立足于核心素养的高度解读中考题

【摘 要】 《义务教育数学课程标准（2022年版）》首次提出数学核心素养的要求，核心素养是在学习“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域课程内容的过程中逐渐形成与提高的.结合前三个领域知识的学习，适当引导学生开展综合与实践活动，综合运用有关知识和方法解决问题是提高学生核心素养的重要途径.在认识这种活动的基础上，结合对一道中考问题的分析，提出对于开展综合与实践活动的教学启示.

【关键词】 核心素养;综合实践;中考问题;教学启示

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）首次提出了“核心素养”的概念，并把核心素养高度概括為三句话：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界［1］.

通过数学教学提高学生的数学核心素养已经成为数学教学的根本目的，如何培养和提高学生的数学核心素养呢？开展综合与实践活动是学生积累数学活动经验，提高学生数学核心素养的重要举措之一.本文以“山西省2022年中考第22题”为例，谈谈自己的认识与思考.

1 再认识综合与实践

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）第一次提出综合与实践活动，并且指出“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动［2］.在初中阶段设置该活动的目的在于帮助学生积累数学活动经验，培养学生综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决实际问题的能力.这种教学活动既可以在课堂上完成，也可以课内外相结合，实际教学中每学期至少要安排一次.

《课标（2022年版）》在上面的基础上，强化了对“综合与实践”活动的要求：

一是从“核心素养”的高度，提出了可操作的内容要求［1］：

（1）在社会生活和科学技术的真实情境中，结合方程与不等式、函数、图形的变化、图形与坐标、抽样与数据分析等内容，经历现实情境数学化，探索数学关系、性质与规律的过程，感悟如何从数学的角度发现问题和提出问题，逐步形成“会用数学的眼光观察现实世界”的核心素养.

（2）用数学的思维方法，运用数学与其他相关学科的知识，综合地、有逻辑地分析问题，经历分工合作、试验调查、建立模型、计算反思、解决问题的过程，提升思维能力，逐步形成“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养.

（3）用数学的语言，将现实问题转化为数学问题，经历用数学方法解决问题的过程，感悟科学研究的过程与方法，感受数学在与其他学科融合中所彰显的功效，积累数学活动经验，逐步形成“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养.

二是在“教学建议”中明确指出了开展综合与实践活动的教育教学价值：“综合与实践领域的教学活动，以解决实际问题为重点，以跨学科主题学习为主，以真实问题为载体，适当采取主题活动或项目学习的方式呈现，通过综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题，着力培养学生的创新意识、实践能力、社会担当等综合品质.”［1］

三是增加了教学时间要求：每学期都要引导学生参加两次以上的综合实践活动，而且特别指出每个活动三课时.

教师要落实《课标（2022年版）》对于综合与实践活动的要求，更好的在教学中通过开展活动提高学生的数学核心素养，必须对综合与实践有一个全面的认识.例如对于“每个活动三课时”的问题.这个要求首先是对教材修订者提出的：修定者在修订与《课标（2011年版）》配套的教材时，应对教材中“综合与实践”活动的课程“内容”进行扩充、改编或重新编写为“三课时”的学习内容；然后要求教师在教学这样的内容时必须要用三个课时.

适宜学生在课外进行的综合与实践活动很多，如某地区环保治理方案的设计问题，居民楼的采光设计问题，城市垃圾桶的安放问题，城市公交车的发车间隔问题，碳中和问题，计算机逻辑电路问题等等，这些问题对于学生来说都是“大活动”，用时较长，一般需要包含“活动目的—活动过程—记录数据—分析数据—应用数据”中的几个环节；适宜课内进行的实践是指“小活动”，一节课就能解决，如通过调查本班学生的视力情况，提出保护视力的建议等，课内最常见的是综合运用学过的知识解答一些“分步题”［3］问题.

2 案例展现

原题呈现 （2022年山西省中考题第22题）

综合与实践

问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．

猜想证明：

（1）如图1，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；

问题解决：

（2）如图2，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；

（3）如图3，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．

分析与解答 （1）已知D为BC边中点，点M是AB的中点，根据三角形中位线定理可得MD∥AC，可得∠A=∠AMD=∠MDN=90°，所以四边形AMDN为矩形.

（2）过点N作NG⊥CD于G（如图2），在Rt△ABC中，根据已知AB＝6，AC＝8，利用勾股定理可得BC=AB2+AC2=10.因为点D是BC的中点，所以BD=CD=5.

根据∠B＝∠MDB，∠B+∠C=90°，∠BDM+∠1=90°可得∠1=∠C，进而DN=CN，又NG⊥CD，所以DG=CG=52.不难推出Rt△ABC∽Rt△GNC，所以CGCN=ACBC，即52CN=810，所以CN=258.

（3）如图4，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于H，通过证明点A，M，D，N四点共圆，可得∠ADN=∠AMN=45°.由NH⊥AD得∠ADN=∠DNH=45°，从而得到DH=HN.根据AD=CD=5得∠C=∠DAC.通过证明Rt△NHA∽Rt△BAC得到HNAH=ABAC=34，可求出AH=43HN，根据AH+HD=AD=5得到DH=HN=157，AH=207.在Rt△NHA中AN=AH2+HN2=40049+22549=257.

试题点评

本题用“综合与实践”作为“标题”给出，以固定一个“直角三角形”、旋转一个“直角三角板”为背景，主要考查学生综合运用矩形的判定、直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性質、圆的有关知识等知识和方法解决问题的能力.

题目共分为“问题情境—猜想证明—问题解决”三个环节，属于典型的“分步题”：

在“问题情境”环节，给出了“统领”本题的两个条件：一个是两直角边确定的直角△ABC，另一个是可以旋转的直角三角板.后面的“猜想证明—问题解决”两个环节都是在“统领”条件下，增加新的条件时提出问题并解决问题的.

在“猜想证明”环节增加的条件是：直角三角板旋转到特殊位置（点M为边AB的中点）时，提出问题——试判断四边形AMDN的形状，并说明理由.这是一个猜想证明问题.

在“问题解决”有两问：这两问对应直角三角板旋转到两个特殊位置时，求两条对应线段的长度.这两个问题都属于计算问题.

《课标（2022年版）》界定了初中阶段的9大核心素养指标：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识.

从培养学生数学素养的角度看，通过解答本题将有助于培养和提升下面几个素养：

（1）数学推理能力

《课标（2022年版）》指出：“推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力.”［1］教学中加强数学推理能力的训练有助于学生逐步养成重论据，合乎逻辑的思维习惯，对于形成实事求是的科学态度与理性精神也有着积极的意义.正因为如此，《课标（2022年版）》才把推理能力作为重要的数学核心素养.

本题中的“猜想证明”环节，在学生根据题设条件“在直角三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时”，“猜想”到四边形AMDN是矩形后，要求说明理由.这个说明理由的过程就是严格的数学论证过程.学生通过说理过程的锻炼，其数学推理能力不断得到提高.

“问题解决”环节中的两个计算问题，学生解答时“推理证明”的“比重”大于“计算”的“比重”，解决问题（2）分为三步：一是在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC=AB2+AC2=10，并根据点D是BC的中点得到BD=CD=5；二是根据条件∠B=∠MDB，逐步推出∠1=∠C，直至得到DG=CG=52；三是证明Rt△ABC∽Rt△GNC，根据相似三角形的对应线段成比例建立方程模型“52CN=810”.

解决问题（3）的过程分为三步：一是根据条件判断出A，M，D，N四点共圆，逐步证明得出DH=HN；二是证明Rt△BAC∽Rt△NHA，并得到AH=207；三是在Rt△NHA中利用勾股定理AN=AH2+HN2=257.

从解答这两个计算题的过程可以看出，每一个问题的解答都分为三步，在这三步中都有推理的过程，推理的“分量”大于计算的“分量”.学生解答的困难就在于“推理”.这两个环节问题的解答有助于培养和提高学生推理能力.

这就要求我们在教学中，要重视对学生推理能力的训练，把培养学生的推理能力放在教学的重要位置.克服以往在培养推理能力方面主要依靠“图形与几何”领域内容的做法，充分利用《课标（2022年版）》界定的四个领域的课程内容，采用“几何推理”为主，“代数推理”“统计推理”为辅的训练模式.根据具体教学内容精心设计教学过程，引导学生在学习过程中，不断提高自己的数学推理能力.

（2）数学运算能力

运算能力主要是指能够根据法则和运算律进行正确运算的能力［1］.运算能力是在不断地运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的练习中而逐步形成和发展的.教学中培养学生的运算能力有助于学生理解算法与算理之间的关系，从而选择合理简洁的运算策略解决问题.运算能力是学生数学核心素养的重要组成部分，在数学教学中，加强对学生运算能力的培养有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.

“问题解决”环节中的两个求线段长度的问题，虽然证明的成份多于计算的成份，但是问题的“主题”仍然是计算，这样的考题有助于提高学生的数学运算能力.

（3）语言表达能力

数学教学要培养学生用数学的“眼光”观察现实世界，用数学的“思维”思考现实世界，用数学的“语言”描述现实世界的能力，这是社会公民的一种必备素养.

本题中第（1）问要求学生“判断出四边形AMDN的形状后，并说明理由”考查的就是学生的语言表达能力；问题（2）中“求线段CN的长度”，则需要学生完整的写出解题过程.这样的问题，都需要学生具有较强的语言表达能力才能解答.

在数学教学中应结合具体的教学内容，适当的加强训练学生的语言表达能力，只有这样才能逐渐形成学生“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养.

（4）创新意识

创新意识是《课标（2022年版）》提出的重要素养，在数学教学中，通过具体的实例，运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证；培养学生勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题与数学问题都是培养学生创新意识的常用做法.

本题的（2）（3）两个计算题，最后都是通过证明相似三角形，得到成比例线段，从而求出线段的长度.对于问题（2）可以考虑在Rt△ABC和Rt△GNC中，分别利用∠C的余弦值是个定值，得到成比例线段；问题（3）可以考虑在Rt△BAC和Rt△NHA中，∠C=∠NHA，从而根据∠C与∠NHA的正切是定值，得到比例线段.这种“一题多解”“一题多证”的训练对于学生创新意识的形成具有积极的意义，同时对于学生形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神也是非常有益的.

另外，学生通过解答本题还能进一步感悟到数形结合思想和方程思想，这些都是学生核心素养中不可或缺的知识.

3 教学启示

综合与实践体现在“综合”与“实践”两个方面：“综合”主要是对教师设计“综合与实践”活动的要求，在设计这样的问题时应注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用.适用“综合与实践”的“问题”应具有接受性、障碍性、探究性、情境性、开放性等特征中的两个以上特征.“实践”是指学生在参与综合与实践活动时，要求学生自主参与、全过程参与，在活动时做到“脑、手、口”并用.

为引导学生更好的开展“综合与实践”活动，教师在日常教学中应注意以下三方面.3.1 加强四基教学

《课标（2022年版）》）在课程“总目标”中提出“四基”“四能”的最低要求，学生通过数学学习，必须掌握数学的基础知识，逐步形成数学基本技能，感悟数学的基本思想，积累数学基本活动经验.

学生只有掌握了扎实的数学基础知识，才能有效的參与“综合与实践”活动，即在探索真实情境中所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题.3.2 培养学生的阅读理解能力

“综合与实践”活动问题的表述一般比较长，解答这样的问题需要学生具备比较强的阅读理解能力、获取信息的能力.这样的问题一般由两大部分组成：一是阅读材料；二是提出让学生解答的问题.解答问题需要从阅读材料中获取有价值的信息，给出信息的主要方式有：（1）语言文字型；（2）数阵信息型；（3）表格信息型；（4）图形（象）型；（5）混合型.

学生只有从上述各种类型的“材料”中获取信息，并且还能对三种数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）准确无误地进行相互转化，才能顺利地开展“综合与实践”活动.3.3 引导学生开展数学探究活动

《课标（2022年版）》在“课程理念”中指出“学生的学习应当是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式”［1］，无论使用哪种具体的学习方式，都离不开学生的思考与探究活动.“综合与实践”活动往往需要学生通过数学探究才能完成.数学探究是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以解决问题为探究内容，以学生能主动发现问题、提出问题、分析问题、解决问题为目的的学习活动［4］.

例如，数学概念的教学过程、数学命题的发现过程、数学命题的证明过程以及问题解决的过程都离不开数学探究活动.在有关这些知识的教学过程中，教师要结合具体内容，设计问题系列，引导学生在探究的过程中完成学习，时间久了，学生的数学探究能力得到了提高，这是解答综合与实践活动的“资本”.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.5.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.3.

［3］李树臣、金文卫.加强分步题的教学研究，提高学生数学综合能力［J］.中学数学杂志，2019（02）：8-11.

［4］李树臣.正确认识探究活动，精心设计探究问题——探究活动的基本形式与探究性问题的主要类型［J］.中学数学杂志，2014（10）：4-7.

作者简介 李树臣（1962—），男，山东沂南人，中学正高级教师;全国义务教育初中数学教材（青岛版）核心作者、中国人民大学复印报刊资料《初中数学教与学》编委、湖北大学《中学数学》特约编委、《山东教育》特约记者.