基于核心素养背景提升学生数学运算能力的方法讨论

●张瀚之 张志旭

一、核心素养导向下中学生数学运算能力现状分析

学生进行数学学习，就不可避免地要进行运算，这里不仅指口头或纸质的计算，认识数、会用抽象符号表示数等也属于数学运算的一部分。数学运算贯穿中学学习的整个阶段，并且随着年级的上升，对学生的数学运算会有更高的要求，例如学生在初中阶段学习数与代数时要求能够准确进行计算、列式及求解，但是在高中阶段的数学运算更加符号化与抽象化，不仅扩充了数域且计算复杂化，还要求在明晰数学概念与法则后进行求解。数学知识的理解与巩固，离不开数学解题，主要表现之一是进行一定形式的数学运算，数学运算是数学活动的基本形式。[1]可以说数学运算能力的强弱甚至直接影响着学生的数学成绩和学生对于数学学习的态度，现如今中学课堂上学生运算能力的缺失主要原因有以下几个方面。

（一）对数学运算课堂重视度不高

中考和高考解题的计算量并不小，且考试过程中不得使用计算器，教师应当对学生的运算能力提出一定的要求，但现在的中学数学课堂上呈现一种较为浮躁的局面。一方面，教师对于教材运算的变式程度不高，只是停留在课本习题上，应该选取灵活程度较高的变式题，教会学生抓住数学计算的本质意义和讨论变式运算的思路，教会学生自己举一反三。另一方面，教师在课堂上留给学生计算的时间较少，且很少进行规范计算的讲解，认为学生理所应当能够“快”“准”“对”的熟练运算，将部分计算细节一笔带过，学生无法理解。为了计算能力的提高又布置大量的运算作业，对于不必要的运算总是机械地、重复地进行。挤占了部分学生用来思考和反思的时间，导致学生在运算前不进行思考，只是背下了解题模板机械地进行苦算。

（二）对学生已有数学经验重视度低

学习数学的最终目的不是进行解题，而是培养学生的逻辑思维和运用能力，并在日后可以加以运用。当老师在课堂进行单纯的数字运算和推理时，学生难免觉得枯燥无味和难以理解，其实学生已经在以往的学习和生活中积累了部分数学经验，教师应该重视学生已有的这些经验，将题目在生活中找到依托点，在学生能理解的层面进行讲解。例如讲解分数方程式可以用整式方程的基础为依托，在讲解配方法时可以借助学过的圆的标准方程来理解，对于一些抽象的无理数运算，可以构造在平面几何或者立体几何中理解，总之，不要一味地讲解他们难以理解的复杂运算，要从通俗易懂的生活常识中培养学生的数学感知力和计算能力。

二、核心素养导向下中学生数学运算能力培养策略分析

（一）应注重数学运算背后的理解，吸引学生兴趣

中学阶段的学生好奇心重，自控能力相对较弱，教师可以通过创设情境、设置数学活动和故事接龙等多种方法让学生对数学运算产生兴趣，同时穿插对数学算理的讲解，让学习了解数学运算背后的逻辑，在进行解题时更有运算支撑。

1.学生为中心，加强概念学习。在核心素养的背景下，学生应该成为学习的主体，课堂上教师不能只强调运算的正确性，而是应该从概念出发，让学生理解题目、明白复杂抽象的运算符号的意义后再进行运算。概念的学习方式有很多，其中，教师可以设计一些情境活动，让学生通过一系列的教学活动总结抽象出概念,达到真正的理解并掌握概念,从而筑牢运算的根基。[2]例如，教师以确定班级同学座位为情境，让学生感受平面横纵坐标的加减变化以及探究如何平面内确定一个点；对于抽象的数学概念，教师可以在生活实例中找到具体事物作为支撑点，学习正负数的时候可以借助温度计这个具体的形象帮助学生理解有理数的运算，明白正负数相抵消的含义。学习无理数时，可以将的来源看成是边长为1的正方形的对角线，让学生进行裁剪和测量。同时一些尺规作图等专门的数学活动也可以启发学生数学思维的严谨性，从而确保画图的精准性。总之，只有透彻地进行概念的理解，学生的计算才是真实可靠的、能够提高的。理解具体概念后做题，才可以在灵活的题目中抓到他的本质，例如在学习抛物线时，虽然明确了定义，但是学生对于一些提示不明显的题目还是不会求解。例如，“在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则在侧面ABB1A1上动点P的轨迹与棱AB,BB1所围成的图形的面积是多少？”学生容易认为这是一道超纲的立体几何的题目，其实教师只要提示学生根据题意画出图形，观察动点P与一直定点、定直线的关系便能发现这道题主要考查的是抛物线的定义的相关概念。因为P到A1B1和BC的距离相等，BC垂直于面ABB1A1，所以BC垂直于此平面内任一直线，从而推导出PB垂直于BC，学生会发现这就是抛物线的定义，即B为焦点，直线A1B1为准线，进而找出所围的面积，根据定积分进行计算即可。所以教师在进行概念讲解时要透彻，并且加入一些变式练习，让学生不拘泥于最直白的解析式，可以自己联系学过的知识。

2.教师为主导，揭示数学算理。学生是学习的主体，但是在课堂上教师依然发挥着重要的引导作用，大多数学生对于题目的解题过程都是机械式的重复，生搬硬套老师在课堂上讲解的习题，并不理解运算的真正原因，这样就会导致学生只知其一不知其二，进行题海战术而不会变通。对于数学运算，明算理，识算理乃是第一位的。前苏联心理学家列昂节夫指出，内部活动与外部活动并不分离，内部活动和外部活动具有共同的结构。[3]教师引导学生明晰数学概念，在讲题中揭示数学算理，在解题中穿插数学思想，才能真正地提高学生的数学逻辑和能力。算理就是学生计算中运算的道理，是计算过程中的一种思维方式，也就是让学生明白为什么这样算的问题。学生在学懂数学算理后对于计算有了逻辑思维，也就有利于解题和运算。数学的运算要求封闭性，但是进一步深究会发现正是一些不封闭的运算理念，才促使数学的进步，例如正因为整数的不封闭才有了有理数的出现，有理数的不封闭才有了无理数，进而人们开始发现超越数和代数数。学生在不理解算理时很难进行正确运算，教师可以深究其中的本质，利用数学算理本身的迁移性帮助学生理解，可以通过学生前期对运算加减乘除的理解和其性质与概念的运用，从本质上进行算理的潜移，让学生更好理解“为什么要这样运算”。一些数学问题都与最基础的数学算理挂钩，例如可以让学生发现排列组合的本质可以对应加法和乘法运算，线性规划与平移有关但实质上是函数的最值问题，命题的否定、对数函数和指数函数相互转换以及反函数都是寻求一种逆运算，三角函数诱导公式就是角的加减，单调性可以和比较大小来对接，集合中交集并集的性质对应运算的加法减法。通过学生原有的知识经验进行新知识的算理分析，有利于学生对于他们的吸收和运用。不仅对于运算原理进行分解，在习题讲解时也可以探求一二，让学生通过实际操作感受公式或定理生成的过程，加深他们对算理的理解。例如，在学习勾股定理的时候，教师可以先让学生对几组直角三角形的边长进行测量，找出其数值的对应关系，引导学生进行推测。然后教师通过课本上所给例题进行证明，帮助学生理解勾股定理的转换过程。在学生理解第一种课本给出的证明方法后，教师可以引导学生进行赵爽弦图的证明，这个过程教师要给学生一些时间充分发挥他们的学习主体性，只要学生明白了其中面积相等的算理，就可以以不变应万变，做出勾股定理的题目了。解数学题目的过程中本来就渗透了许多数学思想方法。教师要能够将它们渗透到课堂内，帮助学生在解题时发散思维，寻找最优的方法。

（二）应注重数学运算的多样性，全面培养数感

教师在培养学生的数学运算时不应当局限于卷面和书本上的现有题型练习，长篇的问题设置和单一的数字习题会让学生感到过于功利化和目的性，反而会减弱学生对于数学运算的兴趣，教师应该多方面发展学生的运算形式，培养学生对数字的敏感度和数学感觉。

1.重视口算与估算。进行笔算可以保证计算的严密性和加深学生正确运算的步骤，但是只进行笔算会让学生对笔产生依赖性，且不能提升计算速度。数学运用于生活中的方方面面，不可能每一次在生活中进行计算都需要借助纸笔，所以教师要在课堂上刻意训练学生的口算能力，一些简单的、不必要的运算不用预留时间，而是鼓励学生进行口算。难度可以循序渐进同时鼓励学生课下练习口算，也可以让学生直接记住一些常见的运算等，来减轻学生的口算压力。这样既可以培养学生的逻辑思维，提升运算速度和便捷性同时也可以更加方便生活中的运用。学生学习数学不仅要会精算，还要能够估算：在生活中粗略估计物体的重量、购物的钱数和旅行的大概成本都是必要的，估算能力的培养非常重要，甚至可以影响到学生对数感的体验，估算是为了让学生对生活中常见的物体有一个大致的数学感觉，培养学生发现数学、运用数学的能力，提升学生对数字的敏感程度。所以教师在课堂上可以让学生简单估计一支笔、一桶油的重量，在学完体积之后让学生估算书本的体积和教室的体积，同时，运用估算可以在做题时对答案范围进行排除，学生估算出一个大概范围后再进行精确计算，提高做题的效率和正确率。

2.应适当使用现代信息技术。虽然中考和高考不可以使用计算器，要求学生具备计算能力，但是对于数学运算也要有一定的取舍范围：一些过于复杂和计算量庞大的题目并不会达到训练数学思维和计算能力的作用，反而浪费学生的时间，加大学生课业负担。遇到这种类型的题目学生可以借助计算器完成计算或查阅资料进行简单估算，数学运算主要是让学生掌握计算规律和方法后能够独立完成正常题目的运算，为的是让学生掌握课程标准规定范围内的计算能力而不是钻牛角尖。此外，借助现代信息技术帮助学生运算还可以让学生体验数学的神奇之处，完成一些现有理论下无法进行的运算过程，借助现代技术还可以让学生了解“超级计算机”学习一些学科思政等方面的内容，加强民族认同感，只要悉心钻研，会发现运算结果依然可以找到相似的运算规律或者和结论定理的吻合之处，加强学生对数学学习的兴趣。

三、核心素养导向下中学生数学运算能力与生活实际相结合

数学计算能力的提升如果只是依托于课堂上的教学和课后的练习作业，学生必然会觉得运算是枯燥无味的。核心素养大背景下，教师应该通过与实际生活相关的数学问题、实践活动让学生体验数学运算的乐趣。教师可以布置一些思维导图、章节总结或者错题整理类的数学日记，留给学生一定的思考时间，也可以布置带有目标的数学实践活动。例如，在八年级学习《平均数、中位数和众数》时教师可以布置数学日记，让学生体验一些真实的数字估算。学生们分组养小树苗，用三周时间每天定点测量小苗的长势和高度，最后将这些数据通过表格或者统计图的形式记录下来，计算他们的中位数、平均数和众数，在之后的学习中还可以继续用做方差和标准差的学习。用学生自己观察和测量到的数据进行计算会增加学生的实际体验感和兴趣，比起重练习轻反思的计算模式，更应该注重学生做题的质量与思考总结。同时也可以利用智慧课堂来减轻一些计算的负担。在课堂上教师通过几何画板精准计算画图、通过视频软件了解计算原理、通过幻灯片技术吸引学生兴趣，对这些信息手段的合理运用可以减轻学生在课堂上计算的一些负担，为计算提供一种新的可视化的角度，开阔学生的思维，让他们明白多种维度的计算。同时也可以在课下运用信息技术：对于教学中的计算重难点，老师可以录制微课视频，以便利学生在课后进行反复观看，学习老师解题的正确步骤。同时利用线上平台的智能分析，教师可以在课堂上着重讲解学生不太熟悉的题型，留针对性的作业任务，学生既避免了一味的重复的熟练题型的训练，同时也可以分层次有针对性地进行练习。