试卷评析比赛特等奖获奖论文之三：挖掘概念本质 构建数学体系 提升思维能力——2022年数学新高考Ⅰ卷的启示

纪秀艳 张资阳

⦿江苏省沭阳高级中学

2022年高考已落下帷幕，继2020年四省市(山东、海南、北京、天津)实行新高考之后，2021年有七个省份(江苏、河北、湖北、湖南、福建、广东、山东)使用新高考Ⅰ卷，2022年亦是如此，趋于稳定，人数之多，引起社会的广泛关注，尤其是今年数学试卷师生普遍反映试题偏难，2023届的师生应该如何应对新高考呢？接下来，我们将针对近两年的新高考Ⅰ卷进行对比分析，浅谈一些心得体会.

1 凸显主干,聚焦核心模块

从表1可以看出，与2021年相比，解析几何的试题分值维持27分不变，函数与导数、立体几何的试题分值均增加5分，试卷不仅凸显主干知识的考查力度，而且更聚焦函数与导数、立体几何等较难模块.常规题型稳中有变，数列17题、三角18题的考法较为灵活.整份试卷突出数学本质，强化必备知识之间的内在联系，对学生综合思维能力的要求较高，因此难度较大，学生得分较低，当然与我们平时的教学也有关系.

2 立足双基，回归概念本质

2022年整份试卷基础试题占了较大的比重，其分值大约占了总分值的一半，如，试卷中单选题的第1～5题，多选择题第9～10题，填空题的13～14，解答题的第17～19题，20题与21题的第(1)问.立足双基，重点考查基本概念，比如第2题的共轭复数、第5题的互质概念，第9题的直线与直线所成角、直线与平面所成角，第10题的极值点、零点，第19题的点到平面的距离、二面角等.学生如果对基本概念的本质理解不透彻，基本方法掌握不牢，处理问题不够灵活，反而在这些基础、中档题上耗时会较多.

(1)求{an}的通项公式；

启示1高一、高二时必须要放慢教学进度，要舍得在知识、概念的生成、发展上花时间，而不是靠告知式辅以题海战术；要在概念教学中逐步生成通性通法，再通过解题教学不断回归概念深化对其本质的理解.因此，日常教学中不仅要讲通性通法、各类典型题的常见思路，而且要引导学生对各种思路、各种解法进行进一步的整理与甄别.当然，这是一个循序渐进的过程，贵在不断积累与反思，进而丰富、深化认识与理解，真正把握概念、方法本质，提高数学核心素养.

例2(2022年第22题)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

对于第(1)问中超越函数最值的求法，就是要判断导函数的“正负”，依据就是利用导数研究函数的单调性，求导后含参，为什么要分类讨论，分类讨论分界点的确定还是要回归到概念本质.为了导函数定“正负”号，我们通常采用的策略是讨论范围再细分，放缩，因式分解和多次求导等处理方式.通过通性通法的讲解丰富、深化、回归概念本质，形成网络体系，此类题型便能解决.

3 知识交汇，体现思维品质

本试卷第18题解三角形，结合三角函数、基本不等式，考查函数与方程思想，对思维的灵活性要求较高.

例3的第(1)小题解法很多，总的来说就是动两次，化同角或同型，构造方程和函数.当然，选择方法不同，花费的时间和正确率也不一样，区分度较高.

启示2日常教学时要深挖教材，真正把握整个大单元设计的核心所在，掌握通性通法， 积累基本解题经验，不断渗透基本数学思想，构建自己的数学知识、方法体系.只有这样，才能让学生在遇到新问题时学会思考，以不变应万变，尝试解决，不断提高思维品质.

平时教学中若注重通过一题多解、多题归一，总结思想方法，相信对于例2(2022年第22题)第(1)问中超越式方程1+lna=a-alna，常见的构造函数和放缩两种途径都是可以想到的，而如何构造函数和放缩是关键.首先，注意积累各种类型题的常见思路方法；其次，要善于利用积累的基本解题经验尝试解决类似的新题，甄别每一种思路的利弊；最后，再从问题解决中不断反思、总结、完善，构建自己的思路、方法体系.在遇到类型题时才能快速、精准地从中选择高效的思路解法.

4 联系实际，彰显数学应用

第20题是一道形式新颖的概率应用题，重点考查条件概率，运算量不大，但因为是证明题，平时涉及少，又处在第20题的位置，得分也不理想.2021年高考考查了独立性的概念，2022年复习备考有关独立性的试题特别多，看似没有联系，实际上，对独立性的理解离不开条件概率，课本上就是用条件概率来定义独立性的，好多教师受高考卷参考答案的影响仅仅就是利用P(AB)=P(A)P(B)进行讲解，没有再从条件概率的角度更全面地认识独立性，这对于学生备考显然是不利的.

启示3其实2022年考查的概率应用题,题意理解上并不难，难在核心概念的理解.因此平时讲解数学概念时要深入剖析，多方面理解，不仅仅是课本上正文给出的定义，还包括涉及到的例题、习题都要认真比较、反思，总结出各种方法及其优缺点，这样才能一步步逼近概念本质的理解与掌握.这两年考查的独立性、条件概率.及其考查方式以往很少涉及，这就要求我们复习备考时，对于课本上涉及到的概率应用题包括阅读材料都不能放过.

5 迁移整合，突出关键能力

本试卷突出能力为重的命题原则，更好地注重试题的基础性、灵活性、综合性与创新性，对学生的综合素养和关键思维能力提出了较高的要求，如试卷的第7题，第8题，第12题，第16题，第22题.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

(模考题)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为y=f′(x)，则下列结论中正确的是( ).

A.若f′(a)=0,a∈R,则y=f(x)在x=a处取得极值

B.若y=f′(x)是偶函数，则y=f(x)是奇函数

C.若y=f(x)是周期为a(a>0)的周期函数，则y=f′(x)也是周期为a(a>0)的周期函数

D.若y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则y=f′(x)的图象关于点(a,0)中心对称

(2021新高考Ⅱ卷第8题)已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则( ).

C.f(2)=0 D.f(4)=0

2022年第12题堪称是上述高考题与模考题的迁移整合创新题，对涉及到的导函数与原函数的关系，函数的对称性、奇偶性、周期性等基本概念掌握的学生很多，但是短时间内能将其迁移整合并灵活运用的少之又少.第22题第(1)问放缩法中涉及到的两个常用不等式大多数学生都知道，但遇到新问题时就不能灵活运用.事实上，难题就是难在识别，难在迁移，难在综合，对学生逻辑思维能力要求很高，区分度大，是学生思维品质的集中体现，这不是靠大量重复训练就能实现的，关键是要培养学生的思维习惯.

启示4在知识的交汇处设计问题，突出关键能力的综合考查，难度大，区分度高.只有数学基础较好的学生才有可能做出第(2)问，还要留有充足的时间思考.因此，我们平时的课堂教学不仅要兼顾基础，还要研究考题，设计有挑战性的问题引导学生思考，课后也要给与足够的时间让学生自己反思、体会、感悟.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

对于第22题，教师可以引导学生通过联想类比、推广、迁移、综合等方式设计出更多的改编题，并且从思想方法层面上领悟其相通之处.学生再次遇到类型题，就可以根据经验试着解决；解决不了的，再采取同样的方式，积累、反思其“变中不变”.通过写数学周记的方式，不断积累，进而指导他们写数学专题小论文，逐渐内化形成自己的思维模式，构建数学知识网络体系，既能激发他们的学习兴趣，又能提高他们的核心素养.

总的来说，这套试卷很好地体现了高考立德树人、服务选才、引导教学的基本任务，给师生耳目一新的感觉，让我们重新审视自身的教学.在新课改的背景下，如何更好地贯彻落实学科核心素养的培养任务，教师需要努力钻研教材，认真研读课程标准，在日常教学中对于基本概念、基础知识和基本思想方法，结合课本例题、习题及其变式，多方面、多角度合理设计问题，深刻挖掘其内涵与外延，突出数学本质，构建知识、方法体系，提升逻辑思维能力.