基于数字教材的函数探究教学设计

陈蕾　刘洁

为有效指导学生对二次函数进行探究式学习，教师借助数字教材为学生提供探究环境，让学生自主操作、观察分析、建构知识、探究交流，提升数学学科素养。教学中一明一暗两条主线融合贯穿始终：明线，即从特殊到一般探究二次函数的图象和性质；暗线，即研究函数的一般方法。实践证明，教师深入挖掘数字教材的资源和功能，设计复习回顾、互动探究、总结规律、知识应用、课堂小结等教学环节，设置问题与情境让学生循序渐进合作探究，对教学效果进行观测分析，能够优化课堂教学，实现学科育人目标。

一、数字教材助力学生探究式学习独具优势

《教育信息化十年发展规划（2011—2020年）》指出，实施教育信息化的意义在于“以教育信息化带动教育现代化”。我国正在加快建设高质量教育体系，发展素质教育，深化教育领域综合改革，加强教材建设和管理，推进教育数字化。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“课标”）要求教师开展促进学生发展的教学活动，促进信息技术与数学课程融合。教师要合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革。在实际问题解决中，创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养^[1]。

数字教材是利用互联网、数字媒体、大数据等技术手段，融教材、数字资源、学科工具、应用数据于一体的立体化教材。数字教材是数字化教学的核心资源，数字化资源的使用有利于激发学生的兴趣、提升其课堂参与度。互动工具可以帮助学生自主探究，体现学生在学习中的主体地位。互动练习可以实现人机互动，即时反馈，有助于教师及时调整教学策略，提高教学效率。数字教材的使用可以助力教与学的创新，是信息技术与学科教学深度融合创新应用的重要途径。

探究式学习是指学生在教师的启发和引导下，以独立自主学习和合作讨论探究等方式进行学习，建构学科知识，增强探究能力、创新能力和合作意识。探究式学习具有主动性、问题性、开放性、生成性和创造性等特点。数字教材搭载的丰富教学资源在探究式学习的创设情境、交互合作、即时评价等环节都有较大的应用价值。下面，以初中数学二次函数为例，结合数字教材设计教学方案，指导学生开展探究式学习^[2]。

二、数字教材支撑下函数探究教学分析

（一）教学实施背景与内容分析

二次函数是中学函数课程内容的重要组成部分，它承接了初中一次函数、反比例函数等内容，又是学生在高中阶段学习指数函数、对数函数、幂函数等其他基本初等函数的基础。二次函数是让中学生体会变化中的量，领会函数思想、方法的重要工具。同时，二次函数部分的课程内容，与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。可见，二次函数课程内容在中学数学教学中具有“承前启后”的作用，占据着重要地位。

“二次函数的图象与性质”这一单元内容在课标中属于“数与代数”领域。函数是初中数学中的重要概念，学生在初中阶段系统地学习一次函数、二次函数、反比例函数，对基本的函数有了一定的认识。函数的图象与性质是研究函数的重要方面，贯穿在函数的学习过程中。学生探究函数的图象和性质，可以更好地理解函数的概念。在学习过程中，学生可通过回顾对函数的研究过程，逐步总结归纳出研究函数的一般方法。首先，学生对学科知识结构形成过程中积累的思维经验进行总结，将知识上升到方法层面，体现学科素养的核心能力；其次，关注研究数学问题的过程，增强对数形结合和转化思想的认识；再次，面对新函数，借助信息技术解决问题，体现信息技术的工具价值；最后，掌握研究一般函数的方法，为后续进一步研究函数奠定基础。

二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质是“二次函数的图象与性质”单元教学中的第4课时的教学内容（如图1），该函数形式清楚地显示出二次函数中“数”与“形”的相互联系和相互转换，突显了数形结合的数学思想。教师开展本节课的教学，旨在引导学生在探究二次函数y=ax²、y=ax²+k、y=a（x-h）²的图象和性质，及函数之间的平移规律的基础上，进一步研究二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质。主要研究方法是画函数图象并分析与已学习的函数图象之间的关系，得出函数图象的平移规律，以此进一步分析函数的性质。学生需要对前面几种函数形式进行总结和概括。

（二）学情分析

为准确把握学生的学习情况，教师精心设计问题，开展调研工作。

问题1：何谓函数，表示方法有哪些？

问题2：一次函数的图象和性质是什么？

问题3：研究函数的角度有哪些？

教师调研发现：学生学习本單元之前，已经学习了函数的定义、一次函数的图象及特征，明确了函数是一种变化和对应关系；大多数学生已掌握函数不同表示方法，了解它们的优缺点，能够根据具体情况选择适当的方法表示函数；会用描点法绘制函数图象，并感知了函数图象增减性的过程。学生在学习一次函数时，对于函数图象及性质的研究内容和研究方法已经有了一定的了解，可以迁移知识与经验，结合函数的图象研究特征。学生知道可以从图象、列表、解析式三个角度研究函数的性质，具有一定的数形结合思想。

有些学生可能忘记函数的特征，教师需要适当引导学生回忆学过的函数的研究角度。同时，对于一个新的函数，学生可以借助函数解析式，分析函数值，猜测图象大致走势，再利用绘图软件等工具绘制函数图象，进而验证猜想的正确性，研究函数特征，回归到解析式，再分析认识函数性质。

教师从学生完成习题的情况看出，虽然大部分学生已经掌握一次函数的图象和性质，但是在解决问题的过程中，还有些学生利用图象解决问题的意识有待提高；在画函数图象时，会出现考虑不够全面的情况；在面对一个新的函数时，不知如何分析研究函数的图象和性质。在接下来的教学中，教师需要培养学生的几何直观能力和勇于探究数学问题的精神。

从课标要求、教学内容、学情分析三个维度可以看出，函数不但是数学学科的核心概念，还是中学数学课程中承载育人功能的核心知识载体。现实世界里的函数无穷无尽，而学生能学习的函数模型是非常有限的。在教学中，教师除了关注相应函数的性状研究之外，还要引导学生感悟研究函数的基本方法和研究函数的维度。

具体到本节课，在知识技能和能力基础方面，学生已经学习了二次函数y=ax²、y=ax²+k、y=a（x-h）²的图象和性质，以及几个函数图象之间的平移规律，同时对探究函数性质的方法和思路有了一定的认识，为本节课的进一步探究做好了准备。学生学习了前面几节课的知识，具备了一定的自主探究能力，对如何使用数字教材及信息工具绘图软件辅助探究也已经熟悉。

学生在学习本节课时会遇到一些困难：不知怎样选择特殊二次函数进行探究；怎样将看到的“形”，與之前所学的函数图象建立联系；如何从特殊情况下，抽象概括出一般形式具有的性质；如何基于自主探究进行深度学习；等等。

三、数字教材支撑下函数探究教学设计

（一）确定教学目标及重难点

在二次函数的图象和性质的单元教学目标指引下，教师确定本课时学生的学习目标如下：

（1）掌握二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质；

（2）理解二次函数y=a（x-h）²+k的图象与二次函数y=ax²的图象的位置关系；

（3）用作图、观察、分析、合作、归纳等探究方式，理解顶点式二次函数的图象和性质，发展学生的几何直观；

（4）体会数形结合和类比的数学思想，培养勇于探究的科学精神。

教学重难点如下：

重点：二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质；

难点：二次函数y=a（x-h）²+k的图象与二次函数y=ax²的图象之间的平移规律。

（二）设计教学流程与教学方法

二次函数的学习是以一次函数为基础的。学生需要循序渐进地学习，在研究过程中应注意复习相关内容，重视知识之间的联系，领悟类比、数形结合和归纳的思想。

函数图象是研究函数性质的直观载体。学生可以从图象上观察函数的变化规律，整体上把握函数性质。学生先从函数解析式出发，借助绘图软件等信息工具画出函数图象，并利用数字教材资源动手操作，再回归解析式，总结函数特征，深刻理解函数的内涵，对研究函数的思路和方法进行归纳、总结，实现能力与智慧上的提升。

教师让学生对已有的知识、经验、方法进行迁移，亲历知识的形成过程，整体感知函数的学习方法，选择合适的方法探究新函数的特征。

本节课，教师依托人教智慧教学平台教学，借助手持平板电脑，以小组合作的学习方式，利用人教数字教材的数字化教学资源，开展实验和探究活动，打造“教师主导、学生主体”的互动探究课堂。手持平板电脑深度融合了人教数字教材资源和信息化工具。学生充分利用数字教材中模拟动画、交互探究、练习反馈资源及信息化工具（如GeoGebra软件），使思维可视化，实现了数与形的完美结合。教学环节和活动设计如图2所示。

（三）设计教学过程

教师为学生设计了复习回顾、互动探究、总结规律、知识应用、课堂小结等学习环节。

环节一：复习引入。

教师引导学生回顾已学二次函数的研究方法，同时明确本节课的研究对象，为本节课的自主探究作好铺垫。

【教师活动】

教师提出以下问题。

问题1：前面研究过哪些形式的二次函数？

问题2：我们是怎样研究这些函数的？

问题3：二次函数y=ax²+k及二次函数y=a（x-h）²图象与y=ax²图象分别有什么关系？

问题4：接下来该研究哪种形式的二次函数？

【学生活动】

学生利用数字教材资源复习回顾，观察图象及函数运动规律，表述二次函数y=ax²+k及二次函数y=a（x-h）²的图象与y=ax²的图象之间的平移关系，同时利用平移关系得到两个函数的顶点和对称轴。学生回顾分析，确定接下来的研究对象为y=a（x-h）²+k的二次函数。

在本环节，学生利用数字教材观察、回顾，充分利用数字教材资源展示二次函数y=ax²+k及二次函数y=a（x-h）²的图象与y=ax²的图象之间的关系，发展几何直观素养。

环节二：合作交流、互动探究。

按照由特殊到一般的研究思路，教师引导学生选取特殊的研究对象，探究其图象和性质。学生利用数字教材所提供的信息工具及GeoGebra绘图软件，分组自主探究，将思维可视化，进一步发展了几何直观素养，并利用人教智慧教学互动平台对探究结果进行汇报展示。

【教师活动】

教师设置探究以下活动。

活动1：请写出一个具体的二次函数作为研究对象。

活动2：请各小组对你们组所写的这个二次函数进行研究，可以利用平板电脑中的资源辅助探究。

【学生活动】

学生互动合作，完成以下探究任务。

任务1：研究这个函数有什么思路和方法？

任务2：对这个函数的研究结果有哪些？

在这一环节，学生利用人教智慧教学互动平台系统分屏展示所采用的探究方法（观察解析式画函数图象或利用电子资源），利用手中坐标纸描点画图，并借助平板电脑利用数字教材资源及GeoGebra绘图软件画出函数图象进行验证，探究之后利用互动平台展示汇报探究结果。

环节三：总结规律，展示交流。

教师让学生利用数字教材中的资源再次动手操作，总结得出平移规律，并归纳二次函数y =a（x-h）²+k的性质。学生动手操作并自主归纳总结，对二次函数的性质能够更好地理解掌握。

【教师活动】

教师提出问题：二次函数y=a（x-h）²+k的图象是分别对二次函数y=ax²、y=ax²+k及y=a（x-h）²的图象进行怎样的变换得到的？

教师引导学生利用数字教材资源，动手操作总结得到二次函数y=a（x-h）²+k的图象性质。

【学生活动】

学生利用电子资源再次动手操作，总结得出平移规律；同时根据所得出的平移规律总结二次函数y=a（x-h）²+k的图象性质，并制作表格。教师让三个学生配合，使用电脑展示探究过程并填写表格，总结函数图象平移关系。

在这一环节，教师充分利用数字教材中的辅助资源，鼓励学生动手操作，发现图象的变化与解析式中参数的关系，总结得到函数性质，培养学生观察、思考、总结的学习能力。

环节四：知识应用。

学生利用本节课的探究结果解决问题并在数字教材中完成练习。学生及时提交，教师及时纠错。教师借助人教智慧教学平台能够了解每个小组完成练习的情况，及时给予指导。

环节五：课堂小结。

学生自主总结本节课的学习收获，将本节课所学内容从知识层面上升到方法层面。

（四）教学总结与反思

教师引导学生回顾前几节课研究函数的一般经验，进一步对二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质进行探究，获得研究函数性质的方法：（1）寻找与已知函数之间的关系；（2）分析解析式，观察图象，归纳函数特征；（3）按照从特殊到一般的顺序进行探究，从知识层面上升到方法层面。学生以小组为单位，利用数字教材资源等信息工具探究新的函数的特征，教师引导学生思考、探究，鼓励学生动手操作，尝试数学实验过程，提高学生的课堂参与度，充分体现学生的主体地位，促进学生高阶思维的形成。

本节课，教师要注重知识的联系贯通。函数是初中数学中的重要概念。教师在教学过程中以学生掌握研究一般函数的方法为整体目标，引导学生从已有的研究函数的经验出发，总结出研究新函数的角度，探究新函数的性质，并运用信息技术手段，不断深化对新函数的性质的认识。学生将数学学习经验很好地运用到新知识的学习中，将函数知识之间的联系以及课堂探究活动紧密结合，可以有效突破学习难点。

在教学过程中，教师引导学生合理利用数字信息工具辅助探究，开展探究式学习。教师精心设计各个教学环节，有利于提高学生的课堂参与度，充分体现学生的主体地位。教师设计多种形式的探究活动，帮助学生提升高阶思维能力，发展几何直观素养，实现育人目标。

教学设计中明线与暗线相辅相成，有利于学生整体把握课程内容。教学过程中，确定了知识的研究过程：由特殊到一般。探究二次函数的图象和性质是明线，研究函数的一般方法是暗线，教学中两线融合，相得益彰。这种教学设计，建立在教师对课程内容深刻理解的基础上，突出了教学知识和教育本质，整体把握了课程与教学的关系，让学生有实际获得，对于学生基本数学素养的提升是非常有益的。

在数字教材的支撑下，教师指导学生对二次函数进行探究式学习，借助信息技术为学生提供丰富的外部刺激和多种教学环境，让学生主动参与到学习中，自主动手操作、先行观察、发现数学、建构知识，根据需要自主探究和合作交流，使学生真正成为学习的主人，主动积极学习，为学生的全面发展提供条件，使学生素质得到提高。在后续的教学中，教师要继续挖掘数字教材的资源和功能，对教学效果进行观测分析，持续反思改进，探索数字教材与学科教学深度融合创新应用的行动路线，有针对性解决现存问题，优化课堂教学，优化初中学生的数学学习。

注：本文系北京市教育科学“十四五”规划2021年度一般课题“人教数字教材优化初中生数学学习的行动研究”（立项编号：CHDB21235）、北京市教育学会“十四五”教育科研课2021年度一般课题“人教数字教材助力培养几何高阶思维的研究”（课题编号：DCYB2021-082）、国家新闻出版署出版融合发展（人教社）重点实验室人民教育出版社人教数字教育研究院“‘双减背景下的数字教材学科教学应用策略研究”（课题编号：RJA0122003）的阶段性研究成果。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 杨凤武.浅谈信息技术条件下如何做好中学数学探究性教学[J].数理化学习，2015（2）：37.

責任编辑：祝元志