例说数学解题中思路受阻的应对策略*

朱福进 (江苏省无锡市辅仁高级中学 214123)

学习数学离不开解题．数学解题是解题者凭借已有的知识和经验由问题的条件向问题的结论逐步转化的思维过程[1]．由于题目信息的复杂性、解题方法的灵活性以及自身的知识缺陷和思维定势等诸多原因，学生解题的思路常常会出现不同程度的受阻，导致解题误入歧途甚至难以进行下去．数学教学中，帮助学生认真分析解题思路受阻的具体原因，引导学生针对这个具体的原因制定相应的应对策略，将受阻的思维激活，从而将解题活动引向正确的思维轨道，促进解题获得成功，在这个过程中，使学生理性思考，优化思维品质，提高解题能力，提升数学素养，值得引起我们的高度关注，需要我们去着力解决．本文就此作一些探讨，与同仁们交流，供大家参考．

1 模式识别

在数学学习的过程中，将所积累的知识、方法和经验进行加工，可以形成一些具有长久保存价值的解决数学问题的基本模式．拿到一个数学问题，审清题意之后，我们首先辨别它属于哪类基本模式，联想一个已经解决过的与之类似的问题，以此为索引，在记忆储存中提取出相应的方法来加以解决，称为模式识别．

模式识别既是一种重要的数学活动的经验、一种重要的解题策略，更是一种重要的思维方法，它是化归与转化思想的体现，可以化陌生为熟悉，化难为易，化繁为简.不同类型的问题可以有同一种解题模式，同一类型的问题也可以有不同的解题模式．数学学习中，注意解题模式的积累，学会解题模式的识别和应用，在此基础上实现解题模式的突破，不但可以让我们迅速找到数学解题的突破口，还能有效地帮助我们在解题思路受阻时进行思维调控，突破思维障碍．

2 回归定义

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括与反映，它不仅是我们推导定理和公式的依据，也是进行判断和推理、实现数学解题的金钥匙．许多数学概念都是以定义的形式给出的，数学学习中，如果对定义的发生、发展过程没有深刻的体会，认识仅仅停留在表象的概括上，而没有弄清其龙去脉和内涵外延，那么面对具体的数学问题时，就难以形成正确的思维方向，导致解题活动无法进行下去．这时，“回到定义”中去是一种十分有效的策略，它可以帮助我们成功突破思维障碍，走出解题困境．

案例2若关于x,y的方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示椭圆，则实数m的取值范围是( )．

A．(0,5) B．(1,+∞)

C．(0,1) D．(5,+∞)

由方程表示椭圆，许多学生都会联想到椭圆的标准方程，因此形成将所给方程变形为椭圆标准方程的形式这一解题思路．但是沿着这样的思路很难实施下去，化简了好长时间还是得不出结果，然后怀疑是运算上出错，回过头去进行检查，仍然不得要领，思路在此受阻．

回到定义是为了“掌握那些专业术语后面数学对象间的实际关系”，面对一个数学题，“如果我们只知道概念的定义，别无其他，我们就不得不回到定义”[2]．“回归定义”实质是重新审视概念并利用概念来打开解题的思路，实现问题的解决．当解题思路受阻时，我们不妨去回顾一下相关概念和定义，利用概念、定义去捕捉题目信息固有的本质属性，借以激活思维，从而摆脱解题困境，使解题活动能够沿着正确的方向前进．

3 逆向思考

在数学解题的过程中，我们经常会遇到这样的情况：按常规的思路进行分析，由题目的条件入手直接求解，不是陷入繁琐复杂的变形运算的困境，就是无法寻出问题解决的途径，解题的思路受阻.这时，我们就要善于克服定势思维的消极影响，及时改变问题思考的角度，调控好解题思维的方向，不妨从反面入手，学会逆向而行，运用好正难则反、以退为进等解题策略，激活受阻的思维，打破解题的僵局，拓宽解题的思路，在灵活运用题设条件和已有的知识、方法和经验的基础上，找到合理、简捷的解题途径．

有许多数学问题是可以从条件出发，通过正向的思考而求出结论，使问题获得解决的.这种思路从思维方式上来看具有定向性和聚合性，强化这种思维定势，在数学解题中有着决定性的作用，值得高度重视并在解题中加以广泛运用．但是，也有许多问题正面入手困难重重，而改由反面入手却常常能出奇制胜．数学解题中，如果从正面入手求解繁琐、难度较大，不妨就打破思维常规，有意去做与习惯思维方向完全相反的探索，进行逆向思考，运用“正难则反”策略，转化为考虑问题的相反方面：顺推不行考虑逆推；直接不行考虑间接解决；探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性[3]．学会这样的思考，往往可以有效地冲破解题阻碍、开拓解题思路，使我们茅塞顿开，让解题绝境逢生．

4 构造图形

解决数学问题，如果利用所给的信息进行解题分析时不能有效地揭露出隐含的条件，一时难以得出解题的思路，或者在解题的过程中由于信息不足而导致思路受阻，这时不妨尝试画一个图形，有意识地运用数形结合的思想，及时转换思维的角度，充分挖掘出问题的几何意义，给条件与结论中的数与式赋以图形，由数思形，以形助数，把代数式的精确刻画与几何图形的直观形象有机地联系起来，借助图形的直观活化思维，开辟解决问题的新思路，找到解决问题的新途径，使得思维的障碍不攻自破，解题过程自然流畅[4]．

下面怎么办？许多学生感到难以下手了.运用导数，研究函数h(x)在区间[4,0]上的单调性，看似可行，实则运算量大，十分繁琐，而放弃这一思路又心有不甘，真是进退两难，从而陷入了解题困境，导致解题无法进行下去．

图1

本题中，导致学生解题产生困惑的主要原因是缺乏数形结合的意识和运用数形结合的思想方法分析问题、解决问题的能力．数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形两者本没有不可逾越的鸿沟．解题经验告诉我们：在寻找解题思维发生困难时，不妨借助图形去探索；在解题过程中遇到繁杂运算使人望而生畏时，不妨借助图形去开辟新路；在需要检验结论是否正确时，不妨借助图形去验证．这就是“以形助数”．当然，对于具有明显几何特征的数学问题，我们也可以通过建立平面直角坐标系，借助代数运算的方法来解决，即“用数解形”．将“数”和“形”有机地结合在一起，常能使解题左右逢源、得心应手．

5 特殊处理

按照辩证唯物主义的观点，矛盾的普遍性是寓于矛盾的特殊性之中的，人类的认识活动总是在先认识个别的、特殊的事物的基础之上，通过概括和推理来认识一般事物，得出一般的规律[5]．反映在数学学习上，很多数学问题，其特殊情况与一般情况存在共性，通过对特殊情况的研究，运用特殊化方法将一些不易直接解决的一般性问题转化成特殊问题求解，常能找出一般问题的规律，得到一般问题的结论，或者获得解决一般问题的信息，为解决一般问题提供方向，进而打通解题的思路，突破解题的障碍，使解题取得出人意料的效果．

案例5已知无穷数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，是否存在这样的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立？若存在，求出所有的这样的无穷等差数列{an}；若不存在，请说明理由．

这是一道是否存在型问题，具有一定的探索性和开放性.求解这类问题，一般的思路是：假设存在这样的无穷等差数列{an}，不妨令其首项为a1，公差为d，由等式Sk2=(Sk)2对于一切正整数k都成立，去探求a1和d．

按照这样的思路，想法是很自然的，但是，为了求a1和d，需要对上面的等式化简变形，再利用多项式恒等的条件建立a1和d的方程组，通过解方程组来实现问题的解决，运算量很大，过程将十分繁琐，许多学生特别是运算能力较差的学生望而生畏、深感无奈，致使思路受阻．

我们可以利用辩证思维，注意到一般与特殊的关系，进行特殊化处理：若上述等式对一切正整数k都成立，则当k=1,2时也成立，由此求出a1和d的值，然后再加以检验，符合条件的无穷等差数列{an}就找出来了，这样既畅通了思路，又简化了运算，从而达到了化繁为简、变难为易的目的．

唯物辩证法告诉我们：一般和特殊是相互联系的，一般存在于特殊之中，任何一般都是特殊的一部分．“特殊处理”正是这种辩证思维的具体体现，在数学学习中既是一种重要的思想方法，也是一种常见的解题策略．许多数学问题都可以尝试运用“特殊处理”的方法来明晰解题方向，寻找解题捷径，走出解题困局，实现问题的解决．以本题为例，我们通过对正整数取特殊值，找到满足条件的数列，然后再一一加以验证，既明确了解题方向，突破了解题阻碍，又简化了运算及过程，使看似复杂繁难的问题迎刃而解．

帮助学生突破数学解题中的思维障碍，在解题思路受阻时及时转换思考的视角，有效打破思维的僵局，迅速走出解题的困境，是一项十分重要的工作．在教学过程中，要注意引导学生针对解题障碍的成因差异对症下药、优化疏导，帮助学生做好思维调节的工作．不仅要充分暴露学生在解题中产生的种种思路受阻现象，而且应当全面、准确地分析产生思路受阻的原因，介绍排除思维障碍的应对策略，培养学生思维的灵活性、变通性和创造性，使学生学会在接通思路中求流畅，在拨通思路中求敏捷，在拓宽思路中求变通，在拓深思路中求独创，不断提高分析问题和解决问题的能力[6].