基于改进模糊自适应补偿的柔性关节机器人PD控制

郭俊财，牛军川，2，谢冰冰

(1.山东大学机械工程学院，山东济南 250061；2.山东大学高效洁净机械制造教育部重点实验室，山东济南 250061)

0 前言

为适应现代化生产方式，高精度工业机器人将逐渐取代传统的人工生产方式。当前，我国工业机器人的性能仍停留在轻载、低精度的水平，发展高性能机器人是我国工业现代化的必然选择[1-3]。

传统机器人建模多采用刚性模型或仅考虑单一变量，常用计算力矩控制、PID控制、模糊控制、自适应控制、神经网络控制、反演控制等控制策略[4-9]，但当引入关节柔性及不确定性时[10-11]，常会造成大量传统控制方法失效或难以达到控制要求[12]。为此，考虑柔性关节和不确定性等复杂模型和条件的控制策略对实现高精度机器人具有重要意义。

对于考虑柔性关节和不确定性的机器人而言，其模型的非线性和刚柔强耦合增加了建模的复杂性，同时也给控制器的设计带来了困难。EL-NAGAR等[13]针对二自由度机械臂提出了一种嵌入式模糊PD控制策略，该控制方法能够有效提高机器人的轨迹跟踪精度，同时对不确定性具有较好的鲁棒特性，但并未考虑关节柔性对控制性能的影响。SUN等[14]针对具有全状态约束的非线性柔性关节机器人，提出了自适应模糊跟踪控制策略，通过拉雅普诺夫函数及仿真证明了控制策略的稳定性和有效性，但未考虑不确定性的影响。AHMADI和FATEH[15]针对非线性柔性关节机器人，提出了一种自适应泰勒级数模糊鲁棒渐进跟踪控制策略，具有设计简单、关节跟踪误差小的优点，仿真结果表明控制策略具有较高的跟踪能力，但缺乏不确定性影响及振动效果分析。

模糊自适应控制对柔性关节的非线性及不确定性具有良好的补偿能力，能够有效降低不确定性的干扰。PD控制可以保证系统的快速响应和稳定性。本文作者结合模糊自适应控制算法和PD控制算法的优点，并在原有算法基础上进行优化，提出了改进模糊自适应补偿PD控制方法，探讨了该控制策略在具有不确定性的柔性关节机器人中的轨迹跟踪及振动控制效果。

1 机器人建模及模糊自适应控制

对于考虑不确定性且具有2N自由度的柔性关节机器人，动力学方程可表达为

(1)

在该模型中，连杆的动力学部分具有和刚体机器人相同的性质：

性质1：惯性矩阵M(q)是正定对称且严格有界的；

模糊自适应控制基于传统模糊逻辑控制方法，包括变量模糊化、模糊规则、模糊推理、反模糊化和自适应律设计5个部分。

模糊自适应控制器[16]可表达为

τ=τD(x|J)=JTξ(x)

(2)

(3)

系统误差方程可表达为

(4)

(5)

式中：

Λ11=O(n-1)×1

Λ12=I(n-1)×(n-1)

Λ21=[-kn]

Λ22=-[kn-1,kn-2,…,k1]1×(n-1)

定义最优参数：

(6)

定义最小逼近误差：

ω=τD(x|J*)-τ*

(7)

则根据式(4)，系统误差方程可表达为

(8)

即

(9)

为使系统误差足够小，则需要保证最优参数设计的有效性并采用合适的模糊基函数。

2 控制器设计

模糊自适应控制具有良好的非线性和不确定性补偿能力，PD控制具有良好的稳定性和响应速度。但2种控制策略的轨迹跟踪精度及振动抑制性能仍然较弱。为此，作者结合2种控制策略的优势，提出了改进模糊自适应补偿PD控制器(以下简称新型控制器)。

新型控制器可表达为

(10)

新型控制器τ的构造步骤：

(11)

(2)采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器设计模糊控制器，得到：

(12)

(3)定义自适应律为

(13)

ΔTP+PΔ=-Q

(14)

式中：Δ=ΛT；Q为任意n×n阶正定矩阵。

(4)设计并调试PD控制器参数，使其到达较好的跟踪控制效果，采用上述改进模糊自适应控制器进行补偿。

为讨论系统稳定性，定义Lyapunov函数：

(15)

对上式求导，则：

(16)

因pn表示矩阵P的最后一列，由参数向量b可知eTPb=eTpnb，则上式可写为

(17)

代入自适应律(13)可得：

(18)

eTQe≥2|eTpnbω|

(19)

新型控制器系统流程如图1所示。

图1 新型控制器框图Fig.1 Block diagram of the new controller

3 仿真结果分析

以单关节柔性机器人为分析对象，则动力学方程(1)退化为如下形式：

(20)

为验证文中方法的有效性，对具有一个柔性关节自由度的机器人系统进行仿真研究，仿真参数如表1所示。

表1 机器人系统参数Tab.1 Robot system parameters

(21)

图2—图4所示为无不确定性条件下的仿真结果。图2为分别采用PD控制、模糊自适应控制以及新型控制下的关节轨迹跟踪。图3所示为各种控制下的关节轨迹跟踪误差，可见：相比PD控制，模糊自适应控制具有较好的稳态跟踪精度，但是在初始阶段模糊自适应控制会使跟踪误差产生震荡，初始阶段新型控制的跟踪误差小于PD控制，大于模糊自适应控制;但随着时间的延长，新型控制的轨迹跟踪误差逐渐减小，明显优于PD控制和模糊自适应控制。图4所示为机器人关节无不确定性下的柔性变形量，此时模糊自适应控制在初始时刻出现较大关节柔性变形而引起较大振动，PD控制及新型控制的关节变形变化平稳，可见新型控制综合了PD控制初始变形小的优点。

图2 无不确定性时轨迹跟踪Fig.2 Trajectory tracking without uncertainty

图3 无不确定性时关节轨迹跟踪误差Fig.3 Joint trajectory tracking error without uncertainty

图4 无不确定性时柔性关节变形量Fig.4 Deformation of flexible joints without uncertainty

图5—图7所示为存在不确定性条件下的仿真结果。图5所示为不同控制下的关节跟踪轨迹。图6所示为机器人关节的轨迹跟踪误差，与图3中的无不确定性条件下的轨迹跟踪误差相比，不确定性使各控制算法的跟踪误差增大；图3中无不确定性条件下模糊自适应控制与新型控制误差达到相同的时间约为3.1 s，图6中存在不确定性条件下模糊自适应控制与新型控制误差达到相同的时间约为2.7 s，可见相比模糊自适应控制，新型控制策略对不确定性具有更强的自适应能力和更小的跟踪误差。图7所示为存在不确定时机器人关节的柔性变形，相比图4可以看出：不确定性使机器人关节柔性变形幅值增大，模糊自适应控制在初始时刻和机械臂换向时存在较大的关节变形和抖动，新型控制和PD控制策略下的关节变形明显优于模糊自适应控制。

图5 存在不确定性时轨迹跟踪Fig.5 Trajectory tracking in the presence of uncertainty

图6 存在不确定性时关节轨迹跟踪误差

图7 存在不确定性时柔性关节变形量

图8所示为新型控制器中改进模糊自适应的力矩补偿，存在不确定性下的力矩补偿明显大于无不确定性下的力矩补偿，无不确定性条件时改进模糊自适应力矩补偿逐渐增大，而存在不确定性条件时改进模糊自适应力矩补偿在4 s内快速增大并趋于稳定，可见改进模糊自适应控制对不确定性具有更快的补偿能力。

图8 改进模糊自适应力矩补偿Fig.8 Improved fuzzy adaptive torque compensation

4 结论

文中针对具有不确定性的柔性关节机器人，基于模糊自适应控制和PD控制，提出了改进模糊自适应补偿PD控制策略，以提高机器人关节的轨迹跟踪精度并在一定程度上抑制由关节柔性造成的振动。主要创新点包括：

(1)对控制流程进行优化，提出了改进模糊自适应补偿PD控制器，进一步提高了机器人关节轨迹的跟踪精度并在一定程度上抑制了柔性关节的抖动。

(2)新型控制器中PD控制器和模糊自适应控制器设计相互独立，保留了传统PD控制响应速度快、稳定性高的特点，也保留了模糊自适应控制对不确定性有效补偿的特点。

通过推导及仿真验证，表明了改进模糊自适应补偿PD控制策略在提高机器人关节轨迹跟踪精度及振动抑制方面的良好性能，同时能够保证系统的鲁棒性和稳定性。