第22届亚洲物理奥林匹克竞赛实验试题1的介绍与解答

惠王伟，王 槿，刘丽飒，宋 峰，孔勇发

(南开大学 a.物理科学学院；b.基础物理国家级实验教学示范中心，天津 300071)

第22届亚洲物理奥林匹克竞赛(Asian Physics Olympiad, APhO)于2022年5月23日至31日由印度物理教师协会(Indian Association of Physics Teachers，IAPT)与印度德拉敦(Dehradun)的Graphic Era Hill大学共同组织，共有27个国家和地区的代表队参赛. 竞赛采用线上虚拟仿真形式，共有2个实验题目，每个题目10分. 其中试题1为磁学黑盒子(Magnetic black box)[1]，内容为利用智能手机传感器研究磁铁在无磁性空心管中的运动及空心管的材料. 本文将介绍实验试题1的内容，并给出详细解答.

1 试题介绍

智能手机使用基于霍尔效应的磁力计来测量其所在位置的磁场,该磁力计可以测得磁感应强度3个方向的分量,磁力计的传感器集成在手机的电路板上,不能从手机外面观看.

图1展示了半长为d且磁矩为M的小条形磁铁.条形磁铁轴线方向上的P点和中垂线上的Q点处沿磁铁轴向的磁感应强度大小分别为Baxial和Bequatorial，具体表达式为

(1)

(2)

其中，μ0为真空中的磁导率，μ0=4π×10-7N/A2；rP和rQ分别为条形磁铁中心到测量点P和Q的距离.在试题中,将磁铁看成点偶极子(d≪rP,rQ).

图1 条形磁铁示意图

在考试入口界面，点击”EQ1-Magnetic Black Box”(实验1-磁学黑盒子)链接进入实验考试. 图2为仿真程序的屏幕截图，可以看到屏幕中的背景网格，该网格背景是竖直平面内实验装置所在区域. 实验区域内共有4个物体:智能手机、蓝(S极)红色(N极)的磁铁、深色的具有均匀壁厚的空心管、刻度尺，通过点击“SHOW SCALE/HIDE SCALE”(显示刻度尺/隐藏刻度尺)按钮将刻度尺显示或隐藏，背景网格边长为1 cm.

图2 仿真程序的屏幕截图

1.1 实验装置

图2中所有物品可以通过按住并拖动鼠标进行移动. 智能手机、刻度尺和磁铁均可在平面内旋转，旋转控制滑块在面板右侧，可通过拖动滑块来改变物体的方向. 为了更精细地控制物体，在点击滑块后可通过键盘上的方向键来旋转物体.

智能手机内部的磁力计可以测量其所在位置的磁场. 磁力计在手机内部的具体位置并没有给出. 面板右侧会根据磁力计的位置显示Bw和Bl的值(Bw和Bl分别表示手机探测到的沿手机短边方向和长边方向上的磁感应强度的分量)，如图2所示. 磁感应强度分量Bw的正方向向右，磁感应强度分量Bl的正方向向下.

1.2 测量方法

当点击“START MEASUREMENT”(开始测量)时,可以看到Bw和Bl随时间变化的曲线. 点击“RESET GRAPH”(重置图形)按钮会清空图像中所有记录的数据,当鼠标在图像中的曲线上移动时,可以读出数据点的数值,可以通过修改“Graph start time (ti)”(图形开始时间)和“Graph end time (tf)”(图形结束时间)输入框中的时间值来放大图像中的某一部分.

如果手机暴露于强磁场中,有可能会被损坏. 为了避免此情况,若手机测量到的磁感应强度超过6 500 μT,将停止测量,并且面板右侧会显示警告“Maximum Magnetic field exceeded”(超过最大磁感应强度),当磁铁离手机足够远时,将恢复测量.

将鼠标移到画布上点击任意位置,通过键盘上的上、下、左、右方向键可移动磁铁,对磁铁更精细/粗略的移动可以通过点击“2X FINER MAGNET MOVEMENT/2X COARSER MAGNET MOVEMENT”(磁铁2倍精细移动/磁铁2倍粗略移动)按钮实现,每点击1次上述按钮,移动的精细/粗略程度会变成原来的2倍. 重力方向竖直向下,朝向屏幕底端,画布底端的红线表示地面. 实验中仅考虑屏幕中所显示的物体,关于管子的更多信息将在B部分给出. 磁铁放置于屏幕中任意位置后均会保持静止,点击“DROP”(下落)按钮会释放磁铁使其开始下落. 注意：仅在点击“START MEASUREMENT”(开始测量)按钮后，再进行上述操作,磁铁才可以被释放；点击“RESET POSITION” (重置位置)按钮会使磁铁回到掉落前的位置；如果需要,可以将物体移动到画布之外.

在本实验中，将磁铁视为点偶极子. 本题中无需计算误差.

1.3 A部分

A.1 通过实验测量出手机中磁力计的位置. 答题卡上的手机示意图中有更精细的小网格，小网格的边长为2 mm. 在手机示意图上画“⊗”来表示磁力计的位置. (1.0分)

A.2 画出合适的线性图，并通过线性图得出磁铁的磁矩大小. 在表格中记录所用方法的实验数据. (2.3分)

1.4 B部分

在仿真程序屏幕上给出了空心且无磁性的管子,管子竖直放置,管壁厚度有限且均匀,为使磁铁落入管中,磁铁需被正确放置在管的中心轴线上,按下“DROP”(下落)按钮，磁铁在竖直平面被释放,无法观察管内磁铁的运动,实验假设磁铁在管中下落时不倾斜也不旋转. 管子由3部分组成:一段的材质是木头(W);另一段的材质是铝(Al),电导率为3.77×107Ω-1·m-1;还有一段的材质是铜(Cu),电导率为5.96×107Ω-1·m-1,这3个分段不一定按照上述顺序排列,假设磁铁被竖直释放时(沿y轴向下),磁铁下降的动力学方程为

(3)

其中，m为磁铁的质量,g为重力加速度(本题取g=9.8 m/s2),k为由管道中产生的涡旋电流导致的阻尼系数，木、铝和铜的阻尼系数分别为0，kAl和kCu.按照以下步骤使磁铁在管道中下落：

1)把手机、磁铁和管子放在合适位置;

2)点击“START MEASUREMENT”(开始测量)按钮;

3)点击“DROP”(下落)按钮.

磁力传感器无法测量管道中因涡旋电流产生的微小磁场. 当磁铁在管道中下落时,屏幕上可以看到Bw和Bl随时间变化的函数曲线.

B.1 根据屏幕上显示的磁感应强度随时间变化的函数曲线,确定管道的3个不同材质分段的顺序,在表格中标出各分段对应的顺序编号(序号顺序从上到下:1表示顶部的分段,2表示中间的分段,3表示底部的分段). (0.3分)

B.2 确定磁铁在铝管中的最终速度,并根据数据点绘制出线性拟合图. 答题卡中已经给出与模拟屏中相似的网格图,在图中画出实验方案中的手机、管子和磁铁的具体摆放位置和方向,用长方形来表示手机. 将用于画图的相关数据填入表中,算出管子中铝质分段的长度,可以选择是否使用作图法测量管中铝管部分的长度,如果使用1幅图或1组数据来确定长度,均需使用表格中1列写出相关数据. (2.6分)

B.3 确定磁铁在铜管中的最终速度,并根据数据点绘制出线性拟合图. 确定管中铜管部分的长度,可以选择是否使用作图法对铜管进行测量,如果使用1幅图或1组数据确定长度,均需使用表格中1列写出相关数据. (2.2分)

B.4 确定木管部分的长度,可以选择是否使用作图法对木管进行测量,如果使用1幅图或1组数据确定长度,均需使用表格中1列写出相关数据. (1.6分)

2 试题解答

A.1 沿着手机短边方向和长边方向移动磁铁，观察手机磁力计的变化，可以确定手机中磁力计的坐标. 测量结果如图3所示.

A.2 根据式(1)，可以得到在轴线方向上距离条形磁铁中心x(x≫d)处的磁感应强度为

(4)

图3 磁力计的位置

图4 A.2部分装置示意图

表1 A.2部分的测量数据

图的关系曲线

求得直线斜率为4.00×10-7N·m2/A,磁矩为2.00 A·m2. 本题中，测量数据点少于8个，有效作图面积小于坐标纸的70%，结果超出要求范围都会被扣分.

在B部分中，按照图6所示放置各个器件. 磁铁和空心管在手机磁力计的正下方，磁铁与磁力计的距离为x0.将磁铁沿管子的轴线释放，在其下落过程中，由于涡流阻尼的存在，经过一段短暂的加速运动后，磁铁将达到最终速度.

图6 B部分装置示意图

考虑磁铁在离磁力计原点x0处静止的情况.磁铁沿着管道的轴线被释放.在管道的导电段中，由于涡流阻尼的存在，经过短暂的加速，磁铁很快达到最终速度.在这种情况下，磁力计测得的磁场Bw随时间t的变化为

(5)

即

(6)

B.1 按照图6所示装置示意图进行实验，即将手机旋转90°，样品管竖直，获得磁感应强度随时间变化的函数曲线如图7所示，从曲线上可以看到3个不同的阶段(AB，BC，CD). 也可以采用其他的替代方案进行测量，例如手机长边与样品管平行，测量沿手机长边的磁感应强度Bl随时间的变化.

图7 Bw-t的关系曲线

表2 不同材质分段顺序

表3 铝管的测量数据

图8 铝管的关系曲线

图8中曲线的斜率为6 cm/s,所以铝管中磁铁的最终速度为6 cm/s. 根据速度v的变化可以推断出磁场在0.536 s开始变化，所以这是磁铁开始下落的时间点. 磁铁很快就达到了最终速度. 速度又在1.040 s时发生突变，提示磁铁此时移出了铝管. 所以铝管的长度为3.024 cm.

表4 铜管的测量数据

图9 铜管的关系曲线

表5 木管的测量数据

图10 木管的关系曲线

3 讨论与分析

小磁体在磁场中的下落过程分析是非常有趣的问题，在第13届APhO的理论试题“The drag on a falling magnet”以及基础物理教学和实验中都涉及相关内容. 智能手机的磁力计功能使得该实验得到推广.

磁场的测量和磁力灵敏电流计自2020年春季南开大学开设为居家实验后，一直在大学基础物理实验中开展教学[2]. 实验分为4个模块：

1)设计实验，检验手机中磁力计的位置；

2)地磁场合成强度测量；

3)地磁场分量测量；

4)探究磁场强度与距离的关系.

本届APhO实验试题1的内容设计非常接近居家实验的第1和第4部分. 居家实验中增加了对地球磁场的测量探究. 2019年第50届国际物理奥林匹克竞赛实验试题2为验证维德曼-夫兰兹定律”[3]，内容包括测量紫铜、黄铜和铝3种金属的热导率和电导率，实验A部分与本次试题类似. 在2017年IPhO试题”平行偶极线磁势阱”实验中，由于原装仪器中的特斯拉计已经损坏，中国队选手采用手机磁力计进行了替代测量，所以中国队选手对于本题需要用到的基础知识、装置和方法并不陌生. 目前，仍然可以使用网络端访问主办方的官网进行虚拟实验.

中国队选手在本题的最高得分为满分10分，平均分为9.4分，整体水平位于所有队伍前列. 本实验的评分点主要集中在解题方法阐述、数据测量、作图、数据拟合和实验结果. 中国队选手失分的主要原因是数据测量出现问题，导致个别选手的计算结果超出标准范围.

本届APhO的理论试题体现了理论与实验教学的高度融合，例如理论试题2“相变的力学模型(A mechanical model for phase transitions)”与2021年中国大学生物理学术竞赛(CUPT)第7题“珠子动力学”模型相似，这充分体现了中国大学生物理学术竞赛、物理奥林匹克竞赛等学科竞赛在物理教育，特别是大中衔接中的巨大潜力.

4 结束语

本届APhO虽然采用了线上/虚拟仿真相结合的方式举行，但实验内容设计上接近于线下的居家实验. 从2020年春季开始，南开大学的实验教学团队一直致力于发展简单可行并可以与基础物理实验教学相结合的系列居家实验. 本届亚赛采用的手机物理实验虚拟化，具有新意，为实验教学和理论教学提供了思路，同时减少了往年对于仪器的依赖. 可以看到借助于学科竞赛中的优秀案例，利用居家实验、虚拟实验等形式，可以弥补传统单一理论教学中物理图像缺失. 中国队选手目前在各个国际物理教育方面的学科竞赛均取得了优异的成绩，将学科竞赛的成果转化到基础实验教学中，需要实验和理论教师的合作和进一步的教学研究与推广.

致谢:感谢参与试卷翻译等工作的南开大学本科生志愿者王烁皓、王宸泽和邓名豪！感谢参与奥赛培训、选拔与远程考试的各位老师！感谢中国科学技术协会、中国物理学会、天津市物理学会等单位和部门对赛事的支持！