖掘，才能找到题设中的隐含信息，避免陷入解题误 区.在挖掘隐含条件时，可从以下几点入手：（1）确保各 个式子有意义；（2）画出相应的几何图形，结合几何图 形挖掘一些隐含的几何关系；（3）将数学式子、图形与 相关的定义、公式、公理、定理、结论等相关联，挖掘一 些隐含关系（式）.这样便能为解题寻找到更多的条件， 确保得到正确的答案.

例3

解：

对于二次项系数为参数的二次不等式（方程），一 定要分等于0和不等于0两种情况进行讨论.因为当二 次项系数为0时，不等式（方程）为一次不等式（方程）； 当二次项系数不为0时，不等式（方程）为二次不等式 （方程）.这是题目中的隐含信息.

例4.某班星期三有五节课：语文、数学、物理、化 学、外语，要求数学课必须排在化学课之前，则一共有 多少种不同的排法？

分析：本题中“数学课”“化学课”有特殊要求：数 学课必须排在化学课之前，这就说明，数学课与化学 课的顺序已经确定，只需把语文、数学、物理、化学、外 语这五门课程任意排列，有 A5 5 = 120 种情况.再除以数 学与化学之间可能的顺序 A2 2 = 2 种，所以数学课必须 排在化学课之前的排法共有 120 2 = 60 种.

能否得出正确的答案，关键在于明确本题为定序问题，而“定序”就隐藏在题目中：数学课必须排在化学课之前.我们需要仔细读题，通过“消序”，即除以数学与化学之间的可能顺序 A2（2）=2种，得到问题的答案.

三、进行合理的转化

有些数学问题较为复杂，我们无法或很难直接根据题意获得问题的答案，只有将问题或其中的信息进行合理的转化，才能顺利找到解题的思路.这就需要灵活运用转化与化归思想，把所学的知识融会贯通起来，将问题进行合理的转化，如将不等式问题转化为函数问题，将解析几何问题转化为方程问题，将立体几何问题转化为向量问题，等等.通过另辟蹊径，求得问题的答案.

例5.若对所有的实数 x ，不等式 x2 log2 +2x log2 +log2 >0恒成立，试求实数 a 的取值范围.

分析：这是一个关于 x 的一元二次不等式恒成立 问题，可以结合二次函数的图象进行分析、求解，但解 题过程较为复杂，且 a 的值不确定，很难画出准确的 函数图象.不妨将参数、变量分离，将问题转化为函数 最值问题来求解.令 log2 a + 1 2a = t ，则原不等式可化为 x 2 （3 + t）+ 2x（-t）+ 2t > 0 ，再以 t 为主元，将不等式变形 为 t > -3x 2 x 2 - 2x + 2 ，则问题可转化为求 t > -3x 2 x 2 - 2x + 2 恒 成立时 a 的值.而对于 x ∈ R ，总有 x 2 - 2x + 2 > 0 且 -3x 2 ≤ 0 成立，只需使 t = log2 a + 1 2a > 0 ，即 a + 1 2a > 1 即 可，解得 0 < a < 1 .

通过变更主元，将关于 x 的一元二次不等式恒成 立问题转化为求 t > -3x 2 x 2 - 2x + 2 恒成立時a的值，根据 函数的性质求 -3x 2 x 2 - 2x + 2 的最值，即可解题.这样就能 化难为易，化繁为简，轻松获得问题的答案.

例6

解：

已知关系式比较复杂，由该式很难求得 ab 的最 大值，于是将两式相乘，即可将目标式转化.再令 2a + b = x ，2b + a = y ，通过换元，将目标式化为两式的 和 y x + 2x y ，且这两式的积为定值，运用基本不等式就 能快速求得ab的最大值.

例7

解：

我们先将不等式变形，使得参变量分离，即可将 问题转化为函数最值问题，求 y = x + 4 x - 1 在 （4，+∞） 上的最值，从而求得a的取值范围.

在解答数学问题时，只有认真研究题意，挖掘问 题的隐含条件，进行合理的转化，才能抓住问题的核 心要点，从问题的特点出发，探索出解题的方向，找到 简单、便捷的解题方案.

（作者单位：江苏省如皋中学）