浅谈乘法分配律中深度学习的教学策略

杨叔俨

乘法分配律复杂、困难却运用广泛。学生学习零散、孤立，就题教题、机械套用知识，脱离真实世界，归纳总结不充分的浅表学习，导致公式、概念熟记，基本题型掌握，但是稍加变式便无从下手。在“以学定教，学为中心”理念的指导下，我们要改变现状，促成深度学习的发生。从学习的过程和结果分析，“深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将己有的知识迁移到新的情境中，作出决策和解决问题的学习。” 但深度学习不是偶然发生的，教学的引导很关键。笔者将就实践中若干促进深度学习的教学策略进行探讨。

一、系统研读教材，做好整体教学

运算定律单元编排在人教版四年级，简便计算题型随之出现。学生容易误解乘法分配律是刚学并且只用在简便计算中。这种认知偏差，不利于乘法分配律的学习，甚至影响学生乘法竖式算理的掌握和简算意识的培养。布鲁纳强调知识的整体性，任何学科的知识都是充满关系的有机整体。它要求我们在平时的细节教学中，不仅要了解内容本身的规定和含义，还要求以整体观念为指导，瞻前顾后。

乘法是把几个相同加数合并。乘法分配律和乘法结合律是把乘法再拆分，是随着乘法出现的，体现了数学对简便的追求。二年级学习乘法时就可以渗透。如：6×8=48可以看成是5×8+1×8=48，6×7+6×1=48，3×2×8=48，6×4×2=48等等。不同拆法可以沟通不同口诀之间的联系，验证口诀，拓展思维。乘法分配律在解决复杂问题的时候更能体现出优势，因此可以用表外乘法举例，比如12个6相加，为了简便就合并写成了6×12。因为6×12没有口诀并且不太好算，所以把6×12进行了再拆分。可以拆分成6×4+6×4+6×4，6×6+6×6，6×9+6×3，6×10+6×2等乘加混合的方式，实际运用了乘法分配律。前两种是均等拆分，每份的数量都一样，因此还可以写成（6×4）×3及（6×6）×2的连乘方式，实际运用了乘法结合律。教学时搭配点子图让学生进行合并和拆分，使得思考过程更加直观，符合学生思维的阶段性特点。二年级的学习任务是让学生初步体会到乘法是合并，乘加混合和连乘是再拆分。经过了再拆分，使得表外乘法也可以运用口诀进行计算，甚至可以使得一些计算变得更加简便。

三年级乘法竖式的原理相同，回顾二年级内容再出示例题：14×12=？方法的一致性为学生指明了自主探究的方向，降低了迁移的难度，加深了学生的理解。如：（1）14×10+14×2（2）10×12+4×12（3）14×4×3（4）14×2×6等其中（1）、（2）的方法是两位数乘法的原理，也是乘法分配律的重要应用。因为横式是算理，先理解横式的书写，然后才是算法，即竖式的书写。增加一组数字如13×11，让学生进行点子图的操作和对比，再归纳总结。三年级的学习任务是引导学生发现拆分要根据数字的特点，双数才可以均等拆分，任意数都可以进行非均等拆。非均等拆分更具一般性，因此竖式依托乘法分配律逐位相乘再相加成为必然，这也是三年级乘法竖式的算理根源和数学思想。

经过铺垫，四年级的乘法分配律教学就可以让学生沿用一致性进行迁移，此时不能仅停留在乘法分配律的概念和机械练习，要进一步总结、深化，引导学生将知识通过导图进行串联。四年级的学习任务是理解乘法的再拆分中，乘加混合的一类称为乘法分配律，连乘的一类称为乘法结合律。等分和不等分都可以写成乘法分配律，其中等分的情况还可以写成乘法结合律（见图1）。从这点来说，乘法分配律包含了乘法结合律。这样不仅深化了学生对知识的整体理解，还把容易混肴的知识进行了区别和联系。五、六年级学习的乘法分配律只是数的范围扩大了，计算的原理无异，可以让学生尝试自主进行方法的迁移。

教学一致性的保持，使得学生把乘法分配律和乘法结合律融入到乘法的学习当中，从整体视角，抓住核心，建立結构，利用迁移，学会联系地思考问题，举一反三，触类旁通，实现深度学习，促进思维可持续发展。减负提质增效，落实核心素养。

二、借助问题情境，理解定律本质

数学的抽象性和小学生思维的直观性存在矛盾。生活化的问题解决，可以调用学生的经验和积极情感。有现实背景和数量关系支撑，能帮助学生更直观地理解定律本质。

例一：A学校有40名同学参加运动会，需要统一服装。上衣一件46元，裤子一条54元，一共需要多少钱？可以分别算出40件上衣和40条裤子的总价，再相加。即：46×40+54×40=1840+2160=4000。或先算出单价和（成套价），再乘数量。即：（46+54）×40=4000。结论：46×40+54×40=（46+54）×40。

例二：A学校有17名女生和23名男生参加运动会，每名同学车费25元，车费一共多少钱？分别算出男女生的车费，再相加。即：25×17+25×23=1000。或先算出人数和，再乘单价。即：25×（17+23）=1000。结论：25×17+25×23=25×（17+23）。

以上两道题都可以用乘法分配律先合并后计算。区别是具体情境中单价（每份数）相等时，可以先求份数和再求总价；份数相同时，可以先求单价和（成套价）再求总价。抽象的定律有了现实背景的支撑更容易理解。借由学生最为熟悉的单价、数量、总价的数量关系，推广到每份数、份数、总数的数量关系，就可以涵盖大部分的解决问题使用乘法分配律的情况。

例三：B学校参加运动会的同学有102人，每位同学餐饮费45元，一共要花多少钱？这道题是乘法分配律的逆用，属于易错题，容易写成：45×102=45×（100+2）=45×100+2。结合情境再与例二对比可知，单价相同时，计算总价可以根据需要把数量合并（或拆分），使计算简便。即：45×102=45×（100+2）=45×100+45×2=4500+90=4590（元）。

日常教学中更多的是学生根据问题情境，抽象出数量关系，列出算式，通过计算算出得数，从而解决问题，也就是说我们的学生经历了太多从形象的情境到符号的提炼活动。根据计算题编应用题，恰恰采用了相反的策略，即从抽象的符号与算式，到具体的问题情境，丰富了计算的内涵，赋予了计算现实的意义。

例四：25×44=？①25×40+25×4：书包一个25元，第一次买了40个，后来又买了4个，一共需要多少钱？②25×40+4：书包一个25元，买了40个，后来包装又花了4元。一共需要多少钱？③25×40×4：书包一个25元，一个班级40人，给4个班级买书包一共需要多少钱？④25×4×11：书包一个25元，一个小组4人，买11个小组一共需要多少钱？

通过编题可以让学生把乘法分配律的模型和生活问题联系起来，帮助学生理解并检验运算律。对易错题进行题组编制，暴露由简单模仿造成的错误，培养学生批判性思维，促进深度学习，理解运算定律的本质。

三、系统归纳总结，形成知识网络

简便计算贯穿始终，运算规律纷繁复杂，学生经常把乘法结合律和乘法分配律混肴（见上文例四）。学生学会梳理知识，建立起知识之间的联系，能透过复杂事物的表象抓住其规律和实质，是学生解决综合性问题的基础，也是初步建立小学生系统新思维，培养思维深刻性的关键。

梳理角度和方式的不同，可以帮助学生更全面、深刻地理解知识，可以适配学生的个性化需求。简便计算实际是一种思想，方法多样，归纳可以提高学生简算意识。减去一个数，等于加上这个数的相反数，减法都可以转化成加法，乘除同理。学生虽然还没有学，但是通过合情推理可知同级运算中，数可以带着前面的符号改变顺序，可以用“同级运算交换律”来概括加法交换律、乘法交换律，“带符号搬家”等运算律。同样可以用“同级结合律”来概括加法结合律、乘法结合律、减法性质、除法性质等，这些运算律都是属于同级运算，并且都有添、去括号，逆运算符号后面添、去括号需要变号。分类后，运算定律从原来的5个归纳为3个，并且涵盖了一些运算规律。从符号角度很容易区分乘法分配律和其他运算律，因为乘法分配律是唯一跨级的运算定律。知识的串联，减少了知识的冗余和记忆的负担；自主建构，促进了学生的思辨，培养了学生的创新意识，指向了深度学习。

深度教学关注结构，重串联；关注探究，重思辨；关注体验，重迁移。深度教学是引导学生深度学习的教学，不是追求深和难的教学，是追求一致性和系统性、生活化和个性化、“减负”和创新的教学方式。