谐变力作用功能梯度旋转圆板强非线性主共振

王永刚，胡宇达，徐浩然

(1. 燕山大学建筑工程与力学学院，河北，秦皇岛 066004；2. 燕山大学河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，河北，秦皇岛 066004；3. 晋西工业集团有限责任公司，山西，太原 030027)

功能梯度材料(FGM)[1]作为一种新型材料，具有良好的力学性能，是一种近年来被广泛应用的材料，在航空航天、核工业、机械制造以及医疗设备等方面都有着广阔的应用前景。由功能梯度材料制成的各种形状的构件常处于复杂的特定工作环境中。因此，为了满足生产实践需求，研究复杂环境下功能梯度材料构件的力学性能十分必要。

随着功能梯度材料在生产生活的应用推广，学者们对其制备、服役及其力学性能等方面做了大量研究，胡君逸等[2]研究了热环境下正交各向异性板的固有特性和激励响应。赵军等[3]阐述了功能梯度材料的概念、设计及制备方法以及不同领域上的应用。温度对功能梯度材料的影响不可忽视，学者们对此进行了深入的研究，TU 等[4]基于高阶剪切理论导出了功能梯度板振动方程，并分析了温度的影响。李世荣等[5]研究了材料性质沿厚度变化FGM 圆板的热弹阻尼特性。赵伟东和KIANI 等[6-7]分析了FGM 扁球壳和板的热屈曲及稳定性问题。何昊南等[8]研究了功能梯度指数和温度对FGM 梁热后屈曲路径和后屈曲振动的影响规律。HU 等[9]针对陶瓷－金属FGM 圆板的非线性动力学及分岔特性进行了研究。BAYAT 和KORDKHEILI 等[10-11]分别分析了功能梯度旋转圆板和圆环板的热弹性问题。SONI 等[12]考虑热效应，研究了含裂纹功能梯度板的振动响应及频率特性。胡宇达等[13]研究了FGM 板的热弹固有振动特性，分析了旋转因素的影响。旋转运动可能会引起功能梯度材料失稳和破坏等问题，使材料表现出复杂的动力学行为。YEH 和HASHEMI等[14-15]分别研究了旋转圆环板和厚板的振动问题。BAYA 和MARETIC 等[16-17]研究了FGM 旋转圆形板的弯曲和稳定性问题。LI 等[18-19]研究了具有热弹性阻尼(TED)的FGM 板，用复频率法得到了解析解，讨论了剪切变形、材料梯度指数、板厚等因素对FGM 板热变形的影响。旋转运动是圆形板构件最常见的运动之一，使构件处于复杂的受力环境中，且由于功能梯度板密度连续变化，在旋转过程中会产生复杂的内力变化，因此，对旋转运动功能梯度板振动行为的研究具有重要意义。

当新型材料结构处于复杂运动状态或复杂场环境中时，将表现出非线性耦合特征。其中，对于转速影响下FGM 结构强非线性振动问题的研究还很少。本文针对金属-陶瓷功能梯度圆板，研究旋转运动状态下系统强非线性振动问题，建立纵横耦合非线性振动方程组，求解强非线性共振系统的近似解析解，确定共振特征量变化规律。

1 基本振动方程

1.1 材料属性

研究图1 柱坐标系 (r,θ,z)下的功能梯度圆板，其上表面到下表面由金属逐渐过渡到陶瓷，呈梯度变化规律，h、R和 Ω分别为板厚、半径和旋转速度，且圆板做匀速转动，不考虑旋转角加速度影响。

1.2 动能和势能

对于旋转运动状态下的圆板结构，因板内点的速度分量表达式为[21]：

根据以上动能和势能的给出，根据哈密顿变分原理，推得旋转运动FGM 圆板的非线性纵横耦合位移型运动方程组：

1.3 非线性方程

2 方程的伽辽金离散与静挠度

假设圆板周边为夹支约束，其边界条件为：

基于分离变量法，将满足式(14)的振型函数取为幂级数展开形式，可将式(12)、式(13)的解设为[13]：

3 改进多尺度法求解强非线性问题

将式(24)代入方程中，展开后令两边 α的同次幂系数相等，得到各阶近似方程：

再将定常解代回方程，可得强非线性振动系统的近似解析解：

基于运动稳定性理论，由式(29)、式(30)可得判别定常解稳定性的特征方程，并基于其特征根情况，最终推得非线性系统定常解的稳定性判别条件式：

4 算例分析

针对考虑热效应旋转运动功能梯度圆板的主共振进行算例分析。圆板的泊松比μ=0.3，阻尼系数 ξ=0.01 ， 所在的环境温度为T0=300 K，圆板金属侧温度为Tm=300 K，陶瓷侧温度为可变温度，用Tc表示。其组分由 Si3N4和 SUS304构成。其中Si3N4的 密 度 和 热 传 导 率 为： ρc=2370 kg/m3，κc=9.19 W/(m·K) ； SUS304密度和热传导率为：ρm=8166 kg/m3，κm=12.04 W/(m·K)。圆板的弹性模量和热膨胀系数与环境温度有关，材料的温度相关系数P0、P-1、P1、P2和P3见表1。

表1 两种材料的温度相关系数Table 1 The coefficients of two materials related to temperature

4.1 振幅随频率变化规律

选取功能梯度圆板的半径为R=0.4 m，厚度h=0.008 m ， 体 积 分 数 指 数n=1 ， 转 速Ω=2000 r/min ， 激励力F0=2000N/m2，陶瓷侧温度Tc=400 K ， 圆板内各点起始温度T0=300 K。

图2 给出了热环境中，旋转运动功能梯度圆板共振幅值随调谐值变化的幅频响应特性曲线。图中的实线和虚线分别代表稳定解和不稳定解(下同)。图2(a)～图2(f)分别是不同转速、激励力、体积分数指数、半径、板厚和温度时的幅值-调谐值特征曲线(变化的参数详见图中，其余固定的参数均由前文给出，下同)。由图可知，随着调谐值由负及正逐渐增大，在调谐值等于 0附近激发共振，幅频图出现分岔点，共振幅值由单解变为多解，共振表现出强非线性特征。图2(a)～图2(f)中曲线表明，在共振区域，即 α=0 附近，振幅a明显增大，且共振区域左侧为单解，右侧为多解，出现共振分岔现象。图2(a)、图2(c)、图2(e)和图2(f)中曲线表明，随着圆板旋转转速、圆板体积分数指数、板厚和陶瓷测温度的增加共振曲线出现内缩现象，共振区域逐渐变窄。图2(b)和图2(d)中曲线表明，随着激励力和圆板半径的增大，共振曲线出现外扩现象，共振区域逐渐变宽。分析幅频关系式(30)可见，由于含有转速、板厚、陶瓷侧温度等参数的平方项和幅值的四次方项，故存在相同特定调谐值而其它参数不同时，幅值相等的情况。因此，导致图2(a)、图2(c)、图2(d)、图2(e)、图2(f)中左支曲线间出现相交现象，即在交点左侧振幅随相应参数的增加而减小，而在交点右侧振幅随相应参数的增加而增加。即：图2(f)中曲线表明，随着温度的增加，在调谐值小于某一值时，共振幅值逐渐减小。在调谐值大于某一值时，上支曲线表示的共振幅值随温度的增加而增大，下支下半部分曲线表示的稳定的共振幅值随温度的增加而减小，下支上半部分表示的不稳定的共振幅值随温度增加而增大。

4.2 振幅随温度变化规律

选取功能梯度圆板的半径为R=0.4 m，厚度h=0.008 m ， 激励力F0=2000 N/m2，体积分数指数n=1 ， 圆板内各点起始温度T0=300 K，转速，调谐值 α=0.01。分别绘制不同转速、激励力、体积分数指数、调谐值、半径和板厚下振幅随陶瓷侧温度变化曲线，如图3(a)～图3(f)所示。图中曲线表明，随着陶瓷侧温度增加，上支实曲线所示稳定振幅和虚线所示不稳定振幅先减小后增加，每支曲线有一个极小值。下支实曲线所示稳定振幅先增大后减小，每支曲线有一极大值。

从图3(a)、图3(d)、图3(e)和图3(f)中可知，在同一温度时，随着圆板转速、调谐值、圆板半径和厚度的增加，上支实线表示的稳定振幅也在增大。从图3(b)、图3(e)中可知，在同一陶瓷侧温度时，随着激励力和圆板半径的增大，下支曲线表示的稳定振幅也在增大。从图3(a)、图3(d)、图3(f)中可知，在同一温度时，随着圆板转速、调谐值、厚度的增大，下支曲线表示的稳定振幅减小。

4.3 振幅随激励力变化规律

图4 给出了热环境中旋转运动功能梯度圆板共振幅值随激励力变化的幅频响应特性曲线。选取圆板的半径R=0.4 m ， 厚度h=0.008 m，转速Ω=2000 r/min ， 体积分数指数n=1 ， 调谐值α=0.01 ， 陶瓷侧温度Tc=400 K，圆板内各点起始温度T0=300 K。

由图4(a)～图4(f)可知，不同调谐值、转速、体积分数指数、陶瓷测温度、圆板半径和厚度下，功能梯度圆板共振幅值具有多解，随着激励力增大到某一值时，共振幅值由多解变为单解。

图4(d)中曲线表明，当激励力在0 N/m2～1000 N/m2范围内，激励力取一定值时，上支曲线表示的稳定的振幅、下支曲线表示的稳定和不稳定振幅都随圆板半径的增大而减小。

图4(a)、图4(b)、图4(c)、图4(e)和图4(f)中曲线表明，当激励力在一定范围内取一定值，上支曲线表示的稳定的振幅和下支曲线上半部分表示的不稳定的幅值分别随调谐值、转速、功能梯度指数、板厚和陶瓷测温度的增大而增大，下支下半部分曲线表示的稳定的幅值分别随上述参数的增大而减小。

4.4 多值解临界分岔点曲线

图5(a)～图5(f)是共振幅值由单解多解突变临界点绘制的分岔点趋势图，图中光滑曲线两侧为共振幅值的多解区域和单解区域，曲线上的点表示的是振幅的多解区域与单解区域的过渡幅值，曲线的存在表明了振动具有非线性特征。

图5(a)表示随着激励力的逐渐增大，分岔点对应的调谐值也在增大，且增大趋势在减缓。图5(b)表示随着圆板转速的逐渐增大，分岔点对应的调谐值在逐渐减小，并且减小趋势在减缓。图5(c)表示随着圆板陶瓷侧温度的逐渐增大，分岔点对应的调谐值先增大后减小，并且在897 K 时达到极大值。图5(d)表示随着圆板转速的增大，分岔点对应的激励力也在逐渐增大，并且增加趋势在增大。图5(e)表示随着圆板陶瓷侧温度的增大，分岔点对应的激励力先减小后增大。并且在893 K时，分岔点对应的激励力最小。且曲线的上半区域为单解区域，曲线的下半区域为多解区域。图5(f)表明，随着圆板陶瓷侧温度逐渐增大，分岔点对应的圆板转速先增大后减小，并且温度在663 K时，分岔点对应转速达到最大。且曲线的上半区域为多解区域，曲线的下半区域为单解区域。

4.5 结果对比与验证

选取功能梯度圆板的调谐值α=0.01，半径R=0.4 m，h=0.008 m，体积分数指数n=1，激励力F0=2000 N/m2，陶瓷侧温度Tc=300 K。绘制转速Ω=2000 r/min 时解析解对应的时程图和相图，如图6 所示。图中的幅值与图3(a)中温度Tc=300 K，转速Ω=2000 r/min 时的幅值大小一致。

由时程图6(a)可知，系统做稳定的往复周期运动，稳定解一和稳定解二的幅值相差较大，不稳定解的幅值与稳定解一的幅值较为接近，三个解的振动频率相同。系统在波谷时振动幅值要大于波峰时的振动幅值，这是由于振动微分方程的解析解的表达式(31)包含一项负常数。由图6(b)的相图可知，相轨迹为椭圆形环绕曲线，且振动幅值负的振幅略大于正的振幅。

作为理论验证，为对比本文与文献[25]，特将本文中的功能梯度圆板的物性参数设成与该文献一致。假设圆板转速为 0，且不考虑温度效应，选取功能梯度圆板半径R=0.3 m ， 厚度h=0.004 m，体积分数指数n=2 ， 激励力幅值F0=100 N/m2，绘制了图7 所示相图。由图可见，本文的解析解与该文献数值解得到的响应图结果基本一致，从而验证了本文理论结果的正确性。

5 结论

考虑旋转因素和热效应作用，针对功能梯度薄板结构强非线性共振问题进行了研究。推得强非线性振动方程，应用改进的多尺度法得到圆板幅频响应方程和解析解。算例结果表明：

(1) 当圆板转速、激励力、功能梯度指数、陶瓷侧温度、半径和厚度为定值时，随着调谐值由负及正逐渐变化，幅值出现分岔点，且由单解变为多解，共振表现出典型非线性特征。

(2) 当其他参数为定值时，随着圆板陶瓷侧温度从零逐渐增大，上支曲线表示的稳定振幅先减小后增加，每支曲线有一个极小值。下支曲线实线表示的稳定的振幅先增大后减小，每支曲线有一个极大值。

(3) 当激励力在一定范围内，其他参数取一定值时，随圆板半径的增大，稳定和不稳定的振幅都在减小。