强化学生模型意识

◇周 琳（福建：厦门实验中学 小学部）

2022年版《义务教育数学课程标准》明确地将“三会”提升为学生核心素养进行培养，其中“会用数学的语言表达现实世界”是最能体现时代特征的一个目标，而数学建模则是数学语言表达的最高层次。当下，义务教育阶段虽未将数学建模直接明确地引入学生核心素养培养任务，但是学会用数学语言表达世界已经充分体现数学建模最重要的教育价值。通过概括总结，可将小学数学语言简化表达为数据意识、模型意识、应用意识。如何进行小学数学模型意识的培养，以优化课堂教学环节、提高课堂教学实效？笔者结合自己的教学实践经验谈几点策略。

一、触形找模——从现实到抽象，初步感知模型

数学模型离不开数学语言，使用抽象的、概括的、近似的描述方法描述现实世界中研究对象的特征、数量关系和空间形式，构成了数学模型的独特数学结构。使用模型的描述方法，将数学中所创造的语言、符号和方法用之于现实世界中的问题，从而搭建起数学与现实世界的直接联系，宛若知识海洋的摆渡舟。具体到小学数学教学中，数学之中所使用的文本概念、数量关系式、方程、图表、运算法则、计算公式等都是数学模型。不难发现，我们所称的“数学教学”，其本身即包含数学模型的指导运用，模型概念并未悬浮于数学概念的天空中，其定义简单至来源于随处可见的生活。所以，我们在培养学生模型意识的时候，要从现实到抽象，让学生初步感知模型。

从日常生活原型到数学模型，需要经历简化、抽象的过程。对于小学生，教师更应采用循序渐进的教学方法，从真实的情境出发，从现实到抽象，让其初步感知模型，为后续模型的建立做好铺垫。培养学生的模型意识，要以学生知识经验为基础，创设贴近学生生活的情境，让学生从中感受到生活中的原型，再慢慢抽象出来。

以教学《周长的认识》为例，在学生认识周长概念时，教师可以创设运动会的情境，唤醒学生记忆，将已有的生活经验作为基础，触摸到生活中的形。教师可以结合动画展示，通过对几位运动员的运动路线对比，让学生能够充分感知：什么是泳池的一圈？一圈有什么特点？学生结合自己体育课上跑步的经验，用自己的语言进行生动描述，如小鸭没有沿着边运动，小兔没有跑完泳池的一圈，小猫多跑了一点、超过了一圈，只有小猪跑的路线才是完整的一圈，等等。这时候，学生通过观察对比，将生活中的原型逐步抽象出来，初步感知一周，为之后周长模型的建立奠定了基础。

紧接着，教师追问学生一周有着怎样的特点。学生通过观察，以形触型，并用数学的语言表达：“要从起点回到起点，这样才算一周。且不论从哪一点出发，只要最终回到起点，就是它的一周。”当学生有了一周的模型后，再让学生理解物体表面一周的长度叫作周长，他们对这一概念的理解便简单了许多。当学生有了初步的模型，教师再从生活中具体的物体，抽象到图形，让学生闭眼想象、充分感知：如果拿掉这些物品，只剩下图形，这些图形的一周在哪里？

学生通过观察、对比、描、摸、指等多元动作表征过程，充分经历由具象到表象、再到抽象的过程，周长的模型呼之欲出。这为之后学生解决周长计算问题打好了基础，同时为其日后学习面积模型做好示范，避免了两种模型混淆。学生通过触现实的形，抽象出了数学的型，这体现了从现实到抽象的模型感知教育方法。

二、立型建模——从猜想到验证，充分建立模型

史宁中教授提出：现代数学得以健康发展的重要源泉，离不开数学模型的构建与应用。具体而言，数学教学的重要任务在于帮助学生建立起“数学模型”思想，将一系列的数学模型的理解、把握过程，贯穿到学生的课堂学习之中，从而极大地提高学生模型意识的建立。小学阶段的模型意识不能过分地追求复杂化概念的渗入，而应当培养起学生普遍而扎实的初步模型思想感悟。因此，在小学课堂中，教师可以让学生在公式、法则推导的过程中感悟模型的普遍意义。同时，可以将数学模型用于解决一类具体而明确问题的思想，引入数学教学应用的基本路径之中，培养起学生日常生活的数学模型思想，启发学生处理生活中的方方面面问题，真正行之有效地将数学概念与现实生活相结合。

比如，在教学《平行四边形的面积》时，教师可以从贴近学生生活的现实情境中引入。例如：学校劳动实践基地中有两块菜地，它们分别是长方形和平行四边形，要比较两块菜地谁大谁小，就要求它们的面积。学生根据已有的知识基础，能够快速答出长方形的面积等于长乘宽，但是对于平行四边形的面积，他们却不太确定。此时，不妨放心地让学生先行研究“如何得出平行四边形的面积”这一问题，学生可能会提出邻边相乘或者底乘高的想法。这时教师可以通过“数一数”的方式，借用方格纸格数，让学生数出平行四边形的面积。采用对比观察的方式，引导学生进一步启发公式猜想：平行四边形面积的计算方式为底乘高。再进一步引导学生探究：究竟平行四边形的面积计算方式是不是底乘高？是不是所有的平行四边形都适用呢？此时，再让学生将方格纸画一画、剪一剪、拼一拼，学生会发现，将平行四边形转化成长方形后，虽然它的形状变了，但是面积不变，转化后长方形的长是原来平行四边形的底，长方形的宽是转化前平行四边形的高。由此，学生可以推导出平行四边形的面积公式模型确实是底乘高，之前的猜想得以验证。

从猜想到验证，学生通过数、画、剪、拼等数学操作活动，充分体验了将平行四边形转化成长方形的过程。长方形与平行四边形关系的发现，离不开学生在此体会过程中的分析、对比及概括，这将有助于学生充分建立起平行四边形的面积模型，并且抽象成用含有字母的公式来概括表示。在此过程中，学生并非简单地得出数学公式结论，而是在思维的激荡中充分地进行数学表达，其相关的数学学科核心素养得到了进一步深化与提高。

再比如，在教学《长方形和正方形的周长》时，可以先放手让学生思考如何计算长方形的周长。此时学生会有多种想法：有的学生认为周长的计算为长+长+宽+宽；有的则认为可以长+宽+长+宽，总之要把四条边加起来；但是也有的学生通过观察会发现，只要算出一组长+宽即可，然后可以将所得数值乘二。教师此时可以通过把一个长方形的四条边展开来验证学生的想法，逐步建立起长方形的周长模型为：（长+宽）×2。同时，通过长方形周长模型的展示，也为学生后续学习正方形周长、平行四边形周长及其他图形的周长，奠定了良好的模型基础。因此，教师在日常课堂教学活动中要有意地将模型意识培养与知识讲授相结合，给予学生充分的时间观察、猜想、操作、验证、表达，进而充分建立起数学模型，培养学生的模型意识。

三、践行用模——从理解到运用，形成模型意识

新课标指出：模型意识有助于开展跨学科主题学习，增强对数学的应用意识，是形成模型观念的经验基础。如何定义小学数学建模？其不仅仅是让学生掌握新知识，更在于提高学生的创新能力，从而形成新思想，引导学生体验数学活动，进行深度学习。学生在此学习过程中，将深度转化从“学会”到“会学”，掌握学习方法；从“理解”到“运用”，真正地将知识融入生活中。体验是新课标强调的方法重点，学生不仅应当在学习过程获得新的数学知识，其所能收获的数学体验亦是教学重点。要引导学生在获取数学体验的基础上，理解数学、将数学运用到生活中，学会应用模型解决实际生活中的一类问题，真正地将学生对知识被动化接受转化成主动吸收，充分建立起学生的数学学习兴趣。

在《怎样拼，周长最短》一课的教学中，如果一下子给学生16 个小正方形拼摆，学生不易抓住本质，感觉无从下手。因此，可以化繁为简，从较少的个数拼起，有层次地引导学生。学生通过拼、算、比等活动，逐步建立起拼成正方形或越接近正方形时周长最短的模型。学生从最简单的4 个小正方形开始，在动手拼摆4 个小正方形的活动体验中，通过观察发现，隐藏的边的组数越多，周长越短，从而抓住了周长之所以会变化，是因为重合的边的组数在变化的本质。进而再到16 个小正方形的拼摆，学生通过在格子图中画一画来模拟拼摆，在小组交流汇报中，对比不同的拼法，他们会发现拼成正方形时周长最短，因为此时重合的边的组数最多。此时，学生会发现只要拼成正方形周长就最短的模型。如果该课只到此结束，未免可惜，因为这是对特殊个数的小正方形进行拼摆，模型并不完全。如果小正方形的个数没有办法拼成正方形，什么时候周长才是最短的呢？所以该课最后通过12 个小正方形的拼摆去完善模型，学生在此会有一个小小的认知冲突：如果是12 个小正方形拼摆，没有办法拼成正方形，但是会发现只要拼得越接近正方形，拼成图形的周长就越短。而之所以这样，其本质都是因为拼摆后，隐藏的边的组数越多，周长就越短。

有了这样一步一步有层次的模型的建立，学生在日后生活中遇到此类问题，便会用该节课学到的模型去解决。例如：对两幅长方形的美术作品进行拼摆，怎样拼才能让拼成后的图形周长最短？学生就会想到将两条长边藏起来，这样隐藏的边最长，周长就会最短。

再比如，包装盒子时，怎样捆绳子最节省材料？学生会发现，捆盒子的绳子其实就是在围这些盒子的周长，要最节省材料，就是让盒子拼摆后周长最短。学生会发现这类问题其实就是《怎样拼，周长最短》一课的延伸，关键在于如何让隐藏的边的组数最多，它拼成后的周长便会最短。让学生运用数学的模型和方法解释生活中的大量现实问题，这便是培养学生模型意识的意义。

数学是一门抽象的学科，它起源于对现实世界的抽象，得到研究的对象及关系；数学的结论和方法来源于对现实研究对象的运算、模型建构及概括推理，引导模型意识深入渗透到学生的日常生活中，学生在收获数学知识的基础上，更获得了解决现实问题的能力。不同的学段，对应阶段的学生特点不同，教师应当根据学段特征、学生不同的发展水平，循序渐进地培养学生的模型意识，让学生积极主动地探索、获取新知识，并将收获的知识运用于生活。