用数学归纳法解题的步骤解析

张宇

数学归纳法是解答数学问题的重要方法，主要用于证明与正整数 n 有关的命题.运用数學归纳法解题的步骤为：

第一步，证明当 n = n0（ n0为满足题意的最小值）时命题成立；

第二步，假设当 n =k （ k ∈ N* ， k ≥n0）时命题成立，证明当 n =k +1时命题也成立.

在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数 n 都成立.下面结合实例加以说明.

例1.

证明：

解答本题，要先将不等式变形，使其便于化简；然 后讨论当 n = 1 时不等式是否成立；再假设当 n = k （ k ∈ N* ， k ≥1）时命题成立，并将其作为已成立的结论， 用来证明当 n = k + 1 时命题也成立.在证明当 n = k + 1 命题成立时，需明确要证明的目标，灵活运用分母有 理化、配方、通分、因式分解等技巧，进行恒等变形，以 逐步向目标靠拢，从而证明结论.

本题还可以采用放缩法进行证明：

显然放缩法的技巧性较强，数学归纳法较为直 接、便捷，能有效地提升解题的效率.

例2

解：

例3

解：

本题较为复杂，需先根据题意猜想出数列{an} 的 通项公式；然后用数学归纳法进行证明.在解答与正整 数 n 有关的问题受阻时，往往可以先通过观察、猜测、 抽象、概括等方式，确定问题的答案，再用数学归纳法 进行验证.

由上述分析，我们不难发现用数学归纳法解答与 正整数 n 有关的问题比较有效.但在运用数学归纳法 解题时，需抓住以下三个关键点：

（1）找准起点，确定 n0 的值.用数学归纳法解题的 第一步，是要找一个使命题成立的最小自然数 n0 ，这 个自然数不一定都是“1”，有可能是2、5.

（2）寻找递推关系.由当 n = k 时的命题证明当 n = k + 1 时的命题成立，需要建立两个命题之间的联 系，找出二者之间的相同和不同之处，尤其要关注多 出的项或减少的项，并建立起二者之间的递推关系.

（3）以当 n = k 时的命题为推理依据，合理进行推 理、运算.

（作者单位：江苏省大港中学）