回归数学本质 培育核心素养——APOS理论指导下的“事件的相互独立性”教学探索

徐 靖

(江苏省苏州中学 215007)

1 课例背景

概率论是研究随机现象规律性的数学学科，在经济、金融、保险等领域应用广泛，旨在提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理等素养．人教A版《普通高中教科书·数学》(下称“新教材”)对概率章节的变动较大，修订的必修课程中增加了样本点、有限样本空间、样本点和事件的关系等内容，删去了几何概型，将“事件的相互独立性”变为必修内容，由于没有条件概率的铺垫，从研究概率的基本性质出发，提出问题“由和事件的运算性质，积事件的概率与两个事件的概率会有怎样的关系”，从特殊到一般，归纳出事件的独立性，为后续的概率学习打好基础．

新教材的编写对学习事件的独立性提出了更高的数学抽象要求，承担了培养学生分析随机现象能力的育人任务，特别重视概念教学，也更契合新课标的精神．基于此，笔者根据APOS理论，引导学生在社会线索中学习数学知识，分析数学问题的背景，从而建构数学思想．以下是从操作(Action)、过程(Process)、对象(Object)、图式(Scheme)四个方面对新教材必修二“事件的相互独立性”概念教学进行的实践探索．

2 教学设计

2.1 操作——发现事件的独立性

游戏1 甲乙两人进行“石头、剪刀、布”的游戏(假设两人出何手势是等可能的)．记事件A=“甲出石头”，事件B=“甲出布”，计算P(A),P(B),P(A+B)，并研究它们的关系．

提出问题积事件AB的概率是多少？哪些条件下研究积事件的概率更有意义？

引导学生总结：P(AB)=0，当A∩B≠∅，即A,B不是互斥事件时更有意义．

游戏2 甲乙两人进行“石头、剪刀、布”的游戏(假设两人出何手势是等可能的)．记事件A=“甲出石头”，事件C=“乙出布”，计算P(A),P(C),P(AC)，并研究它们的关系．

提出问题你还能举出满足上述关系的例子吗？你认为哪些条件下此关系恒成立？

学生很容易受到启发，甲乙两人出何手势并不会互相影响，那么总会有P(AC)=P(A)P(C)．

设计意图APOS理论认为要从社会活动出发，使学生对抽象的概念先有感性认知，再通过实例反思提炼．教师采用学生熟悉的“石头、剪刀、布”游戏，应用古典概型回顾和事件的运算性质，在已有知识基础上建立任务，发现了互斥事件下研究积事件意义不大，再从甲乙两人的状态出发，得出互相不受影响的事件满足P(AC)=P(A)P(C)，这与学生的直观感受相吻合．并通过学生主动举例，加强理解、丰富内涵，为后续的数学抽象奠定基础．

2.2 过程与对象——事件的相互独立性的内涵与外延

教师给出定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．

提出问题谈谈你对独立的理解，尝试给出一些特例．

引导学生总结：(1)两个事件独立是指事件A的发生不影响事件B发生的概率；(2)必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立．

思考1 互斥事件是否为独立事件？

思考2 概率不为0的两个独立事件是互斥事件吗？

引导学生根据独立性定义推理得出：若P(A)>0，P(B)>0，则事件A,B相互独立与A,B互斥不能同时成立．

思考4 若A,B,C两两互斥，则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)，若A,B,C两两独立，是否有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)？

对于思考3，学生容易从直观经验获得，教师依托互斥事件的运算性质演示一般推导方法．对于思考4，学生各执一词，教师给出游戏3为学生思维发展铺路搭桥．

游戏3 甲乙两人进行“石头、剪刀、布”的游戏(假设两人出何手势是等可能的)．记事件A=“甲出石头”，事件B=“乙出布”，事件C=“甲赢”，根据此结果试回答思考4．

设计意图过程与对象是APOS理论中概念建构的重要环节，旨在通过实例让学生主动探索完成概念的理性抽象，由于没有条件概率的铺垫，教师根据生活中的游戏问题打开学生认知，使其从直观感受出发获得独立性的定义，运用四个环环相扣的阶梯式思考，揭示了独立性的内涵外延，一个游戏贯穿始终，抽丝剥茧，让学生在活动中升华概念，体悟本质．

2.3 图式——形成思维导图

典例现有一个摸球游戏，箱子中有6个相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，A=“第一次取出的球是1号球”，B=“第二次取出的球是2号球”，C=“两次取出的球的数字之和是8”，D=“两次取出的球的数字之和是7”，则四个事件中相互独立的有哪些？

图1

教师引导学生列表分析如下(图1)：根据独立性的定义，学生总结得出事件A与事件B，事件A与事件D，事件B与事件D相互独立，但A,B,D均相互不独立．

教师总结：实际问题中，两个事件相互独立，大多是依据经验(譬如“石头、剪刀、布”的游戏)，但在较复杂的问题中，主观判断容易出错，需使用公式检验事件的独立性.更进一步，两个事件独立是指事件A的发生不影响事件B发生的概率，而不是说事件A的发生不影响事件B的发生，这就是经验主义导致的错误．

通过典例，学生对独立性有了新的认识，教师邀请学生发言讨论，并绘制如图2所示的思维导图．

图2

设计意图APOS理论中的概型阶段是指概念的运用阶段，通过一定的实例研究使学生进一步理解概念的本源，最终形成综合的心理图式．教师选用了2021年新高考全国Ⅰ卷单选第8题，改变了原题问法，旨在纠正学生对独立性理解的经验主义错误，指出对于复杂问题必须通过公式给出判断，而主观认知往往会出错．使用列表法解题使学生一目了然，并对抽象的概念有了形象的认知，在熟悉的游戏和经典的独立性例题中体会数学来源于生活又能应用于生活．学生形成了自己的思维导图，达到了心理图式的效果．

3 课例分析与教学反思

3.1 课例分析

整堂课总体比较流畅.一方面对于证明，因受时间限制，主要由教师引导示范，在举例环节也因停留较短导致学生回答较为局限，但都在原有设定下．另一方面，本节内容由运算性质出发，讨论了互斥事件与独立事件的关系，用一个游戏贯穿始终，简明扼要地回答了两两独立并非相互独立这些较为反经验的问题．应用列表的方式解决典例，将抽象问题形象化，使学生对独立性的理解达到了新高度，体会“两个事件独立是指事件A的发生不影响事件B发生的概率，而不是说事件A的发生不影响事件B的发生”此中深意．学生在课堂中主动思考、独立探索，事必躬亲解决问题，最终柳暗花明形成了各自的思维导图．

3.2 教学反思

新课标提出高中数学教学应以发展学生学科核心素养为导向，创设教学情境，启发思考，引导学生把握数学本质，因此概念教学至关重要，传统的“定义+例题”的授课方式已无法满足新课标的要求，APOS理论是成功的概念教学实践，在这次尝试中教师也总结了一些心得体会与同行分享．

(1)从最近发展区出发，创设有趣的情景教学

概率问题是离学生很近的数学问题，生活中处处有概率，这为情景教学提供了有利条件．本文选用的“石头、剪刀、布”的游戏，虽在前两个设定中较为普通，但在游戏3中言简意赅、立竿见影，使趣味性和知识性融合得恰到好处．

(2)使用问题串，为思维搭建脚手架

问题串是促进数学概念内涵、外延的重要手段，一个好的问题串，能有效推动学生思维发展．新教材在概率章节的内容与大学衔接紧密，是较为完整的、系统的概率论介绍，只有让学生经历概念的形成过程，在教师引导下内化、压缩，在头脑中进行描述、反思，最终通过数学符号语言理性抽象，才能帮助学生更好体悟概念本质，使其成为知识的主动探索者和构建人．

(3)探索与展望

概念教学不能只是平铺直叙，它应该是来源于社会的、生活的，是数学学科对一般事实的总结和归纳，带领学生经历概念的发生与发展有助于其更好地理解数学抽象的意义，促进核心素养的发展，激起数学学习的兴趣，这也是我们每一位教师不断奋斗的美好愿景．