联系视角下的解题教学应突出的四个关注点

【摘 要】 联系视角下的解题教学应突出以下四个关注点：一是关注问题之间的关联，引导学生分门别类，整体研究；二是关注问题解决的方向，引导学生多元表征，联系化归；三是关注问题背后的立意，引导学生要想得多，要站得高；四是关注解题教学的价值，引导学生体会问题解决的一般规律与为人处事的联系．

【关键词】 联系；解题教学;育人价值

“联系”是深度学习的一个显著特征，因此好的解题教学应该着力于让学生学会主动“联系”．首先，学会联系地看问题．通过建立问题与问题、解法与解法的关联，把相关的、类似的问题放在一起，从一个整体的视角出发进行研究；其次，学会联系地想问题．通过将条件、结论进行多元表征，尝试化归，去沟通问题与解法之间的联系，明晰问题解决的方向；然后，学会联系地研究问题．通过将问题与经典名题、科学前沿、历史文化关联，挖掘问题背后的“故事”，从高观点看清问题背后的本质和立意；最后，将问题解决联系到人生思考．通过学生系列化的解题活动与体验，站在育人的角度，凸显教题教学在“人”的成长方面的价值.

1 理解问题之间的关联

在疲于应付“题海战术”的学生们的眼中，数学题总是以“个体”的姿态出现，一个个题目往往都是“孤立”的．于是，他们就深陷于“题目越做越多”的窘境．其实，数学题的“群体”现象十分普遍，关键是我们要学会分门别类，找到同类题或者相关题，将它们关联起来，从整体上进行研究．

1.1 在形式上寻求统一

题1 二次函数y＝（x－1）（x－m＋1）（m是常数），当－2≤x≤0时，y＞0，则m的取值范围为（  ）.

A．m＜0     B．m＜1C．0＜m＜1  D．m＞1

题2 已知函数y1＝x2－（m＋2）x＋2m＋3，y2＝nx＋k－2n（m，n，k为常数，且n≠0）．

若函数y1，y2的图象始终经过同一个定点M．

①求点M的坐标和k的值;

②若m≤2，当－1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m＋n的取值范围．

在题2中，易知k＝3．将其代入、变形、因式分解后，得y1－y2＝（x－m－n）（x－2）≤0．于是问题转化为：当－1≤x≤2时，（x－m－n）（x－2）≤0，求m＋n的取值范围．再将m＋n看成整体进行换元，发现两道试题结构几乎一致．

1.2 在解法上达成一致

题3 （2020年杭州）如图1，已知AC，BD為圆O两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC中点，连接EF．

连接BF，DF，设OB与EF交于点P，求证：PE＝PF．

题4 （2020年上海）如图2，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

在题3中，欲证PE＝PF，即证PE∶PF＝1∶1.在题4中，连结AO并延长交BC于点E，要求BC的长，关键在于求出AO∶OE，然后根据勾股定理求解．也就是说，两道试题都是在求“一条线段上的比例”．通过图形简化，可分别得到图3和图4．虽然两道中考题形式迥异，看似毫不相关，但最后都能化归为同一个基本图形．

好的解题教学就是要教会学生多角度寻找问题之间的关联，将题目分门别类，整体研究，这样才能使得效益最大化．

2 明晰问题解决的方向

解题教学应着眼于启发、锻炼学生的思维，教会学生分析问题．学生只有提升了分析解决问题的能力，才能真正实现教育之“教是为了不教”的根本目的．

2.1 多元表征

理解问题是明晰问题解决方向的前提，而关注问题的多元表征是理解问题的要点．数学多元表征是指数学学习对象的信息在心理活动中的多元化的表现和不同的记载方式．所谓理解就是要从不同的角度对同一个数学对象进行多元表征，建立知识之间的联系．

题5 已知二次函数y＝－x2＋3mx－3n图象与x轴没有交点，则（  ）.

A．2m＋n＞43   B．2m＋n＜43  C．2m－n＜43   D．2m－n＞43

因为图象与x轴没有交点，且开口向下，所以抛物线始终位于x轴的下方．对应着这样一个数学对象，能产生两种不同的表征方式：①9m2－12n＜0，化简得3m2＜4n；②－x2＋3mx－3n＜0恒成立．不同的表征对应着不同的思考方向．

表征①3m2＜4n，聚焦于m，n之间的已知关系．

思路1（特殊值）：当n＝1时，m可以取1，所以B和D排除；再取m＝－1，则A也排除．故只能选择C．

思路2：2m－n＜2m－34m2＝－34（m－43）2＋43≤43，故有2m－n＜43．故选C．

表征②－x2＋3mx－3n＜0恒成立，聚焦于m，n最终的表达式．

思路3：将x＝2代入，有－4＋6m－3n＜0，化简得2m－n＜43．故选C．

思路4：将表征②“－x2＋3mx－3n＜0恒成立”变形，得到“mx－n＜x23恒成立”，即直线永远在抛物线下方．而2m－n的几何意义就是直线y＝mx－n在x＝2时的函数值．根据图象，易知2m－n＜43．

随着数学学习的不断深入，对同一数学对象所建立的联系网络也在逐渐扩大．到了高中，学生学习了“线性规划”之后，对表征①又会有新的理解．

事实上，所谓入口宽、多解法的“好问题”往往就是因为它的条件或结论有多种表征方式．学生多元表征能力的高低将直接影响其解题水平的高低．2.2 尝试化归

明晰问题解决方向的总策略是尝试化归，即设法把我们面临的复杂的、陌生的问题化归为一个或者几个简单的、熟悉的问题．除了将条件、结论进行多元表征，等价变形外，常见的还有“从特殊到一般”，以及“分而治之”等方式．

题6 如图5，正方形ABCD的边长为2，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交AB于点E．则EF·FC＝．

解决题6的关键显然在于确定点F的两段圆弧上．当我们无法一下子明晰解题的方向时，可以尝试通过添线补形对复杂问题分而治之，去寻找各个条件的“使用价值”．

①聚焦于半圆BFC．

如图6，因为BC为直径，所以∠BFC＝90°，而∠EBC＝90°，根据射影定理，得EF·FC＝BF2，于是只需求BF．又因为BC＝2，所以BF2＋FC2＝4．换言之，也可以求FC．而线段CF是半圆BFC的弦，圆中弦的长度怎么求？联想“垂径定理”，于是过点O作OM⊥CF于点M．

②聚焦于圆弧AC．

另一方面，如图7，CF也是⊙D的弦．又回到求弦长的问题上，再次联想“垂径定理”，过点D作DN⊥CF于点N．

最后将两条辅助线合二为一，如图8所示．因为两圆相交，根据对称性，不难发现点M和点N重合．此时，又能在Rt△OCD中使用射影定理，从而求得所有线段的长度．

聚焦于两个圆，得到两个基本图形，分两条思路进行思考，虽然在每一个子问题中都没有完全地解决问题，但将它们联系在一起时，辅助线就自然生成了．当学生分析问题没有方向时，不妨引导他们尝试这种“化繁为简，先分后总”的方法，逐渐把分析过程集成化、自动化，提升数学素养．

3 看清问题背后的立意

要让教师也从“题海”中解脱出来，就必须拓广教师的知识领域，提升教师的专业素养．克莱因认为，基础数学的教师应该站在更高的视角来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单．观点越高，事物越显得简单［1］．解题教学要透过数学问题，看清题目的背景和立意，与经典问题、科学前沿、历史文化建立更广泛的联系，讲好我们的“数学故事”．

3.1 只有想得多，才能看得透

题7 如图9，点B，C在⊙A上，F是半径AB的中点，连结CF交⊙A于点E，弦CD⊥AB，连结DE交AB的延长线于点G，证明：AB＝BG．若把点B固定，则点C可看成一动点，点D和点E随之运动，但是无论怎么动，DE与AB的交点G又是不变的．解完题之后，教师要和学生一起回过头来思考“为什么”，促使学生进行深度探究．若结论成立，不难发现△ACF∽△AGC，所以CF∶CG＝AC∶AG＝1∶2，是定值，即点C到两定点F，G的距离之比为常数，所以点C的轨迹就是阿波罗尼斯圆.

对于学生而言，他们不需要掌握这个概念，但这种追求真理的探究精神能大大激发学生主动学习的兴趣．多想想，究竟是什么条件在起作用，那根“牵着牛鼻子”的绳子在哪里．长此以往，学生解题的方向就明确了，主动学习的能力也提升了．

3.2 只有站得高，才能看得远

题8 下列整数可以写成三个非0整数的立方和：45＝；2＝．

2019年9月，人类首次将42写成3个整数的立方和，至此得到下面的结论：除了9n±4型自然数外，所有100以内的自然数都能写成三个整数的立方和．这是一个古老数论问题的最新进展．十九世纪的数学家提出：如果给定整数k，是否存在整数x，y，z，满足丢番图方程：x3＋y3＋z3＝k．作为杭州市教师解题比赛的试题，命题人想表达的应该不仅仅是如何解决这个问题，而是想开阔初中数学教师的眼界，不能局限于课本中的内容，要向数学发展的最前沿靠近，这样才能站在更高的角度，引导学生走向数学的巅峰．

题目是需要研究的，教师解题研究能力的高低直接影响着学生对问题理解的深度．凡事多问几个为什么，只有想得多，才能看得透问题背后的本质；只有站得高，才能看得到问题背后的立意．

4 凸显解题教学的价值

愛因斯坦说：“教育就是当一个人把在学校所学的全都忘光之后剩下的东西．”此时，剩下的就是“为人处事”的方式方法了［2］．当我们把解题教学与做人做事的方式联系在一起思考时，不免会发现解题中所使用的基本思想、基本策略，同样也是我们“为人处事”之道，从而真正凸显出解题教学的价值.

4.1 从未知到已知，熟悉了，就好办了

所谓难题，很多时候只是因为它很陌生．脑科学的研究告诉我们人类最喜欢的就是通过发现事情的相似性建立起联系，然后用相似的方法做不同的事情．面对一个陌生的数学题，就要尝试去从中找到熟悉的结构，尽可能调取已有的知识、经验与方法，进行多元表征，尝试等价变形，进行化归等等．从未知到已知，熟悉了，就好办了.这就叫“关联”．

4.2 变繁杂为简单，能简化一点，就好了

遇到复杂的、困难的问题，就要分步、分类地去完成．从简单的情形入手，从特殊的情形入手，把问题转化得明白一点，简单一点，往往是解决问题的关键．回想一下，我们对题2进行等式变形、因式分解、整体换元等简化操作之后，竟然与题1一模一样；在对题3和题4的图形进行简化后，也得到了同样的基本图形；当然还有题6辅助线的获得也并非一蹴而就，而是对问题的逐层剥离，一步步简化而来．变繁杂为简单，能简化一点，就好了.这就叫“化归”．

4.3 由鸡智到机智，记住那只鸡的教训

《怎样解题》的最后讲了一个心理学试验：一只被困在三面围有篱笆的场地里的饿鸡，见到篱笆外的食物就拼命钻篱笆但又不得，直至筋疲力尽．波利亚用这只饿鸡在提醒我们：解题时切勿钻牛角尖，别像那只鸡一样“执着”．

无论是理解问题之间的关联、明晰问题解决的方向，还是看清问题背后的立意，都在倡导我们要多元地、联系地、整体地看待问题．不要拘泥于一条思路、一种方法．当一条思路、一种方法遇到较大阻挠时，应立即改换门庭，另寻它路．应相信“条条大路通罗马”．由鸡智到机智，要记住那只鸡的教训.这叫做“规划”．

参考文献

［1］菲利克斯·克莱因．高观点下的初等数学（第一卷）［M］．舒湘芹，陈义章， 杨钦樑，译.上海：复旦大学出版社，2008．

［2］苏建强．几何解题教学应突出的三个关注点［J］．中学数学教学参考（中旬），2019（04）：48-51．

作者简介 杨灿权（1990—），男，浙江杭州人，中学一级教师;省级工作室学科带头人，杭州市初中数学核心组导师，多次开设市级公开课和讲座，获得市优质课、解题、说题、论文、案例等多个一等奖;主要研究中学数学教育，发表论文多篇．