large Fock空间上Toeplitz算子的Fredholm性质

刘桂军，夏锦

（广州大学数学与信息科学学院，广州 510006）

引言

设ℂ 是复数集，对于固定的正整数n，ℂn是一个n维复空间。给定z∈ℂn以及r＞0，B(z,r) 表示以点z为圆心、r为半径的开球：

B(z,r)={w∈ℂn:|w-z| ＜r}。

设Δ 是拉普拉斯算子，dv是ℂn上的Lebesgue 体积测度，ϕ:ℂn→ℝ是一个具有连续的2阶偏导数的多重次调和函数。如果ϕ还满足下面的条件：

1）存在一个常数c＞0 使得对于ℂn中所有的点z都有

2）Δϕ满足反向Hölder不等式，即存在一个常数0 ＜C＜∞使得

3）Hϕ的本征值是可比的，即存在一个常数δ0＞0使得

即Fp(ϕ)是由Lp(ϕ)中解析函数全体所构成的空间。易知，当0 ＜p＜1时，Fp(ϕ)是完备度量空间；当1 ≤p＜∞时，Fp(ϕ)是Banach空间。

large Fock 空间Fp(ϕ)与权函数W所属的权函数类关系密切。权函数W首次由Dall'Ara[1]引入并且给出了Bergman核Kϕ(z,w)的点估计。最近，这类空间引起许多学者关注。比如，Lv[2]研究了large Fock 空间的Bergman 投影P在Fp(ϕ)(0 ＜p＜∞)上的有界性。Arroussi等[3]给出了large Fock 空间的Bergman核Kϕ(z,w)的Fp(ϕ)范数估计，并刻画了加权复合算子的有界性、紧性和Schatten 类。2021年，刘柚岐[4]研究了large Fock 空间Fp(ϕ)的对偶空间，并给出了弱局部算子的紧性的等价条件。这类权函数类W包含了许多函数，当ϕ(z)=α|z|2/2,α＞0时，就是经典Fock空间，简记，参阅文献[5]。

根据文献[2]，由P的定义，当1 ≤p＜∞时，P是从Lp(ϕ)到Fp(ϕ)的有界算子，特别地，当0 ＜p＜1时，有P(f)=f。给定一个在ℂn上的可测函数f，并且属于一类符号函数，定义在Fp(ϕ)上的Toeplitz 算子Tf和Hankel 算子Hf，分别为：Tf(g)=P(fg)，Hf(g)=fg-P(fg)。其中，积分P(fg)是有意义的。

在1987 年，Berger等[6]基于C*代数的技巧和Hilbert空间的方法以及Calkin代数中像的商代数的同构表示，研究了Toeplitz 算子在F2的Fredholm 性质，结果表明Toeplitz算子是Fredholm的当且仅当对于f∈L∞⋂VMO，存在R,ε＞0使得 |z| ＞R时，有f(z) ＞ε。在2019年，Fulsche等[7]引入极限算子研究了Banach 空间相同的性质。在2020 年，Al-Qabani等[8]研究了标准权Fock 空间的Fredholm 性质和谱理论。最近，Hu等[9]利用一些辅助算子把Fredholm 性质推广到了双倍测度的Fock 空间。本文将利用文献[9-10]的方法，把Fredholm 理论推广到large Fock空间。

为了方便，用A≲B表示存在与变量无关的常数C使得A≤CB，而A≍B表示A≲B与B≲A同时成立。

1 准备工作

本节首先给出一些基础的定义与结果，方便在接下来的章节中使用。对于z∈ℂn，定义一个半径函数：

从文献[3]，可以得到以下性质。

引理1假设ϕ∈W，则有

1）对于z∈ℂn，ρ(z)是有界的；

2）函数ρ满足Lipschitz条件；

3）对于r∈(0,1)和w∈B(z,rρ(z))，满足：

4）存在a,b＞0使得 |z| ＞1时，|z|-a≤ρ(z) ≤ |z|b。

给定r＞0和z∈ℂn，记Br(z)=B(z,rρ(z))。通过式（1）的估计，使得对r∈(0,1)和w∈Br(z)有ρ(z) ≍ρ(w)。同时，存在m1、m2，对于w∈Br(z)有

任取z,w∈ℂn，由度量ρ-2dz⊗所诱导的距离定义为

其中下确界取遍所有的连接点z和w的逐段C1曲线γ:[0,1]→ℂn。由文献[3]可 知，Bergman 核函数Kz(w)得到如下结论：

1）存在ε＞0，使得对于所有z,w∈ℂn，有

2）对于0 ＜p＜∞和z∈ℂn，使得

3）存在α∈(0,1)，使得对任意z∈ℂn和w∈Bα(z)，总有

通过上面核函数的估计，可以证明一些有用的引理，为接下来的分析提供帮助。首先，定义一个d-度量球，记

引理2设p,ε＞0和k,l∈ℝ，则存在一些常数C，使得对所有的z∈ℂn满足

证明对所有a,b＞0，当x→∞时(x+1)ae-bx→0。因此，存在一个常数C使得≤C。现在，通过文献[11]中引理2.2.1，可以推出

接下来证明式（6）。对于d(z,w) ＞R,当R充分大，通过文献[2]中引理1，可以得到一个包含关系：(z)。利用式（1）和文献[4]中引理2.1.2可得

其中，当R→∞，C(R) →0。因此式（6）成立。

通过Bergman核Kz(w)的点估计，可以得到如下推论。

推论1设p＞0和l∈ℝ,则存在一些常数C使得对所有的z∈ℂn满足

接下来介绍若干函数空间。设r＞0，f是ℂn上的连续函数。如果

2 有界性和紧致性

本小节将研究Toeplitz 算子Tf和Hankel 算子Hf的一些有界性和紧致性，其中f是有界的消失平均震荡函数。这些结果将为本文定理4的证明提供很大的帮助。

对于l∈ℝ，在核(d(z,w)+1)l|K(·,·)| 上定义一个辅助算子Gl为：

由文献[4]中引理2.1.5可得接下来的引理。

引理3设0 ＜p＜∞，对于任何r＞0，z∈ℂn和f∈H(ℂn)，则存在一个常数C使得

引理4当1 ≤p＜∞时，Gl在Lp(ϕ)是有界的；当0 ＜p＜1时，Gl从Fp(ϕ)到Lp(ϕ)是有界的。

证明当p=1时，设f是Lebesgue可测函数，由推论1和Fubini’s定理可得

同理，当p=∞时，

通过插值定理可得，对于1 ≤p＜∞，Gl在Lp(ϕ)是有界的。

通过推论1和Fubini’s定理可得

近年来，Hankel算子在研究Toeplitz算子和谱理论中扮演着重要的角色，比如，用紧的Hankel 算子去证明Toeplitz 算子的Fredholm 性质。下面介绍一些辅助的结果。

引理5设0 ＜p＜∞，如果f∈L∞(ℂn)且有紧支集，则Hankel 算子Hf是从Fp(ϕ)到Lp(ϕ) 的紧算子。

然后通过文献[12]中引理2.6得到如下估计：

这一刻的折腾耗尽了二丫的气力，她靠在床头，一个劲儿地喘粗气。稍微平静了一点儿，二丫望着对面的山墙说：“细婶儿，我好像看见狼剩儿哥了……”

对于 |w| ＜R,当R充分大时，有 |w| +ρ(w) ≤2R。由文献[4]中引理2.1.6得：

因此，根据推论1进一步得到：

下面将证明带着BOr(VOr)符号的Hankel 算子的有界性（紧致性）。当1 ≤p＜∞时，由文献[11]中引理3.1.1 和推论5.1.2 可以立即得证。因此，只用证明0 ＜p＜1的情况。

定理1设0 ＜p＜∞且0 ＜r＜α，则以下情况成立：

1）如果f∈BOr，则Hf:Fp(ϕ) →Lp(ϕ)的有界算子且

2）如果f∈VOr，则Hf:Fp(ϕ) →Lp(ϕ)的紧算子。

证明对于f∈BOr，由文献[11]中引理2.1.4得：

然后，通过引理4 可得，对于0 ＜p＜∞，Hf是从Fp(ϕ)到Lp(ϕ)的有界算子且

现在假设f∈VOr，当d(w,0) ≥R0时，ωr(f)(w) ＜ε。对于d(w,0) ＞R0，存在一个点ξ(w)使得d(ξ,0)=R0，且d(w,0)=d(w,ξ)+d(ξ,0)。因此，|f(w) -f(0) |≤(d(ξ,0)+1) +ε(d(w,ξ)+1)。

存在R＞R0，使得当d(w,0) ＞R时，

现在，定义一个新函数hR：当d(z,0) ＜R时，hR(z)=1；当R≤d(z,0) ≤2R时，hR(z)=2 -d(z,0)/R；当d(z,0) ＞2R时，hR(z)=0。令fR=fhR，显然，当d(z,0) ＜R-1 时，ωr(f-fR)(z)=0 且当d(z,0) ＞2R+1 时，ωr(f-fR)(z)=ωr(f)(z) ＜ε。对于w∈Bρ(z,1)且R-1 ≤d(z,0) ≤2R+1,可得：

由式（9）的范数估计可得：

由于HfR是紧算子且所有从Fp(ϕ)到Lp(ϕ)的有界线性算子族在算子范数下是闭的，因此Hf是紧的。

引理6令f∈VOr且0 ＜r＜α，则

证明通过文献[9]中引理4.4 的方法，可以得证。

定义一个与Bergman投影P有关算子P+为：

称P+为绝对的Bergman投影。P+的有界性可以从引理4中Gl的有界性直接得到。

推论2当1 ≤p＜∞时，P+在Lp(ϕ)上是有界的；当0 ＜p＜1时，P+从Fp(ϕ)到Lp(ϕ)是有界的。

证明通过文献[9]中引理4.5 的方法，可以得证。

证明通过文献[9]中引理4.6 的方法，可以得证。

定理2 设0 ＜p＜∞，0 ＜r＜α且f∈VOr，则

根据控制收敛定理可知：

2）对于f∈VOr⊆BOr，由式（10）和推论1得

则通过Fubini’s定理得

3 Fredholm 性质

这一小节开始证明本文的主要内容。设T是拓扑向量空间X上的线性映射，如果满足dimkerT＜∞和dimkerX/T(X) ＜∞，则称T是Fredholm算子[13]。

当X是Banach 空间时，T是Fredholm 算子的充分必要条件是存在有界算子A、B和紧算子K1、K2，使得AT=I+K1和TB=I+K2。如果X不是一个Banach 空间，则T算子的Fredholm 性质不成立。现在，需要引进一些拟Banach 空间的Fredholm 性质。如果‖ ·‖ 满足除三角不等式外范数的所有性质且存在常数C使得

则称X在‖ ·‖ 下是一个拟Banach 空间[14]。显然，所有的large Fock空间Fp(ϕ)都是拟Banach空间。

根据文献[15]，定义拟Banach空间的理论。

定义1如果对于所有的非零向量x∈X且存在一个连续的线性泛函x*使得x*(x)=1，则称拟Banach空间X是dual rich。

显然，所有的Banach 空间都是dual rich。对于large Fock 空间较小的指标0 ＜p＜1，由文献[4]中定理2.2.3 可以得到Fp(ϕ)的对偶空间。因此，得到如下引理。

引理9如果0 ＜p＜1，则large Fock空间Fp(ϕ)是一个dual rich拟Banach空间。

在研究0 ＜p＜1 的large Fock空间Fp(ϕ) 的Fredholm性质时，需要如下定理。

定理3一个有界线性算子在一个dual rich 拟Banach空间X上是Fredholm 的当且仅当存在X上的一个有界线性算子S使得ST-I和TS-I在X上是紧算子。

证明参阅文献[14]的3.5.1节。

定理4设f∈，0 ＜p＜∞和0 ＜r＜α，则Toeplitz 算子Tf在Fp(ϕ)上是Fredholm 算子的充分必要条件是

因此，仅需证明式（16）。

设f∈VOr和Tf在Fp(ϕ)上是Fredholm 算子，则Tf在Fp(ϕ)上是有界的。首先，证明0 ＜p＜1 的情况。由式（4）和文献[4]中命题2.3.1得

由Bergman核的估计得到如下变换

则通过式（15）和文献[4]中定理2.2.3，可得

推论3设f∈，0 ＜p＜∞和0 ＜r＜α，如果定理4成立，则

且本质谱σess(Tf)是连通的。

4 结束语

本文利用Toeplitz 算子和Hankel 算子在large Fock 空间Fp(ϕ)上的有界性和紧性以及Fp(ϕ)对偶理论，研究了Toeplitz 算子Tf在Fp(ϕ)(0 ＜p＜∞)上具有Fredholm 性质的充要条件是f的Berezin 变换在整个n维复空间上有界且在无穷边界上远离原点,其中f是一个有界的消失平均震荡函数。