张弛皆有度 动静总相宜——圆锥曲线中的调和平均问题初探

冯广军 郭琳芳

(广东省深圳科学高中 518129)

圆锥曲线中蕴藏着丰富的规律，如定点与定值问题等.这些规律大多都反映了圆锥曲线中的一种动态而和谐的平衡，正是“张弛皆有度，动静总相宜”，比如低调而绝妙的调和平均问题.

1 研教材，启示多从教材来

(人教A版教材2019版第45页)如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

图1

图2 图3

事实上，如果作出圆的另一条切线AM，易知点E即为过圆心的割线AC与切点弦DM的交点，一个自然的想法是：如果割线AC不过圆心，AE是否仍然是a，b的调和平均？结论是肯定的.

图4

结论1 过圆O外一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，过点P任作圆O的一条割线，交圆O于C，D两点，交切点弦AB于点Q，则PQ为PD，PC的调和平均.

2 善变通，味道尽在类比中

图5

该结论在双曲线和抛物线中仍然成立，证明略.

结论2 过圆锥曲线E外一点P作E的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，过点P任作E的一条割线，交E于C，D两点，交切点弦AB于点Q，则PQ为PD，PC的调和平均.

3 再寻觅，沿途处处有惊喜

图6

对于双曲线(交于同一支时的情形)和抛物线，可通过类似的证明过程得到这一结论，不再一一给出.

结论3 圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径的调和平均是其通经的一半.(双曲线中的焦点弦是指过焦点的直线与双曲线交于同一支的情形)

图7

调和平均原本是统计学中的术语，是一种某一特定条件下的平均量，我们能在圆锥曲线中不断发现它的存在，这为我们从多个角度去理解调和平均又打开了一扇门.或许数学的魅力也正在于此，而更多的美正等着我们去发现！