PM-空间中一类n 变量混合型泛函方程的稳定性

韩 玥, 成立花

(西安工程大学 理学院,西安 710048)

0 引言

由于混合型泛函方程在相对论、信息论和保险统计等领域具有广泛的应用,因此受到学者们的关注.近年来,许多学者研究了混合型泛函方程的稳定性.例如:文献[1]的作者对一类二-三次混合型泛函方程在非阿基米德(n,β)_赋范空间中的稳定性进行了分析;文献[2]和文献[3]的作者分别在模糊空间和Banach空间中研究了可加-四次混合型泛函方程的稳定性;文献[4]和文献[5]的作者分别在随机赋范空间和非阿基米德空间中研究了可加-二次混合型泛函方程的稳定性.

2023年,文献[6]的作者研究了如下可加泛函方程:

并给出了方程(1)的通解(f(x)=bx),其中可加泛函方程的每个解f都被称为可加映射.同年,文献[7]的作者研究了如下二次泛函方程:

并给出了方程(2)的通解(f(x)=ax2),其中二次泛函方程的每个解f都被称为二次映射.

概率模空间是由Kourosh[8]首次提出的.设X是一个实向量空间,Δ是所有分布函数的集合.若映射μ:X→Δ满足以下条件:

1 方程(3)的解

假设P和X都为实向量空间.本文将在f分别为奇映射和偶映射的情形下,对泛函方程(3)进行求解.

定理1若奇映射f:P→X满足泛函方程(3),则f是一个可加映射.

证明假设奇映射f满足泛函方程(3),则在方程(3)中分别用(0,0,…,0)和(x1,0,…,0)替代(x1,x2,…,xn)可得f(0)= 0和

定理2若偶映射f:P→X满足泛函方程(3),则f是一个二次映射.

证明假设偶映射f满足泛函方程(3),则在方程(3)中分别用(0,0,…,0)和(x1,0,…,0)替代(x1,x2,…,xn)可得f(0)= 0和

2 方程(3)的稳定性