用常规思维解决非常规问题

卢红卫

(江苏省张家港市外国语学校 215600)

2021年全国高中数学联合竞赛一试第7题看似形式复杂，实则用简洁的常规思路即可解决.

题目a1,a2,…,a21为1,2,…,21的排列，满足|a20-a21|≥|a19-a21|≥|a18-a21|≥…≥|a1-a21|，这样的排列的个数为.

思路1 特殊开路，归纳猜想.

a1,a2,…,a5为1,2,…,5的排列，满足|a4-a5|≥|a3-a5|≥|a2-a5|≥|a1-a5|这样的排列的个数N=1+2+22+2+1.

a1,a2,…,a7为1,2,…,7的排列，满足|a6-a7|≥|a5-a7|≥…≥|a2-a7|≥|a1-a7|这样的排列的个数N=1+2+22+23+22+2+1.

归纳猜想：a1,a2,…,a21为1,2,…,21的排列，满足|a20-a21|≥|a19-a21|≥|a18-a21|≥…≥|a1-a21|这样的排列的个数N=1+2+ 22+…+29+210+29+…+2+1=3 070.

思路2 利用数轴，一一罗列.

数轴上标号为i(i=1,2,3,…,20,21)的点记为Pi，共有21个点，a1,a2,…,a21分布在这21个点，|ai-a21|表示数轴上两点距离.

当a21在P1处，则ai(i=1,2,…,20)在Pi+1处，这样的排列数为N1=1.

当a21在P2处，则a1,a2在离P2距离为1的P1,P3两点，ai(i=3,4,…,20)在Pi+1处，这样的排列数为N2=2.

当a21在P3处，则a1,a2在离P3距离为1的P2,P4两点，a3,a4在离P3距离为2的P1,P5两点，ai(i=5,6,…,20)在Pi+1处，这样的排列数为N3=22.

……

当a21在P11处，则a1,a2在离P11距离为1的P10,P12两点，a3,a4在离P11距离为2的P9,P13两点，……，a19,a20在离P11距离为10的P1,P21两点，这样的排列数为N11=210.

当a21在P12处，则a1,a2在离P12距离为1的P11,P13两点，a3,a4在离P12距离为2的P10,P14两点，……，a17,a18在离P12距离为9的P3,P21两点，a19在P2，a20在P1，这样的排列数为N12=29.

……

当a21在P21处，则ai(i=1,2,3,…,20)依次分布在P21-i处，这样的排列数为N21=1.

思路3 寻找规律，合理分类.

因为a21为特殊元素，抓住a21进行分类讨论，又根据对称性，不难发现：a21=1和a21=21时，|ai-a21|的所有取值情况是一样的，a21=2和a21=20时，|ai-a21|的所有取值情况是一样的，a21=i和a21=22-i，i∈{1,2,…,10}时，|ai-a21|的所有取值情况是一样的.

评析思路1通过特殊化思想的运用，先思考两次数字较少的情形，很容易得到相应的排列数，再通过归纳猜想，就很容易得到此题的正确答案.思路2很好地利用了数轴这个有力工具，在黑板上直观呈现，排好a21的位置后，让学生动手操作排ai的位置，随着a21的变化，学生很容易得出相应的排列数.思路3是在思路2的基础上发现了a21=i和a21=22-i，i∈{1,2,…,10}时，|ai-a21|的所有取值情况是一样的，因为存在对称性，所以设a21=k，只需考虑k∈{1,2,…,10,11}的情形.数轴上的操作已经让学生明白其基本原理，学生尝试总结，教师通过适当辅助，完成a2i-1,a2i为k-i,k+i的排列(若k=1，没有这样的i)，且aj=j+1(2k-1≤j≤20)(若k=11，则没有这样的j)这样的规律总结.整个思维过程顺畅，简洁易懂，学生对解决此类问题所用的研究思路有了深刻感悟.

紧接着，笔者给出了以下题目让学生练习：已知数列ak=2k(k=1,2,3,…,n)，则所有可能的乘积aiaj(1≤i≤j≤n)的和等于.

课堂上学生很快给出了如下两种思路：

思路1 列举找通项.

思路2 利用数表，直观呈现.

a1a1a1a2a1a3a1a4a1a5…a1ana2a1a2a2a2a3a2a4a2a5…a2ana3a1a3a2a3a3a3a4a3a5…a3ana4a1a4a2a4a3a4a4a4a5…a4ana5a1a5a2a5a3a5a4a5a5…a5an…………………ana1ana2ana3ana4ana5…anan

图1

评析练习与例题看似不相关的两个问题，实则所用的思想方法类似，都是通过特值开路、一一罗列后探求规律.而数轴、数表都是教材上常见的工具，通过这些直观工具的运用，在动手操作的过程中发现规律.练习思路1先是取i=1，罗列a1aj(1≤j≤n)所有项的和，再取i=2，罗列a2aj(2≤j≤n)所有项的和，接着找出通项为2k(2k+2k+1+…+2n)，化简通项得2k+n+1-22k，最后为两个等比数列求和.竞赛题的思路2利用数轴，练习的思路2则利用数表直观呈现，学生通过观察可将数表分解为三个部分，由对称性知左右两部分各项和相等，中间和右边各项和即为所求.

如何提升优秀学生的数学思维，面对复杂问题，突破思维壁垒，是值得我们思考的问题.数学竞赛题复杂多变，怎样在错综复杂中寻找到最佳路线，需要的是巧做、化繁为简，利用常规思维方法来思考并解决复杂问题.学生通过动手操作，发现问题的本质规律，克服畏难情绪，增强学习信心，从而提高学习效率，形成优秀的思维品质和数学素养.