基于Copula函数推求的管运洪水防洪标准探讨

王文圣，覃光华，梁瀚续，李深奇

(1.四川大学水利水电学院，四川 成都 610065； 2.四川大学水力学与山区河流开发保护国家重点实验室，四川 成都 610065； 3.四川省水利水电勘测设计研究院有限公司，四川 成都 610072)

水利工程中管理运用阶段的分期设计洪水称为管运洪水，不同于规划阶段的设计洪水，管运洪水是水库管理运行的基础。管运洪水作为一个新的概念逐渐被重视，计算和分析方法取得了显著进展。管运洪水计算方法有3类。第1类方法直接将分期设计洪水作为管运洪水。分期设计洪水是在分析流域洪水季节性规律的基础上，按照设计和管理要求，把整个汛期划分为若干个分期，在各分期内进行最大值选样，通过频率计算求得设计频率对应的分期设计洪水。这类方法得到的主汛期管运洪水小于指定防洪标准对应洪水，降低了洪水风险；次汛期管运洪水大于指定防洪标准对应洪水，增大了洪水风险，没有达到制定的防洪要求[1]。第2类方法基于全概率公式推求管运洪水。张泽慧等[2]阐述了基于全概率公式推求管运洪水的基本原理，提出了在资料较短或汛期前、后洪水特征大致相同的情况下运用全概率公式推求管运洪水的可行方法。王文圣等[3]提出以洪水分期为条件的管运洪水直接推求法，在资料充足和相对充足情况下，根据全概率公式直接采用频率分析推求管运洪水；在资料不足情况下，建立了基于全概率公式的管运洪水反算法。覃光华等[4]研究了以前期水量为条件的管运洪水推求方法——直接法和间接法，将前期水量分为少水和多水2种状态，直接法以实测洪水资料为基础，采用单变量频率计算分析原理推求前期水量为少水和多水的条件分布；间接法以Copula函数描述年最大时段洪量和前期水量的二维联合分布。此类方法得到的主汛期管运洪水大于年最大设计洪水，次汛期管运洪水小于年最大设计洪水，管运洪水满足防洪要求，达到了指定的防洪标准。第3类方法基于Copula函数推求管运洪水[5-6]，得到的主汛期管运洪水大于年最大设计洪水，次汛期管运洪水小于年最大设计洪水。基于Copula函数推求的管运洪水设计值能否满足现行防洪标准需要进一步讨论。针对涉水工程的洪水风险问题，本文探讨基于Copula函数推求管运洪水的防洪达标问题。

1 涉水工程洪水风险

对涉水工程的洪水风险而言，在未来可能出现的洪水中，只有出现大于工程所能承受的最大洪水时，工程才会出现风险。设工程能承受的最大管运洪水值为x0，未来可能出现的洪水为x，当x>x0时，涉水工程出现防洪风险；当x≤x0时，涉水工程是安全的。目前存在2种洪水风险理念，假定一年出现k次洪水，记为xi(i=1, 2, …,k)，第1种洪水风险理念为，当xi>x0时，洪水计入对工程造成风险，称为次风险[7]；第2种洪水风险理念为，当maxxi>x0时，洪水计入对工程造成风险，称为年风险。在水利工程的防洪安全分析计算时，鉴于工程的特殊性及重要性，一年中只计年最大洪水造成的风险，即年风险。

由于风险是不确定性事件，因此采用风险事件发生概率(频率)来衡量风险大小，称为风险度，记为P。P值越大，事件出现的可能性越大，洪水风险越小；反之亦然。次风险和年风险的风险度分别称为次风险度和年风险度。对次风险度，以次频率表示，记为Ps；对年风险度，以年频率表示，记为Py。Ps和Py有着本质差异，前者以次计量，后者以年计量。

2 现行防洪标准和年标准洪水频率曲线的推求

2.1 现行工程防洪标准

根据GB 50201—2014《防洪标准》，水利工程的防洪标准采用重现期表示，超过工程所能承受最大洪水(年最大设计值)的概率，即风险度Py为

Py=1/T

(1)

式中T为重现期。

2.2 年标准洪水频率曲线的推求

为了符合防洪标准的要求，只计及洪水年最大值造成的风险，洪水频率分析计算中的年洪峰流量和不同时段的洪量样本系列均由年最大值样本系列组成。依据洪水年最大值样本系列(包含历史洪水)，通过频率分析计算可获得洪水频率曲线(称为直接法)，由此获得的洪水频率曲线称为年标准洪水频率曲线(图1中的曲线S)，是我国洪水计算规范制定的基础。根据推求的年标准洪水频率曲线确定的风险度和洪水设计值符合现行洪水计算规范要求和防洪标准。年标准洪水频率曲线可以作为衡量其他方法推求的年频率曲线是否符合要求(达标)的判别依据。

图1 直接法和间接法推求的洪水频率曲线Fig.1 Flood frequency curves obtained with direct method and indirect method

2.3 防洪达标分析

根据第1种洪水风险理念，以年最大值和次大值等洪水样本系列为基础推求洪水频率曲线(称为间接法)，常规的和基于Copula函数推求的分期洪水频率曲线，即以次风险理念为基础得到的洪水频率曲线，如图1中的曲线M1和M2。

将曲线M1、M2和曲线S进行对比，可以判断基于次风险理念推求的洪水成果是否符合防洪要求(达到防洪标准)：①比较曲线M1和S，间接法的成果超过防洪标准；②比较曲线M2和S，间接法的成果低于防洪标准。具体结果如表1所示。

表1 洪水成果达标情况分析Table 1 Analysis of flood results of different methods to reach standards

3 基于Copula函数推求的管运洪水

3.1 管运洪水的推求

以两分期为例进行说明，将整个汛期分为次汛期A和主汛期B。分期A和分期B的风险度分别用PA和PB表示，基于Copula函数推求管运洪水的基本思路如下[5]：

根据分期A和分期B内最大洪水样本系列分别获得各期洪水频率曲线，建立两分期洪水的Copula函数C(u,v)，推求出年风险度：

Pc=1-C(u,v)

(2)

其中

u=1-PAv=1-PB

式中Pc为根据PA和PB估计的年风险度。

令Pc=Py，并假设PA=PB，据此可得分期A和分期B的风险度PA和PB，最后通过各分期洪水频率曲线得到各分期管运洪水xA和xB。

3.2 分期管运洪水的风险结构

由上述推求过程可得：①计算分期洪水频率分布曲线时，选样为分期内洪水最大值，依据资料必然包含年最大值和次大值，因此，基于式(2)获得的年风险度Pc含有次大值产生的洪水风险，这不完全符合现行防洪标准规定的选样要求[8]，即在研究时间尺度上按年最大值选样；②式(2)中C(u,v)表示的是两分期洪水值均小于分期管运洪水的概率，也就是说，Pc表示的是两分期至少有1个分期内洪水值大于分期管运洪水的概率(风险度)，这不符合防洪规范中规定的涉水工程1年仅破坏1次的要求。

基于Copula函数推求管运洪水的年风险既包括了年最大值导致的风险，又包括次大值造成的风险。对于同一管运洪水x0，基于第1种风险理念的年风险度Pc(x>x0)大于基于第2种风险理念的年风险度Py(x>x0)。假设基于Copula函数推求出的分期管运洪水分别为x0A和x0B，未来某一年发生的分期洪水最大值分别为xA和xB，并且xB为年内最大值，即xA

第1种情况：xA>x0A，xB

第2种情况：xA>x0A，xB>x0B。根据第1种风险理念，则这一年涉水工程在分期A和分期B均出现风险，即1年内出现2次风险，工程被破坏2次；根据第2种风险理念，这一年内仅分期B内出现风险，工程仅破坏1次。

3.3 达标检验

从风险结构分析可见，基于Copula函数推求出的管运洪水是超标的，防洪是偏安全的。对基于Copula函数推求出的管运洪水达标情况进行检验，基本步骤如下：①根据流域洪水特性合理划分次汛期A和主汛期B，获取各分期内最大值序列样本和年最大值序列样本；②推求分期A和分期B及全年最大洪水频率分布曲线，分别记为曲线A、B和S；③建立分期A和分期B洪水的Copula函数C(u,v)；④给定一系列的洪水值x，分别在A、B、S频率曲线上获得相的频率PA、PB和Py；⑤由PA和PB根据C(u,v)可推求出Pc，得到洪水x与Pc对应的频率曲线，此曲线即为基于Copula函数推求的年洪水频率曲线，计为曲线M；⑥将曲线M和S点绘在一张坐标纸上，根据表1检验其防洪达标情况。

4 实例分析

马边站是岷江流域马边河上重要的水文站，集水面积1 830 km2。根据马边站1957—2013年洪峰流量资料和洪水特性，将5月、6月、9月、10月划分为次汛期A，将7月、8月划分为主汛期B，分别选出次汛期、主汛期以及全年的最大洪峰流量系列，并假定它们服从P-Ⅲ分布。采用Gumbel-Hougaard Copula函数构造次汛期与主汛期最大洪峰流量的联合分布[5]，其中参数θ根据Kendall秩相关系数进行估计，得到θ=1.008 9。

图2 次汛期、主汛期、年洪峰流量频率曲线对比Fig.2 Comparison of flood frequency curves of peak discharges of non-major flood period, major flood period, and annual flood period

基于Copula函数推求的洪水频率曲线M见图3，曲线M和S不同是由于计算方法的不同。对两条频率曲线代表的管运洪水对应的风险度进行计算，结果见表2。从表2中可以看出，对于同一管运洪水，频率曲线M对应的风险度大于频率曲线S。对50年一遇的管运洪水，曲线M的风险度比曲线S高约14.3%；对1 000年一遇的管运洪水，曲线M的风险度比曲线S高约30%；随着管运洪水的增加，两者风险度的差距也越来越大。可见，基于Copula函数推求出的管运洪水偏于安全的，防洪不达标。

图3 基于Copula函数的洪水频率曲线与年标准洪水频率曲线对比Fig.3 Comparison of flood frequency curve based on Copula function and annual standard flood frequency curve

表2 曲线S和M对应的管运洪水风险度Table 2 Risk degree of manage-flood corresponding to curves S and M

5 结 语

本文提出了洪水次风险和年风险理念，2种洪水风险理念有本质区别，现行设计洪水计算以第2类洪水风险(年风险)理念为基础，基于Copula函数推求的分期管运洪水以第1类洪水风险(次风险)理念为基础。基于Copula函数推求的管运洪水不符合现行设计洪水计算规范要求，防洪风险超标，风险结构和应用分析表明，基于Copula函数推求的管运洪水是不达标的。可进一步研究次风险和年风险的合理转换以推求出达标的管运洪水，或者在资料允许的条件下尝试以分期内年最大值为依据，基于Copula函数推求分期管运洪水。