基于传输矩阵法的任意变厚度环型压电超声换能器*

董宜雷 陈诚 林书玉

(陕西师范大学物理学与信息技术学院,陕西省超声重点实验室,西安 710119)

变厚度环型径向振动压电超声换能器可以实现阻抗变换、能量集中,具有辐射面积大、全指向性等优点,在功率超声、水声等领域被广泛应用.由于求解复杂变厚度金属圆环径向振动的波动方程比较困难,本文使用传输矩阵法将变厚度金属圆环的径向振动转化为 N 个等厚度金属圆环径向振动的叠加,得到了任意变厚度金属薄圆环径向振动的等效电路图、共振频率方程和位移放大系数表达式,分析了锥型、幂函数型、指数型、悬链线型金属圆环的位移放大系数与几何尺寸的关系.在此基础上,推导了由任意变厚度金属圆环和等厚度压电圆环复合而成的压电超声换能器径向振动的等效电路和共振频率方程.为了验证理论结果的正确性,使用有限元软件进行仿真,所得一阶、二阶的共振频率和位移放大系数的数值解与理论解符合较好.本研究给出了任意变厚度金属圆环径向振动的普适解,为设计和优化径向压电超声换能器提供了理论指导.

1 引言

径向振动压电超声换能器具有辐射面积大、沿半径方向有全指向性、接收灵敏度高、结构简单且性能稳定等优点[1-4],在超声医学成像[5,6]、超声化学反应[7,8]、超声污水处理[9,10]、水声通信[11,12]等领域被广泛应用.径向复合压电超声换能器由金属圆环和压电陶瓷圆环复合而成,金属圆环可以增加压电陶瓷的散热,提高其功率容量.为了增大径向复合压电超声换能器输出端的位移幅值,实现能量集中,输出端金属圆环多采用变厚度金属圆环.变厚度金属圆环可置于压电陶瓷环内以实现向内聚能,也可置于压电陶瓷外从而实现大面积声能辐射.径向复合压电超声换能器根据金属圆环轴向厚度沿半径变化的函数关系被分成锥型、指数型、幂函数型、阶梯型等[13-16].

对于变厚度环型压电超声换能器的设计和振动分析,通常使用有限元分析法[17]和等效电路法[18,19].等效电路法通过力电类比原理将力学量类比为电学量从而把振动问题简化.传统理论研究变厚度环型压电超声换能器通常需求解变厚度金属薄圆环径向振动的波动方程.基于变厚度径向振动的波动方程,许龙等[20,21]研究了幂函数型环型聚能器的径向振动和阶梯圆环压电超声换能器的径向振动;刘世清等[22]研究了线性变厚度环型聚能器的径向振动;王晓宇和林书玉[23]研究了线性变厚度径向变幅器的耦合振动.但是对于复杂函数变厚度如指数型、悬链线型环型压电超声换能器,波动方程求解比较困难.传输矩阵法可以将连续结构分解成一系列微元结构,一对微元之间通过传输矩阵衔接,从而将复杂问题简单化.基于此,本文提出了用传输矩阵法[24]将任意变厚度金属圆环的径向振动等效近似为N个等厚度圆环径向振动叠加的分析方法,得到了任意变厚度金属圆环径向振动的共振频率方程和位移放大系数表达式,以及任意变厚度环型压电超声换能器的共振频率方程.研究了锥型变厚度、幂函数型变厚度、指数型变厚度、悬链线型变厚度金属圆环的共振频率和位移放大系数与几何尺寸的关系,以及不同尺寸下锥型变厚度环型压电换能器径向一阶、二阶共振频率和反共振频率.

2 变厚度金属薄圆环径向振动分析

如图1 所示,变厚度环型压电超声换能器由变厚度金属内圆环和等厚度压电陶瓷外圆环组成,变厚度金属圆环的内环半径为Rb、外环半径为Ra、内环半径处轴向厚度为hb、外环半径处轴向厚度为ha,等厚度压电陶瓷圆环的轴向厚度为ha、内环半径为Ra、外环半径为Rc.假设变厚度环型压电超声换能器的轴向厚度尺寸远小于径向尺寸,忽略其纵向振动所带来的耦合效应,此时环型压电超声换能器做纯径向振动.环型压电超声换能器的径向振动由金属内圆环径向振动和压电陶瓷外圆环径向振动复合而成,因此需要分别研究变厚度金属圆环的径向振动和等厚度压电陶瓷圆环的径向振动.

图1 变厚度环型压电超声换能器的纵向截面示意图Fig.1.Schematic diagram of longitudinal section of variable thickness annular piezoelectric ultrasonic transducer.

2.1 变厚度金属薄圆环径向振动的等效电路

根据轴向厚度沿半径的变化函数,变厚度金属薄圆环可以分成锥型、阶梯型、幂函数型等.为了求解任意变厚度金属薄圆环径向振动的等效电路,本文采用传输矩阵法,将变厚度金属薄圆环沿半径方向等分成N个径向厚度为 Δr的薄圆环.当N足够大、薄圆环的径向厚度 Δr的值足够小时,薄圆环可以看成是轴向厚度不变的等厚度薄圆环.此时,变厚度金属薄圆环径向振动的等效电路可以由N个等厚度金属薄圆环径向振动的等效电路串联而成.

根据文献[25]可知,等厚度金属薄圆环径向振动的等效电路如图2 所示,图中

图2 等厚度金属薄圆环径向振动的等效电路图Fig.2.Equivalent circuit of metal thin circular annular in radial vibration.

其 中Z1=ρcS1,Z2=ρcS2,S1=2πR1h1,S2=2πR2h1,R1,R2,h1分别是金属薄圆环的外半径、内半径和轴向厚度,ρ是金属薄圆环的密度,ν是金属薄圆环的泊松比,c是金属薄圆环内的声速,k是波数,J 是贝塞尔函数,Y 是诺依曼函数.

图2 中F1,V1,F2,V2分别是第一个薄圆环输入端与输出端的径向受力和径向振动速度.根据等厚度金属薄圆环径向振动的机械等效电路图和基尔霍夫定律可得:

将输入端的力学参量F1和径向振动速度V1移到等号左边,输出端的力学参数F2和径向振动速度V2移到等号右边,(4)式可以改写为

其中

由于变厚度金属薄圆环的径向应力F和径向振动速度V连续,所以第2 个薄圆环输入端的径向应力和径向振动速度等于第1 个薄圆环输出端的力学参数F2和径向振动速度V2.类比第1 个薄圆环输入输出端F,V之间的关系,第2 个薄圆环输入端参数F2和V2可以由输出端参数F3和V3表示为

进而第1 个薄圆环输入端的力参数F1和振动速度V1可以由第2 个薄圆环输出端参数F3和V3表示为

以此类推,若将变厚度金属薄圆环分成N个等厚度薄圆环串联,则第1 个薄圆环输入端参数F1,V1可以由第N个金属薄圆环输出端力参数F N+1和振动速度V N+1表示为

将变厚度金属薄圆环内外半径处的力学参量Fa,Fb移至等号左边,径向振动速度Va,Vb移动到等号右边,(12)式可以改写为

根据电力类比原理以及非互易的二端口等效网络知识,由(13)式可得到变厚度金属薄圆环径向振动的等效电路图如图3 所示.

图3 变厚度金属薄圆环径向振动的等效电路图Fig.3.Equivalent circuit diagram of metal thin annular with variable thickness in radial vibration.

当变厚度金属薄圆环的输出端自由,即Fb=0时,变厚度金属薄圆环径向振动的共振频率方程为

此时,变厚度金属薄圆环的位移放大系数为

2.2 变厚度金属薄圆环径向振动性能分析

根据任意变厚度金属薄圆环径向振动的等效电路图,得到其共振频率方程和位移放大系数表达式.选取N=100,使用数值计算软件MATLAB 根据(14)式和(15)式分别计算①锥型金属圆环、②幂函数型金属圆环、③指数型金属圆环和④悬链线型金属圆环径向振动的共振频率和位移放大系数.锥型金属圆环的厚度随半径以线性函数规律变化,幂函数型金属圆环的厚度随半径以幂函数h(r)=m/rn规律变化,指数型金属圆环的厚度随半径以指数函数h(r)=ae-βr规律变化,悬链线型金属圆环的厚度随半径以悬链线函数h(r)=hacosh[γ(Ra-r)]规律变化.金属圆环的尺寸参数是: 内环半径Rb=25 mm,外环半径Ra=50 mm,外环半径处厚度ha=10 mm,内环半径处厚度hb的取值范围为 1 —10 mm .选取金属圆环的材料为铝,其材料参数为: 密度ρ=2700 kg/m3,杨氏模量E=70 GPa,泊松比υ=0.33 .为了与理论计算结果进行对比,使用有限元软件COMSOL6.0 对上述材料尺寸的金属圆环进行仿真模拟.4 种变厚度金属圆环的一阶、二阶径向共振频率和位移放大系数的理论解和数值解如表1 和表2 所示.表1 和表2 中f和f*分别表示变厚度金属圆环径向振动共振频率的理论解和数值解,M *,M **分别表示变厚度金属圆环位移放大系数的理论解和数值解,相对误差计算方法为:Δ f=|(f -f*)/f*|,=|(M*-M**)/M**|.

表1 变厚度金属圆环径向一阶、二阶共振频率Table 1.Radial first and second order resonance frequencies of metal rings with variable thickness.

表2 变厚度金属圆环径向一阶、二阶共振位移放大系数Table 2.Radial first and second order resonance displacement amplification coefficients of metal rings with variable thickness.

4 种变厚度金属圆环(①锥型金属圆环、②幂函数型金属圆环、③指数型金属圆环、④悬链线型金属圆环)径向一阶、二阶共振频率和位移放大系数随内外环厚度比ha/hb的变化曲线如图4 和图5所示,其中-T 为理论结果,-FEM 为有限元仿真结果.

由图4 可知,4 种变厚度金属圆环的一阶共振频率随ha/hb的增大而减小,当内环半径处的厚度hb减小时,金属圆环等效半径增大,共振频率减小.二阶共振频率随着ha/hb的增大而增大,径向二阶共振频率受金属圆环等效质量影响较大,当内环半径处厚度hb减小时,金属圆环等效质量减小,共振频率向高频偏移.另外,4 种变厚度金属圆环一阶共振频率的数值解几乎在理论解随ha/hb的变化曲线上,二阶共振频率的数值解随ha/hb的变化趋势与理论解一致,且相对误差在2%以内,这表明传输矩阵法可以用来研究任意变厚度金属圆环的径向振动.由于径向二阶的声波波长比一阶小,耦合振动效应较为明显,使得径向二阶共振频率的相对误差大于径向一阶.

图4 4 种变厚度金属圆环一阶、二阶径向共振频率与 ha/hb 的关系 (a)一阶径向共振;(b)二阶径向共振Fig.4.The relationship between the first and second order radial resonance frequencies of four kinds of variable thickness metal rings and thickness ratio ha/hb : (a) First-order radial resonance;(b) second-order radial resonance.

由图5 可知,4 种变厚度金属圆环(①锥型金属圆环、②幂函数型金属圆环、③指数型金属圆环和④悬链线型金属圆环)一阶共振、二阶共振的位移放大系数随ha/hb的增大而增大,这表明内环半径处的厚度hb越小,环型聚能器向内聚能的效果越好.整体来看,一阶共振的位移放大系数从大到小依次是锥型、幂函数型、指数型、悬链线型,二阶共振的位移放大系数从大到小依次是悬链线型、指数型、幂函数型、锥型.4 种聚能器的一阶共振位移放大系数较小,在1.2 左右,二阶共振位移放大系数较大,在2—4 范围.这表明位移放大系数不止与厚度随半径的函数变化关系有关,还与工作模态相关.另外,4 种聚能器径向一阶、二阶共振位移放大系数的数值解基本与理论解随ha/hb的变化曲线重合,验证了理论解的正确性.

图5 4 种变厚度环型聚能器一阶和二阶径向共振位移放大系数随 ha/hb 的变化曲线 (a)一阶径向共振;(b)二阶径向共振Fig.5.The relationship between the first and second order radial resonance displacement amplification coefficient and thickness ratio ha/hb of four kinds of variable thickness metal rings: (a) First-order radial resonance;(b) second-order radial resonance.

2.3 N 取值对计算精度的影响

本文将变厚度金属圆环的径向振动等效近似为N个等厚金属圆环径向振动的叠加,N的取值大小对计算精度影响较大.选取锥型变厚度金属圆环的材料为铝,尺寸参数是: 内环半径Rb=25 mm,外环半径Ra=50 mm,外环半径处厚度ha=10 mm,内 环半 径处 厚度hb=1 mm .锥型变厚度金属圆环的一阶、二阶径向共振频率随N的变化趋势如图6 所示,由图6 可知,当N的取值大于50 时,锥型金属圆环径向一阶、二阶共振频率趋于稳定,即等厚度金属圆环的径向厚度小于0.5 mm时,共振频率的计算精度满足要求.

图6 锥型金属圆环的一阶、二阶径向共振频率与N 的关系 (a)一阶径向共振;(b)二阶径向共振Fig.6.The relationship between the first and second order radial resonant frequencies of conical metal rings and N: (a) First-order radial resonance;(b) second-order radial resonance.

3 环型压电换能器径向振动分析

3.1 变厚度环型压电换能器径向振动的等效电路

其 中,Zra=ρpcpSra,Zrc=ρpcpSrc,Sra=2πRaha,Src=2πRcha,ha是压电陶瓷圆环的厚度,kp和cp分别是压电陶瓷圆环的波数和径向声速.

变厚度金属薄圆环与压电陶瓷薄圆环在半径Ra处满足径向应力连续和振动速度连续,因此,变厚度金属薄圆环径向振动与压电陶瓷薄圆环径向振动的等效电路串联,可得到环型压电超声换能器径向振动的等效电路图如图8 所示.

当环型压电超声换能器内外表面所受径向作用力为0 时,即图8 中Fb=Fc=0 时,环型压电超声换能器电端输入阻抗表达式为

图8 环型压电超声换能器径向振动的等效电路图Fig.8.Equivalent circuit diagram of circular piezoelectric ultrasonic transducer in radial vibration.

其中

图7 压电陶瓷圆环径向振动的等效电路图Fig.7.Equivalent circuit diagram of piezoelectric ceramic annular in radial vibration.

因此环型压电超声换能器径向振动共振频率方程为

径向振动反共振频率方程为

3.2 变厚度环型压电超声换能器径向振动性能分析

根据(21)式和(22)式可以求得任意变厚度环型压电超声换能器径向振动的共振频率和反共振频率,本文以锥型变厚度环型压电超声换能器为例,锥型压电超声换能器由锥型变厚度金属薄圆环和等厚度压电陶瓷圆环组成.变厚度金属薄圆环的尺寸参数是: 内环半径Rb=20 mm,外环半径Ra=40 mm,外环半径处厚度ha=10 mm,内环半径处厚度hb的取值范围为 1 —10 mm .压电陶瓷圆环的尺寸参数是: 内环半径Ra=40 mm,外环半径Rc=45 mm,压电陶瓷圆环的厚度ha=10 mm .选取金属圆环的材料为铝,选取压电陶瓷圆环的材料为PZT-4,其材料参数是:ρp=7500 kg/m3,为了与理论计算结果进行对比,使用有限元软件COMSOL6.0 对上述材料尺寸的环型压电超声换能器进行仿真模拟,模拟所得一阶共振、二阶共振的振型图如图9所示.部分尺寸锥型变厚度环型压电超声换能器一阶、二阶共振频率和反共振频率的理论解和数值解如表3 和表4 所示.

表3 锥型变厚度环型压电换能器一阶共振频率和反共振频率Table 3.The first-order resonant frequency and anti-resonant frequency of conical variable thickness annular piezoelectric transducer.

表4 锥型变厚度环型压电换能器二阶共振频率和反共振频率Table 4.The second-order resonant frequency and anti-resonant frequency of conical variable thickness annular piezoelectric transducer.

图9 锥型变厚度环型压电超声换能器一阶、二阶径向共振振型图 (a)一阶径向共振;(b)二阶径向共振Fig.9.First-order and second-order radial resonance mode shapes of conical variable thickness annular piezoelectric ultrasonic transducer: (a) First-order radial resonance;(b) second-order radial resonance.

表3 和表4 中f和f*分别表示锥型变厚度环型压电超换能器径向振动共振频率的理论解和数值解,Keff和分别为其有效机电耦合系数的理Δ=|(f -f*)/f*|论解和数值解,相对误差 .由表3和表4 可知,径向一阶振动共振频率的理论解和数值解吻合非常好,相对误差不超过0.2%,径向二阶振动共振频率的理论解和数值解吻合较好,相对误差不超过3%.这验证了基于传输矩阵法的任意变厚度环型压电超声换能器径向振动共振频率理论解的正确性.由于径向二阶的声波波长比一阶小,耦合振动效应较为明显,二阶共振频率、反共振频率的相对误差大于径向一阶.

锥型变厚度环型压电超声换能器径向一阶、二阶共振频率和反共振频率随内外环厚度比ha/hb的变化曲线如图10 所示.由图10 可知,径向一阶共振频率、反共振频率随着随ha/hb的增大而减小,径向二阶共振频率、反共振频率随着随ha/hb的增大而增大.随着ha/hb的增大,一阶、二阶的共振频率和反共振频率的差值增大,有效机电耦合系数增大.

图10 锥型变厚度环型压电超声换能器一阶、二阶径向共振频率和反共振频率与 ha/hb 的关系 (a)一阶共振和反共振;(b)二阶共振和反共振Fig.10.The relationship between the first and second order radial resonance frequency and the anti-resonance frequency and the thickness ratio ha/hb of a conical variable thickness annular piezoelectric ultrasonic transducer: (a) The first-order radial resonance and anti-resonance;(b) the second-order radial resonance and anti-resonance.

4 结论

本文基于传输矩阵法将变厚度金属圆环的径向振动转化为N个等厚度金属圆环径向振动的叠加,得到了任意变厚度金属薄圆环径向振动的等效电路图、共振频率方程和位移放大系数表达式,分析了锥型、幂函数型、指数型、悬链线型金属圆环的位移放大系数随内外环厚度比ha/hb的变化关系.研究发现,整体上一阶共振频率随ha/hb的增大而减小,二阶共振频率随着ha/hb的增大而增大.一阶、二阶的位移放大系数均随ha/hb的增大而增大,且径向一阶共振位移放大系数从大到小依次是锥型、幂函数型、指数型和悬链线型,径向二阶共振位移放大系数从大到小依次是悬链线型、指数型、幂函数型、锥型.在此基础上,推导了由任意变厚度金属圆环和压电陶瓷圆环复合而成的压电超声换能器径向振动的等效电路和共振频率方程,计算了不同尺寸的环型压电换能器的共振频率和反共振频率,为了验证理论计算结果的正确性,使用有限元软件进行仿真模拟,模拟所得数值解与理论解符合较好,最大相对误差不超过3%.