如何用裂项相消法求数列的和

卢奇鹏

数列求和问题比较常见，侧重于考查同学们的观察能力和运算能力.求数列和的常用方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等.其中裂项相消法是求非常规数列和的重要方法.运用裂项相消法求和，需把数列的通项公式分裂为几项，再重新组合，通过累加，消去和式中的大部分项，从而达到快速求和的目的.下面结合实例，谈一谈运用裂项相消法求数列和的技巧.

一、数列的通项公式形如 1 bnbn + 1 （{bn}是等差数列）

一般地，若数列 {bn} 是公差为 d （ d ≠ 0 ）的等差数 列，那么数列 { } 1 bnbn + 1 的通项公式可以写成 1 bnbn + 1 = 1 d ? è ? ? ? ÷ 1 bn - 1 bn + 1 .将数列的各项相加，中间的大部分项即可 消去，运用裂项相消法就能快速求得数列的求和.常见的 裂项方式有：（1） 1 n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 ；（2） 1 （2n - 1）（2n + 1） = 1 2 ? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 .

例1

解：

二、数列的通项公式中含有根式

对于含有根式的数列，往往要通过分母有理化来将 通项公式裂项，再运用裂项相消法求数列的前 n 项和.

例2

解：

通過观察可发现，该数列通项公式的分母中含有 根式，需先将分母有理化，使得通项公式可以分裂为 两项之差的形式 1 2 ? è ? ? ? ÷ 1 2n - 1 - 1 2n + 1 ；然后运用裂 项相消法，即可快速求得数列的前 n 项和.

三、数列的通项公式中含有指数式

对于含有指数式的数列，通常要在分子、分母上 同时除以或乘以某个指数式，以将数列的通项公式裂 为几项的和或差，如将数列 ì í ? ü ? ? （k - 1）kn （kn + t）（kn + 1 + t） 的通项分 裂为如下的形式 （k - 1）kn （kn + t）（kn + 1 + t） = 1 kn + t - 1 kn + 1 + t .然后 再运用裂项相消法求数列的前 n 项和.

例3

解：

该数列通项公式的分子、分母中都含有指数式， 可将分子拆分为 2n =（2n + 1 - 1）-（2n - 1） ，那么数列的通 项公式就可以裂为两项之差的形式，即可运用裂项相 消法求和.需要注意的是，消项后，一般是前面剩几项， 后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.

通过上述分析可以发现，运用裂项相消法求和的 关键在于将数列的通项公式进行合理的裂项，使其在 求和时可以消除大部分的项，从而将复杂问题简单化.

（作者单位：江苏省沭阳如东高级中学）