一类半线性退化Schrödinger方程解的存在性

冉 玲，陈尚杰，李 麟

(重庆工商大学 数学与统计学院，重庆 400067)

1 关于半线性退化Schrödinger方程的介绍和主要结论

本文主要研究如下半线性退化Schrödinger方程

(1)

其中∇γ=(γ1∂x1u,…,γN∂xNu)。

退化算子Δγ中的函数γj:RN→R是连续的，是RNΠ上不等于零的C1函数，其中:

而且，函数γj满足如下条件[1]：

1)存在一个扩张{δt}t>0的半群使得δt:RN→R，δt(x1,…,xN)=(tε1x1,…,tεNxN),其中1=ε1≤ε2≤…≤εN，使函数γj关于δt是εj-1阶齐次的，即：

γj(δt(x))=tεj-1γj(x)，∀x∈RN，∀t>0，j=1,…,N,

2)γ1=1，γj(x)=γj(x1,x2,…,xj-1)，j=2,…,N；

4)等式γj(x)=γj(x*)(j=1,…,N)对任意x∈RN成立，这里x*=(|x1|,|x2|,…,|xN|)；

5)等式γj(x+z)=γj(x)(j=1,…,N)对任意x∈RN和z∈ZN成立。

退化算子Δγ包含了如下的Grušin型算子：

其中(x,y)表示RN1×RN2中的点。GRUIN[2]研究了α是整数的情况，Franchi和Lanconelli[3-4]研究了α不是整数的情况。Δγ算子还包含如下强退化算子：

其中α,β是非负常数，Anh[5]研究了这个算子Pα,β。在文献[1]中有关于Δγ算子的更多信息介绍。

目前，Anh和My[6]，Luyen等[7]及Chen等[8]在RN的有界域Ω中研究了半线性退化Schrödinger方程解的存在性及多解的存在性问题，在有界区域中对于方程所对应的能量泛函所在的空间嵌入到Lq(Ω)中的紧性是很容易得到的，但是本研究的方程是在RN上进行的,加大了研究的难度。在RN上的带Δγ算子的半线性椭圆型偏微分方程解的存在性的研究结果还相当稀少，仅Luyen和Tri[9]运用对称山路定理得到了如下的带Δγ算子的半线性椭圆型偏微分方程

(2)

无穷多解的存在性，其函数空间是：

其中位势函数V(x)满足：对任何实数C>0集合{x∈RN∶V(x)

本文考察带有常数位势函数的带Δγ算子的椭圆型偏微分方程(1)解的存在性，结果如下：

1)b∈L∞(RN)且b(x)≥1,∀x∈RN；

则方程(1)至少有一个非平凡解。

为了完成定理的证明，需要如下的临界点定理[10]：

定理2(山路定理)假设H是Banach空间，J∈C1(H,R)满足J(0)=0，存在正常数α和ρ使得

1)当‖u‖H=ρ时，J(u)≥α；

2)存在v∈H使得‖v‖H>ρ且J(v)<0；

如果J满足(PS)c条件，则c是J的临界值，这里

2 变分结构和定理证明

首先考虑极限情形，即方程(1)中的b(x)=b∞=1时非平凡解的存在性，也就是考虑方程

(3)

(4)

(5)

(6)

证明取{un}⊂B是Sp+1的极小化序列，即当n→∞时有|un|p+1=1,‖un‖2→Sp+1。根据文献[10]中的引理2.1得

其中B(y,1)表示以y为圆心1为半径的球。由此可知存在序列{yn}⊂RN使得

(7)

令vn(x)=un(x+zn)，通过平移不变性得

|vn|p+1=1,‖vn‖2→Sp+1,

(8)

(9)

根据文献[11]的Brézis-Lieb引理：如果hj∈Lq(RN),q∈(1,∞)是有界的并且几乎处处在RN中有hj(x)→h(x)，则

(10)

从而易得

(11)

由Sobolev不等式和(11)式可得

函数t在(-ε,ε)上是可导的，其导函数如下：

由上可得

(12)

即

(13)

(14)

(15)

1)当‖u‖=ρ时，Jb(u)≥α；

证明根据Jb(u)的定义显然有Jb(0)=0。

1) 从(6)式可得

因此，存在实数M>0，当t>M时，有v=te0满足‖v‖>ρ以及Jb(v)<0。

引理4 假设函数b(x)满足定理1中条件1)，2)成立，则泛函Jb(u)满足(PS)cb条件，这里

Jb(un)→cb,J′b(un)→0。

(16)

显然当n充分大时，

(17)

(18)

根据(18)式以及(un-u1,u1)=o(1)，显然

=Jb(un-u1)+Jb(u1)+o(1)。

结合(16)式以及(17)式，推出

Jb(un-u1)≤cb+o(1)。

(19)

通过相似的方法，有

因为〈J′b(u1),u1〉=0并且当n→∞时，〈J′b(un)，un〉=0，可得存在β≥0满足

(20)

由定理1中条件2可推出对任何ε>0，当n,R充分大时有

从而由(20)式可知

(21)

结论与前面c∞>cb矛盾。因此β=0，则‖un-u1‖2=0，泛函Jb(u)满足(PS)cb条件。

3 结 语

本文主要对带有Δγ算子的Schrödinger方程进行了研究，利用山路定理以及变分法找到带有Δγ算子的Schrödinger方程非平凡解的存在性，所研究的方程中b(x)是渐进常数的，如果将b(x)换成渐进线性的，是否同样可以得到带有Δγ算子的Schrödinger方程非平凡解的存在性呢？这将是未来研究工作之一。