“数形结合”思想在小学中高年级数学教学中的应用

宁爱荣

（甘肃省武威市凉州区下双镇九年制学校，甘肃武威 733000）

新课程标准指出了数形结合思想在实际教学及后续应用中的重要作用与意义。在教学实践中，通过数形结合的方式能够使学生对于数学问题产生直观印象，无论是在教学效率还是在学生的理解水平上均具有明显优势。然而，教师在应用数学结合的过程中依旧存在一定的不足，如没有对数形结合思想进行有效传导、没有对教学过程进行有效展示等。基于上述原因与问题，在探讨数形结合思想应用价值及当下存在问题的基础上，以小学高年级为例对其在数学课堂中的应用开展研究。

一、数形结合思想的应用价值及存在问题

（一）数形结合思想的应用价值

1.有助于学生掌握知识点。通过图像的方式将抽象、复杂的数学问题进行表达，使得相关概念的表达更为准确，信息传播更为高效。在教师层面上，多了一种知识呈现方式，使课堂元素更为多元，课堂氛围更加活泼。在学生层面上，有助于学生对于相关概念的理解，此种方式不仅具有数字和文字展示，更可通过图像的方式进行视觉展示，尤其是在数学的动态过程理解上更是具有不可替代的优势，在多脑区协调的条件下建立更为立体的信息维度，便于学生加深对于概念及知识的理解。

2.有助于学生提高解题能力。通过图形的方式建立更为直观的展现体系，进而在对比大小关系、数量关系、比例关系等方面取得实际的效果。数形结合的优势还在于其信息密度的显著增加。在传统的应用题中，需要通过很多文字对已知条件进行描述，而一张图表可对全部的已知条件进行展现。针对部分图表类题目，也能够使学生更为快速地获取已知条件以及问题指向，客观上提高了解决问题的速度与准确性，更利于建立有效的解题思维。

3.有助于学生建立综合思维。数形结合思想能够帮助学生建立学科之间的立体思维，尤其是在建立代数与几何的相关关系上具有明显作用。学生可通过读图获得相关数字信息，也可将数字信息有效地转化为图像。这一能力的构建有助于学生的综合知识学习与运用。不仅仅在数学课堂，对于学生的未来学习，如科学课程、物理课程、化学课程等均具有积极作用与影响。这也符合知识学习的客观规律，在实际生活中的问题解决很难仅依靠单一学科知识，往往是综合能力的体现，而通过数形结合的方式可锻炼此种能力。

（二）数形结合思想应用中的问题

1.主观上重视程度不足。虽然在部分课堂中数形结合的教学方式得到了一定的应用，也起到了一定的传导思想的作用。但是，针对数形结合思想的研究与运用尚未形成有效体系，零散的应用仅能够在对应的知识点教学中起到作用，而无法形成数形结合思想，对于学生的相关能力建设作用也相对薄弱。教师技能也是限制该思想在教学中具体应用的限制条件之一，尤其是在图形构思、图形实现以及综合展示上存在明显的不足。

2.客观上理解较难成型。由于课程设置以及教师教学过程中不重视显现过程，容易形成学生理解不到位，诸如“画图还不如直接算”等错误理解普遍存在，甚至存在“小题懒得画，大题画不明白”的现象。这一现象的产生，一方面是教师对于数形结合的相关作用宣导不到位，学生没有真正理解数形结合思想在数学学习过程中重要作用；另一方面也存在学生对于数形结合的学习没有达到循序渐进的效果，而是以解决具体问题为导向，进而产生了此种工具“不好用”的错误认知。

3.条件上过程难以落实。即使教师具有应用数形结合的主观能动性在能力上也具备相关技能，但在实际落实中依然会受到条件的限制。数形结合的落实需要数字化课堂的配合，且在部分图形的编辑上需要专业软件来予以实现。如果达不到这一条件很容易变成“吃力不讨好”的额外负担。另一方面，学生的条件参差不齐很难做到与教师之间的有效配合，尤其是在课下任务的完成上更是缺少必要条件。

二、数形结合思想在小学高年级数学中的应用实践

（一）方式性应用模式

方式性应用主要是指以图像表征数学问题中的已知条件或者是数学概念，使得条件及概念更为清晰，将抽象转变为清晰可见的直观印象，便于学生理解。在方式性应用的过程中，教师要重点展示图像的构成过程，并帮助学生总结由条件变化为图像的思维方式以及必要性，进而引发学生对数形结合思想的思考。

案例1：小明与小王分别驾车到某地，小明的车速为每小时60 千米，小王出发晚了半个小时，以较快的车速追赶，车速为每小时80 千米，问小王追上小明需要多长时间。

分析：此类问题为典型的追及问题，可认为两车在同一直线上行驶，题干中隐含的条件是出发点与某地之间的距离不变。在一般的教学中往往采用寻找等量列方程求解的方式对此类问题进行作答。而学生常常由于变量之间的相关关系错误或等式构建错误等，而无法正确地进行解决。针对这一问题，采用简单图像的方式可有效规避上述两种问题，进而提升学生的解题效率与正确率。在进行作图的过程中遵循如下方法与过程：1.首先根据距离不变的已知条件绘制出发点到某地的线段；2.在线段中标记出小明先出发的半小时；3.小王速度较快，可见小王必然在小明出发点与某地之间追上小明，而时间未知。根据上述条件可绘制出追及图形；4.对图形进行分析发现小王追上小明后二者走过的总路程相等，或者小王从出发点到相遇点以及小明从先出发半小时后地点到相遇点所用时间相等。

图1 案例1 数形结合示意图

解题：根据上述分析，本题的具体解题思路如下：以所用时间相等为等式条件。小明走过的路程为60×0.5+50x，小王走过的路程为80x，联立等式后可解出x=1。

（二）作用性应用模式

作用性应用主要是指让学生能够从图形中“读取”数学条件，进而对相关的问题进行求解。此种方式类似于语文中的看图说话，只不过需要对图像具有充分的解读能力，此种能力决定了学生能否“看懂”图像，并形成由图像到数学关系的反向推理能力。

案例2：请详细描绘下图中台风的运动。

分析：该案例主要考查学生对于图像的观察能力，重点在于学生能否从图像中提炼足够的数学信息，进而对数学关系以及相关问题进行求解，其核心要求是全面、准确，并尽可能挖掘隐藏信息。

图2 案例2 数形结合示意图

解题：从图像中可清晰地看出包括了三方面的信息，即方向、距离、走向。隐含信息为地址。针对上述信息该图像可做如下描述：“台风生成后沿东向西运动540 千米，转向西向北30°方向并运动600 千米后到达A 市，在A 市沿西向北60°运动20 千米到达B 市，随后继续沿东向西方向运动100 千米。”

（三）互动性应用模式

互动性应用模式主要是指通过将数字变成图像的方式引发学生之间以及师生的讨论，进而获得与题干相对的更多信息。此种应用方式的核心是利用图像信息的丰富性形成开放性问题，进而引发学生的讨论，提高学生对于数学的兴趣。

案例3：班级内共有50 名学生，学生根据自己的兴趣与爱好报名参加了体育兴趣班，请根据图像进行自由讨论。

分析：讨论是开放性问题，并不以具体的问题为方向，学生可根据所获得的信息进行自由讨论。此种应用的核心在于引发学生对图形内的信息进行二次加工，进而获得更多的结论。

图3 案例3 数形结合示意图

解题：1.根据班级总人数及各兴趣班所占比例可获得各兴趣班的具体人数；2.可求得参与其他体育项目的学生人数及比例；3.可对各项比赛进行组织，比如参加乒乓球兴趣班的学生一共有16 人，以2 人取优的方式需要经过16 场比赛才能够决出冠亚季军等。

三、应用策略与建议

（一）以作用为导向设计教学任务

要确定并非任何问题均能够以数形结合思想进行解决，其中对较为简单问题进行作图会增加学生负担，降低学生兴趣；对较难问题进行作图则会显著提高对学生理解及抽象思维要求。因此，教师需要按照学生水平有针对性地循序渐进进行构建，进而让学生的相关能力得到逐步增长。小学高年级数学中，应用题型增加，对学生的数学知识理解能力和应用能力也提出了更高的要求。在数学应用题解题过程中，有的学生看到复杂的条件和数字头脑就会空白，思绪混乱，无法将题目中的条件和数学知识结合起来。数形结合思想的应用可让学生通过图形的方式直观地表达复杂的数学语言和数学符号，让复杂的条件和数字简单化、形象化，帮助学生更好地理解题目意识、理清解题思路，提高学生的实际问题解决能力。

（二）以提高能力为导向设计课程

应用过程要以能够提升学生的数学能力为基本导向。课堂的教学目的不仅仅是教师能够灵活地应用数形结合思想对相关概念进行教学，更多的是将数形结合思想向学生进行传导，使之能够切实地运用此种能力解决未知问题。学生数学能力的构成较为多样，需要教师在不断的教学实践中予以观察。基于此，在课程设计的过程中要以学生的能力提升为根本目标与课程设计导向。第一，要清楚学生的能力边界，即学生在数形结合思想领域内应该达到何种能力层次；第二，要掌握学生的能力建设现状，设计对应的读图或者解图问题对学生的数形结合能力进行评价与分析；第三，构建与学生学习现状及能力需求相适应的教学过程。如部分学生对于数字转变为图像的能力有所欠缺，教师可针对性地提出数量关系图表专题课程来予以解决。或部分学生对于空间理解能力稍差，教师则可进行专项读图课堂来进行能力构建。基于此，形成有效的能力建设课堂，将数形结合思想的应用范围进行扩大，不局限于某一类问题而是从数学的宏观维度上去观察学生在此方面的能力水平，进而提出有效的可行策略。

（三）以高效应用为导向丰富课堂

教师应该具备相应的能力才能够将数形结合思想向学生进行有效的传导，而评价教师是否能够进行有效的数形结合教学的标准则是数形结合的高效应用。教师要运用一切可行的手段为提高教学效率服务，包括但不限于多媒体技术、数据库技术等。只有如此教师才能够对数形结合思想进行有效的课堂实现，才能够对课堂教学内容进行有效丰富。落实到具体的课堂建设上来可采用如下三种方式：其一是对数形结合具有较为深刻的理解，明确何种问题可通过图形的方式进行有效展示；了解图形展示的目标，能够按照学生的理解方式对图形进行对应讲解。其二是掌握有效的数形结合构建方法。结合当下数字化课堂的具体建设要求，能够使用画图软件或者其他专业软件对数学问题进行图像展示，并能够与课件、视频、文字等进行有效结合，达到高效传输信息的根本目的。此种方式能够进一步提高数形结合思想的传输效果，尤其是在课堂中引入了信息技术元素不仅能够达到丰富课堂的效果，更能够将数形结合的动态过程进行有效的展示。如变更已知条件时的图形变化。其三是教师要掌握有效的教学方法，数形结合的教学应用并不是利用图像解决某一问题，而是需要让学生在解决问题的过程中体会并掌握数形结合的思想核心，能够有意识地利用图像工具自主解决陌生问题。为此，教师要以学生思维训练为引导构建教学方法。