优化复数运算的几种策略

刘夫刚

(山东省枣庄市第一中学)

复数运算必须遵循复数自身的运算法则,有道是“没有规矩,不成方圆”,但也要讲究策略.那么在复数的运算问题中,有哪些策略能帮助我们简化运算、优化解题过程呢? 本文举例说明.

1 应用性质

利用复数运算的性质解题可以帮助我们少走弯路,如设复数z＝a＋bi(a,b∈R),则是实数;又如,若z＝z1z2,则利用这个性质可以快速求出复数的模.

A.3 B.4 C.5 D.25

(2)已知i为虚数单位,复数z满足z(1－i)＝4＋3i,则|z|＝( ).

故选C.

(2)方法1由于,故选C.

方法2由题意得,故选C.

2 妙用结论

高考中对复数的考查一般出现在选择题或填空题中,只求结果,不求过程.在解答时如果我们能记住一些常用结论并加以应用,那么解题速度与正确率必将大大提高.复数运算的二级结论很多,我们应注意不断积累.如i;若ω2＋ω＋1＝0 的两根为,则.

A.z2≥0 B.

C.z3＝1 D.z2022＝z

3 化“虚”为“实”

所谓化“虚”为“实”,就是化虚数运算问题为实数运算问题.对于含参复数运算问题,这个方法十分有效,具体方法是将两个复数相等的充要条件方程化,再通过解方程得到答案.

因为b＞0,所以a＝2,b＝1,即z＝2＋i,又因为复数w＝u＋3i(u∈R)满足,所以,即,整理得(u－2)2＜16,即－4＜u－2＜4,解得－2＜u＜6,即u的取值范围为(－2,6).

4 数形结合

复数具有几何特征,它的几何意义为数形结合解决复数问题创造了条件,尤其是对一类复数模的最值问题,它为简化运算开辟了一条“绿色通道”.

(2)已知点P(s,t),Q(u,v),|s|＋|t|≤2,u2＋v2＝1,复数z1,z2在复平面内分别对应点P,Q,若z＝z1＋z2,则|z|的最大值是_________.

图1

(2)如图2所示,分别作出点P和点Q的轨迹,点P的轨迹为正方形及其内部区域,点Q的轨迹为单位圆及其内部区域.由三角不等式可得|z|＝|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|＝|OP|＋|OQ|＝3,当点P为正方形的顶点,且方向相反时,|z|取得最大值3.

图2

5 运用复数的三角形式

复数的三角形式既有优美的运算法则,又可将复数问题转化为三角问题来解决.当遇到复数的高次运算或多个复数连续相乘(或除)时,运用复数的三角形式进行运算,往往会收获意想不到的效果.

所以(cos17θ＋cosθ)＋i(sin17θ＋sinθ)＝1,故

由sin217θ＋cos217θ＝1,可得

sin217θ＋cos217θ＝(－sinθ)2＋(1－cosθ)2＝1,

化简可得sin2θ＋cos2θ－2cosθ＝0,即1－2cosθ＝0,所以,则,故,选A.

当然,简化复数运算的策略还有很多,如整体代换、巧用共轭复数等,但无论采用何种方法,我们必须遵循两条原则:一是不能违反复数的运算法则;二是使运算过程得以简化,不可弄巧成拙.

(完)