DNLS族的达布变换及(2+1)维MKP型方程的精确解

李彩娟，王玉磊，杜殿楼

(1.信阳学院数学与统计学院，河南 信阳 464000；2.郑州大学数学与统计学院，河南 郑州 450001)

非线性偏微分方程在非线性科学领域占有重要地位，而孤立子理论是研究非线性方程的主要手段之一.目前在孤立子理论中有一系列构造精确解的方法，其中达布变换方法是构造非线性方程精确解的一种十分有效的方法.[1-8]

本文利用(2+1)维MKP型方程[9]

(1)

与DNLS族前两个(1+1)维孤子方程[10-12]的关系，借助达布变换求出(1+1)维孤子方程的精确解，从而得到(2+1)维MKP型方程的精确解.

1 (2+1)维MKP型方程的分解

考虑谱问题：

(2)

及辅助谱问题

(3)

(4)

由方程(2)和(3)、(2)和(4)的相容性可得DNLS族前两个非平凡的(1+1)维孤子方程：

(5)

2 DNLS方程的达布变换

(6)

这里Al，Bm，Cn，Dl(0≤l≤N；0≤m≤N-1；0≤n≤N-2)均为x，y，t的函数且

(7)

其由以下代数方程决定：

(8)

其中

(9)

φ(λj)=(φ1(λj)，φ2(λj))T，ψ(λj)=(ψ1(λj)，ψ2(λj))T是(2)式的基本解，λj和γj是2N个相互独立的常数且(8)式的系数行列式非零.由(6)式，detT(λj)=A(λj)D(λj)-B(λj)C(λj).又由(8)式有

A(λj)=-σjB(λj)，C(λj)=-σjD(λj).

(10)

故detT(λj)=0，即λj(0≤j≤2N)是detT(λ)的2N个零点.

由(6)式产生一个新的谱问题

(11)

并且

(12)

命题2 令AN-1，BN-1满足

(13)

(14)

证明由(2)和(9)式可得Ricatti方程

(15)

设T-1=T*/detT，由(6)，(10)和(15)式得

(16)

(17)

易证f11(λ)，f12(λ)，f22(λ)是λ的2N+1次多项式，f21(λ)是λ的2N次多项式，且λj(1≤j≤2N)均为fij(λ)(i，j=1，2)的根.则(17)式可化为

(Tx(λ)+T(λ)U(λ))T*(λ)=detT(λ)P(λ)，

(18)

Tx(λ)+T(λ)U(λ)=P(λ)T(λ).

(19)

比较(19)式中λN+1，λN，λN-1的系数可得

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

将(14)式代入(21)式可得

(28)

将(28)式代入(22)式并利用(7)式可得

(29)

命题3 设方程(2)的解φ和ψ也满足(3)式，则在变换(6)下，(3)式化为

(30)

证明根据(3)，(9)和(10)式可得

(31)

Ay(λj)=-By(λj)σj-B(λj)σjy，

(32)

Cy(λj)=-Dy(λj)σj-D(λj)σjy.

(33)

其中：

类似有

(34)

(Ty(λ)+T(λ)V1(λ))T*(λ)=detT(λ)Q(λ)，

(35)

其中

Ty(λ)+T(λ)V1(λ)=Q(λ)T(λ).

(36)

比较(36)式中λN+2，λN+1，λN的系数可得

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

将(14)式代入(38)式得

(44)

将(37)，(44)式代入(39)和(40)式并利用(14)式可得

(45)

将(37)，(44)，(45)式代入(41)和(42)式并利用(7)和(13)式可得

(46)

命题4 设(2)，(3)的解φ和ψ也满足(4)式，则在变换(6)下，(4)式化为

(47)

证明类似可得

(48)

At(λj)=-Bt(λj)σj-B(λj)σjt，Ct(λj)=-Dt(λj)σj-D(λj)σjt.

(49)

其中：

利用(10)，(48)和(49)式得

(50)

因此

(Tt(λ)+T(λ)V2(λ))T*(λ)=R(λ)T(λ)，

(51)

其中

比较等式(51)中λN+3，λN+2，λN+1和λN的系数并利用(14)和(22)式可得

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

将(52)，(53)式代入(54)—(56)式，并利用(14)和(22)—(27)式可得

(61)

(62)

另外，比较等式(17)中λN-2的系数有

(63)

将(52)，(53)，(61)，(62)式代入(57)式并利用(14)，(22)—(27)和(63)式可得

(64)

将(52)，(53)，(61)—(64)式代入(58)和(59)式并利用(7)，(13)，(17)和(63)式有

(65)

其中：

3 MKP型方程的精确解

取Q=0为(1+1)维DNLS方程的平凡解，进而可以得到(5)的孤子解.将Q=0代入(2)，(3)和(4)式，得其基础解系为

φ(λ)=(0，eg(λ))T，ψ(λj)=(e-g(λ)，0)T，

(66)

其中g(λ)=i/2(λx+λ2y+λ3t).此时

(67)

当N=1时，由(8)式得

(68)

由命题1，(2+1)维MKP型方程(1)的解为

(69)

选取参数λ1=0.1，λ2=-0.1，γ1=2，γ2=-0.5，可得(69)式的孤子解，见图1.

图1 (69)式中的孤子解

(70)

选取参数λ1=1+2i，λ2=1-2i，λ3=-2.5，λ4=0.2，γ1=1，γ2=-0.5，γ3=2，γ4=0.2，可得(70)式的孤子解，见图2.

故方程(5)的N-孤子解为

从而(2+1)维MKP型方程(1)的解为