绝对值在中国数学课程中的历史演变

吕世虎，颜 飞，锁建军，史宁中

绝对值在中国数学课程中的历史演变

吕世虎1，颜 飞1，锁建军1，史宁中2

（1．西北师范大学 教育学部，甘肃 兰州 730070；2．东北师范大学 数学与统计学院，吉林 长春 130024）

绝对值首次在中国数学课程文件中出现后，其相关内容逐步完善，教学要求在实施九年义务教育以来逐步清晰化，内容要求自新课程实施以来也逐步深化．此外，绝对值概念在中国教科书中的表述方式大体可分为“几何定义”与“代数定义”两种．其中，代数定义具体分为“去符号定义”与“列举定义”．新课程实施中的教科书主要采用几何定义表述绝对值概念，而之前的教科书对3种表述方式都有涉及．

绝对值；数学课程；历史演变

绝对值的概念在数学发展过程中是不断完善和明晰的，其符号“| |”的使用和推广源于现代数学的发展，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯对绝对值符号的使用和推广起到了决定性作用．在中国中学数学课程文件中，绝对值首次出现是在中华人民共和国成立初期，其作用是辅助正负数的运算．绝对值虽然在1949年之前的课程文件中没有涉及，但在1923年由商务印书馆印发的初级中学数学教材《代数学》中设置了绝对值的内容，它在中学数学课程中有着非常重要的作用．下面对1949年以来绝对值在中学数学课程中的历史演变作系统梳理，以期对绝对值的教材编写与教学有所启示．

1 绝对值相关内容逐步完善阶段（1949—1985）

1949年11月中央人民政府教育部成立后，于1950年7月颁布了《数学精简纲要（草案）》，在其《初高中代数精简纲要（草案）》（以下简称“精简纲要”）初中部分的“正负数”主题中首次提出了绝对值．自此以后，在1951—1985年期间陆续颁布的课程文件中绝对值的相关内容不断完善．具体来看，绝对值在“精简纲要”中提出以后，1952年、1954年、1956年颁布的中学数学教学大纲（以下依次简称“52大纲”“54大纲”“56大纲”）均呈现了绝对值的概念．其中，“52大纲”中用“去符号定义”表述了绝对值的概念，而“54大纲”与“56大纲”中均用“列举定义”表述了绝对值的概念，具体如下．

“52大纲”：不过问一个数前边的正负符号，只就它的数值来说，就称为该数的绝对值，例如|+7|=7；|-7|=7；零的绝对值还是零[1]．

“54大纲”与“56大纲”：正数的绝对值是指这个数本身，例如|7|=7；负数的绝对值是指与它相反的正数，例如|-7|=7；零的绝对值还是零，即|0|=0[1]．

此外，“52大纲”新增了与绝对值紧密相关的“数轴”，“56大纲”将“正负数”主题变更为“有理数”，1963年颁布的教学大纲也将绝对值的相关内容设置在“有理数”主题下，1978年颁布的教学大纲在该主题中还增加了与绝对值相关的“相反数”内容．1980年、1982年颁布的教学大纲均保持了以上做法，至此与绝对值相关的内容已经基本完善．

1949—1985年期间，中国编写了大量的中学数学教科书．关于绝对值概念的表述也有不同的方式，具体可分为“几何定义”与“代数定义”两类，其中代数定义包括两种：一是“去符号定义”，二是“列举定义”．例如，人民教育出版社于1952年依据“52大纲”陆续出版的十二年制学校中学数学编译课本采用去符号定义：代数正负数绝对值，就是去掉符号的数值；1968—1972年全国各地兴起的一些自编数学教材中关于绝对值的概念采用几何定义：一个数的绝对值就是在数轴上表示它的点到原点的距离；北京师范大学出版社于1978年根据项武义“关于中学数学实验教材的设想”出版的中学数学实验教材和人民教育出版社于1981年依据《全日制六年制重点中学数学教学大纲（征求意见稿）》出版的六年制重点中学数学课本均采用列举定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．

2 绝对值教学要求逐步清晰阶段（1986—2000）

1985年6月教育部颁布了《调整初中数学教学要求的意见》，1986年11月国家教材审定委员会审定通过了《全日制中学数学教学大纲》（以下简称“87大纲”），并于1987年2月颁布了该课程文件[2]．与之前的课程文件相比较，“87大纲”及之后颁布的课程文件开始用不同层次的教学目标行为动词表述教学内容的具体要求．相应地，受教学大纲撰写方式变化的影响，绝对值在这一阶段课程文件中的教学要求逐步明晰．具体来看，“87大纲”对绝对值的教学要求有了具体的教学目标行为动词：“理解绝对值的概念．”1988年颁布的《九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲（初审稿）》对绝对值的教学要求更加具体：“理解绝对值概念，能口答任何一个数字有理数的绝对值，了解数的绝对值的几何意义．”1990年、1992年、2000年陆续颁布的教学大纲均将“理解绝对值概念”与“会求有理数的绝对值”作为绝对值的教学要求．

1986—2000年期间，国家教育委员会于1988年8月颁发了《九年制义务教育教材编写规划方案》通知，一些单位和机构受其委托编写了义务教育实验教材．其中，北京师范大学出版社于1989年陆续出版的四年制初级中学实验课本、上海教育出版社于1994年陆续出版的义务教育课本均采用“列举定义”表述了绝对值的概念：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．2000年，人民教育出版社依据《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》修订的《九年义务教育三年制初级中学教科书（试用修订本）》中用“几何定义”表述了绝对值的概念：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．此外，西南师范大学于1992年依据九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲编写的《GX初中数学实验教程》对绝对值的概念采用“去符号定义”：小学学过的数（0除外）前面放上“+”叫正数，放上“–”叫负数，去掉放上的符号后所得的数叫做这个正数或负数的绝对值，0不是正数，也不是负数，0的绝对值是0．

3 绝对值内容要求逐步深化阶段（2001—今）

2001年6月，教育部颁布了《基础教育课程改革纲要（试行）》，预示着新一轮基础教育课程改革的开启．2001年至今颁布的三版义务教育数学课程标准较之前的教学大纲在文本结构以及内容标准等方面有较大变化，绝对值的内容要求也逐步深化．具体来看，2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称“实验稿”）将初中数学课程内容首次分为数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习4个领域，绝对值置于数与代数领域的“数与式”主题中，具体内容要求是：“借助数轴理解绝对值的意义，会求有理数的绝对值．”[3]可见，“实验稿”对绝对值内容要求开始重视绝对值的几何意义，强调通过数轴理解绝对值．2011年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》提高了绝对值的内容要求：“借助数轴理解绝对值的意义，掌握求有理数的绝对值的方法．”[4]2022年颁布的课程标准更加关注学生核心素养的发展，注重绝对值对发展学生量感、数感、符号意识等的作用，有关绝对值的内容要求：“借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法．”在绝对值相关的教学提示中提到：“知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达，进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义．”[5]这意味着对绝对值的教学要关注代数与几何两个视角，让学生体会数形结合的思想方法．

2001年以来，中国编写的初中数学教材主要是依据相应的课程标准，由全国中小学教材审定委员会审查的教材，包括2001年依据“实验稿”陆续编写的“义务教育数学课程标准实验教科书”，2012年由教育部审定通过的“义务教育数学教科书”．这些教科书对绝对值的概念基本上都采用了“几何定义”，主要通过数轴再次认识有理数，让学生体会有理数与数轴上的点相对应，再通过数轴引出相反数的概念，并通过相反数在数轴上的呈现特点引申出绝对值的几何定义．如2012年由人民教育出版社出版的初中数学教材关于绝对值内容的呈现过程是：首先通过现实情境“汽车行驶”的线路（方向）与路程的特点引出绝对值的几何定义，实际上就是通过数轴直接引出绝对值的几何定义，然后根据几何定义引出绝对值的代数意义．显然，这是将绝对值作为距离来认识的．而2001年以前的一些教材则是从代数的视角来呈现绝对值的概念，如1982年由人民教育出版社出版的数学教材中关于绝对值内容的呈现过程是通过正负数符号的讨论以及日常生活和研究的需要引出绝对值的代数定义，然后再通过数轴理解绝对值的几何意义．

[1] 课程教材研究所．20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编（数学卷）[M]．北京：人民教育出版社，2001：359，380，407．

[2] 吕世虎．中国中学数学课程史论[M]．北京：人民教育出版社，2013：172–182．

[3] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（实验稿）[M]．北京：北京师范大学出版社，2001：31．

[4] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2011：27．

[5] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2022：54–58．

The Historical Evolution of Absolute Value in Mathematics Curriculum in China

LV Shi-hu1, YAN Fei1, SUO Jian-jun1, SHI Ning-zhong2

(1. Faculty of Education, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China;2. School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

After the absolute value first appeared in China’s mathematics curriculum documents, its relevant content is gradually improved, the teaching requirements have been gradually clarified since the implementation of nine-year compulsory education, and the content requirements have been gradually deepened since the implementation of the new curriculum. In addition, the expression methods of the concept of absolute value in Chinese textbooks can be divided into two ways: “geometric definition” and “algebraic definition”. Among them, the algebraic definition is specifically divided into “de-symbolic definition” and “enumerative definition”. The textbooks in the implementation of the new curriculum mainly use the geometric definition to express the concept of absolute value, while the previous textbooks have involved in all three ways of expression.

absolute value; mathematics curriculum; historical evolution

G632

A

1004–9894（2023）05–00003–02

吕世虎，颜飞，锁建军，等．绝对值在中国数学课程中的历史演变[J]．数学教育学报，2023，32（5）：3-4．

2023–09–05

甘肃省教育科学“十四五”规划2023年度专项课题——甘肃省普通高中数学新课程实验跟踪与质量监测研究（GS[2023]GHBZX0094）

吕世虎（1963—），男，甘肃平凉人，教授，博士，博士生导师，数学课程标准研制组、修订组核心成员，主要从事数学课程与教学论、数学教育史研究．

[责任编校：周学智、陈隽]