倾斜管道内圆柱状颗粒运动的数值模拟1)

李 亮 刘炳瑞 张润辉 张 斌

*(浙江大学力学系流体工程研究所，杭州 310027)

†(广东盈峰智能环卫科技有限公司，广东佛山 528322)

**(南华大学，湖南衡阳 421009)

颗粒悬浮流广泛地存在于自然现象和工业应用中，而颗粒的迁移运动和沉降过程中的运动规律在许多石油化工、环境保护等领域具有极其重要的作用。大部分工作聚焦在颗粒的动力学特性方面，而对于非布朗颗粒在黏性悬浮流中，其运动更贴近实际工程应用。虽然研究中性悬浮颗粒在流场中的运动更加方便[1]，但是重力作用下的颗粒悬浮流是一种更加一般的情况。在大多数情况下，研究工作聚焦在不考虑外部流场下颗粒的沉降，但也有部分工作是将外部压力驱动和颗粒的重力沉降结合[2]。

对于颗粒沉降，Wachmann等[3]应用有限差分法对颗粒沉降过程中颗粒速度的平均值和波动进行研究。Pan等[4]使用拉格朗日乘子法模拟研究流化床中颗粒的运动。Climent等[5]运用近似力耦合的方式研究了颗粒在初始静止流体中沉降过程中速度场，其结果阐明了在有限雷诺数的情况下颗粒尾迹诱导颗粒间相互作用，平均沉降速度的显著降低可以解释为尾流诱导散射过程的增强。Yin等[6-7]使用格子玻尔兹曼方法研究了颗粒沉降过程中速度波动和聚集现象，其结果表明颗粒的速度变化要小于流体的速度变化，因为颗粒不会在与其自身大小相当或小于其自身大小的长度尺度上跟随流体运动。Kuusela等[8]运用浸没边界法研究无外加流场的情况下颗粒稳定的沉降，研究了颗粒速度波动的各向异性。Yan等[9]运用格子玻尔兹曼方法研究球形颗粒在管道中的动力学特性，包含颗粒在重力作用下的沉降过程。其结果表明在重力作用下颗粒出现三层区域，分别为具有透明的流体区域、流动的颗粒悬浮物区域以及密集的沉积颗粒区域。在大多数情况下，在重力作用下透明的流体区域增大，而流动的颗粒悬浮物区域减小。

本项工作中，主要研究在有限宽度的管道中多颗粒的输运以及沉降，探究多圆柱颗粒在倾斜管道中的输运效率问题，综合考虑颗粒重力作用导致的沉降以及流体作用导致颗粒的迁移。建立物理模型，采用计算流体力学-离散单元方法（computational fluid dynamics-discrete element method，CFD-DEM），在考虑重力的情况下对多个圆柱状颗粒在流体作用下在倾斜管道中的运动进行数值模拟，分别分析进口速度、颗粒密度、颗粒长径比、管道倾角以及管道长径比与颗粒输运效率的关系，以期探究颗粒在倾斜管道内颗粒的运动规律。

1 数值计算

采用CFD-DEM对流场及其颗粒的运动进行模拟。CFD-DEM方法是一种典型的欧拉-拉格朗日方法，它采用连续介质理论描述流体，并单独追踪每一个颗粒的运动状态。同时，该方法还考虑了颗粒与流体之间的相互作用，该方法被广泛应用于流化床、气力输运等具有大量颗粒的两相流系统模拟中[10-12]。

1.1 流体相控制方程

流体相控制方程包括连续性方程和动量方程，以下方程包含了颗粒在空间中占据的体积效应及两相间的动量交换作用[13-14]

式中 εg，ρg，ug，p，τg分别为流体的孔隙率、密度、速度、压力和应力项；Sp为颗粒与流体之间的动量交换项；方程采用有限体积法求解。

1.2 颗粒相控制方程

柱状颗粒采用多球模型[15]描述，即由若干个在同一轴线上相互重叠的子球共同组成一个类柱状颗粒，在柱颗粒运动过程中，子球之间保持刚性连接，而柱颗粒之间的碰撞可以通过子球之间的赫兹碰撞定律[16]的软球模型[17]求解。

单个柱状颗粒在求解过程中被视为整体，其运动方程为[18]

式中mi，vi，Ii，ωi分别为第i个颗粒的质量、速度、惯量张量及角速度；Fi和Mi则为第i个颗粒受到的外力及外力矩，体现了重力、气动力（转矩）、碰撞力（力矩）等作用。

1.3 计算设置

图1为计算域示意图。模拟三维圆柱形颗粒在圆管中的运动，设置管径，高度。模拟流体为密度1.2 kg/m3的空气，选取模拟的颗粒密度ρp分别为 600 kg/m3，800 kg/m3，1000 kg/m3，1200 kg/m3，1500 kg/m3，管道长径比变化λc定义为，分别取值4，5，6，7，8，管道倾角取值为 35°，40°，45°，50°，55°，圆柱颗粒长径比λp定义为h/φ，取值2，4，6，8，10；吸入速度变化Vin= 8 m/s，10 m/s，12 m/s，14 m/s，16 m/s。为便于比较，选定颗粒密度600 kg/m3，800 kg/m3，颗粒长径比6，吸入速度14 m/s，管道倾角45°以及管道长径比6作为基准参数。在管道入口处放置颗粒数目Nt为200，管道中通过颗粒数目标记为N，则颗粒输运效率为N/Nt。

图1 计算域示意图Fig.1 Schematic diagram of computational domain

2 模拟结果与讨论

2.1 颗粒性质的影响

本部分探究颗粒性质对输运效率的影响，即分别研究圆柱颗粒密度和长径比对输运效率的影响。分别选取 5种密度 (ρp= 600 kg/m3，800 kg/m3，1000 kg/m3，1200 kg/m3，1500 kg/m3)的颗粒进行数值模拟，进口吸入速度分别取Vin=12 m/s和14 m/s，保持其他物理量不变（管道长径比为6，管道倾角为45°，圆柱颗粒长径比为6）。

如图2所示，不管吸入速度如何，随着颗粒密度增大，颗粒在管道内输运效率减小。然而，通过比较相同密度、不同进口速度的输运效率可以看出：在颗粒密度较小（ρp= 600 kg/m3）时，两种吸入速度下的输运效率相差无几；在颗粒密度中等（ρp= 1000 kg/m3）时，吸入速度为14 m/s时的输运效率与吸入速度为12 m/s时的输运效率相差最大，二者相差52%；当颗粒密度ρp增大至1500 kg/m3，两种吸入速度下的输运效率相差较小。比较两种吸入速度下颗粒的输运效率之差，可以发现随着颗粒的密度增大，两种吸入速度下输运效率之差变化趋势为先增大后减小。

图2 密度(ρp)与输运效率(N/Nt)的关系Fig.2 Relationship between particle density (ρp) and conveying efficiency(N/Nt)

另外针对不同长径比λp颗粒在吸入速度Vin为14 m/s下的吸入效率进行研究，分别选取两种密度（ρp= 800 kg/m3，1200 kg/m3）、5种长径比颗粒(λp= 2，4，6，8，10)，保持其他物理量不变（管道长径比为6，管道倾角为45°，圆柱颗粒体积保持不变），颗粒长径比越大，圆柱颗粒越细越长。需要说明的是：为避免颗粒大小对吸入效率的影响，本部分采用保持颗粒体积不变，改变颗粒长径比，当颗粒长径比为6时，颗粒直径为5 mm。图3详细展示了两种密度的颗粒在不同长径比下的输运效率。整体来看，两种密度的颗粒（800 kg/m3，1200 kg/m3）随着颗粒长径比增大，颗粒的输运效率呈现下降趋势。对于密度为800 kg/m3的颗粒而言，长径比对输运效率的影响较小，颗粒的输运效率随着颗粒长径比增大而出现较小的减小；对于密度为1200 kg/m3的颗粒，颗粒的长径比对颗粒的输运效率影响较大，颗粒的输运效率随着长径比增大出现较大的下降。同时比较两种密度颗粒的输运效率，密度为1200 kg/m3的颗粒输运效率与密度为800 kg/m3的颗粒输运效率之差随着颗粒长径比增大而不断增大。

图3 颗粒长径比λp与输运效率(N/Nt)的关系Fig.3 Relationship between the particle aspect ratio (λp) and conveying efficiency (N/Nt)

2.2 管道设置的影响

除了颗粒密度和形状对其运动的影响，管道的设置也是一个重要影响因素。在这一部分中，分别研究管道长径比和管道倾角对于颗粒输运效率的影响。探究管道长径比λ对颗粒输运效率的影响，通过固定管道直径，改变管道长度来实现管道长径比的变化。固定管道直径可以实现管道截面上颗粒的理论体积通量和孔隙率保持不变。分别选取5种管道长径比(4，5，6，7，8)。管道吸入速度Vin取14 m/s，颗粒密度ρp分别取800 kg/m3和1200 kg/m3，保持其他物理量不变（管道倾角为45°，圆柱颗粒长径比为6）。图4详细展示了颗粒在不同长径比管道中的输运效率变化。对于密度为800 kg/m3的颗粒而言，管道长径比对其输运效率几乎无影响，颗粒在不同管道长径比中输运效率呈现微小波动；而对于密度为1200 kg/m3的颗粒而言，管道长径比对其输运效率影响较大，随着管道长径比增大，颗粒输运效率呈现明显下降趋势，这也说明随着管道越长，输运颗粒的效率越低，因此应尽量避免长直管道的使用，尤其对于密度较大的颗粒。

图4 管道长径比λc与输运效率(N/Nt)的关系Fig.4 Relationship between the channel aspect ratio (λc) and conveying efficiency (N/Nt)

在管道布置过程中管道倾角的选择是一个重要环节，在本部分中管道倾角被定义为管道中心轴线与平面的夹角。在本部分中专门研究管道倾角对颗粒输运效率的影响。选取5种管道倾角θ，分别为 35°，40°，45°，50°，55°，管道的吸入速度Vin为14 m/s下，颗粒密度ρp分别取800 kg/m3和1200 kg/m3，保持其他物理量不变（管道长径比为6，圆柱颗粒长径比为6），数值模拟计算颗粒通过管道的概率。如图5所示，颗粒在不同倾角的管道中输运效率并无明显规律，随着管道倾角增大，颗粒在管道中的输运效率呈现波动趋势。对于密度为800 kg/m3的颗粒而言，管道倾角对其输运效率几乎无影响，颗粒在不同倾角的管道中输运效率呈现较小波动；而对于密度为1200 kg/m3的颗粒而言，管道倾角对其输运效率影响较大，随着管道倾角增大，颗粒的输运效率波动较大。

图5 管道倾角(θ)与输运效率(N/Nt)的关系Fig.5 Relationship between the pipeline inclination (θ) and conveying efficiency (N/Nt)

2.3 吸入速度的影响

在颗粒向上运动的过程中，颗粒在流体作用下克服重力作用向上运动，因此流体吸入速度是一个非常重要的因素。本部分研究在不同吸入速度下两种密度的颗粒的输运效率，选取5种吸入速度 (Vin= 8 m/s，10 m/s，12 m/s，14 m/s和16 m/s)，颗粒密度 ρp分别取 800 kg/m3，1200 kg/m3，保持其他物理量不变（管道长径比为6，管道倾角为45°，圆柱颗粒长径比为6）。

如图6所示，随着吸入速度增大，两种密度的颗粒的输运效率均呈现增大趋势，且密度小（ρp= 800 kg/m3）的颗粒输运效率始终大于密度大（ρp= 1200 kg/m3）的颗粒的输运效率。密度为800 kg/m3的颗粒输运效率变化趋势表明随着吸入速度的增大，颗粒的输运效率增大为边界递减，尤其是吸入速度为14 m/s和16 m/s的输运效率相差无几；而对于密度为1200 kg/m3的颗粒输运效率在给定的参数条件下颗粒为边际递增。比较两种密度颗粒在不同吸入速度下的输运效率，可以发现随着吸入速度增大，两种密度颗粒的输运效率之差为先增大后减小。吸入速度为12 m/s时，两种密度的颗粒输运效率相差最大，而在吸入速度为8 m/s和16 m/s时，两种密度的颗粒输运效率相差最小，吸入速度为8 m/s时，颗粒的输运效率最低，吸入速度为16 m/s时，输运效率最高。

图6 进口速度(Vin)与输运效率(N/(Nt)的关系Fig.6 Relationship between the suction velocity (Vin) and conveying efficiency (N/(Nt)

2.4 颗粒分布情况

以上研究了各因素对颗粒输运效率的影响，本部分将分析颗粒在管道输运过程中其分布情况。如图7，展示颗粒在管道输运过程中不同时刻下管道中颗粒的分布状况。根据结果显示：假设在入口处颗粒在管道截面上随机分布，在颗粒输运的过程中，由于管道为倾斜且颗粒受重力的影响，颗粒整体在管道底部运动的状态，颗粒在运动的空气的作用下向上运动，但受到重力的作用，在运动过程中会出现少量颗粒向下滑动的情况；同时多颗粒运动过程中颗粒间碰撞发生动量交换，部分颗粒出现向下运动现象。综上原因，颗粒输送效率无法达到100%。

图7 颗粒在输运过程中分布情况（续）Fig.7 Distribution of particles during the transportation (continued)

图7 颗粒在输运过程中分布情况Fig.7 Distribution of particles during the transportation

在图7中，同样出现Yan等[9]研究定义的三层区域：上层的透明流体区域、中层的流动悬浮物区域以及底层密集的颗粒沉积区域。与之不同的是，在外加流场的作用下，颗粒悬浮流的分层区域在逐渐向上运动，最终大部分颗粒通过管道，少部分颗粒沿壁面滑落。需要说明的是，为展现所有颗粒的位置及状态，图7是将所有颗粒渲染到一张截面上产生的图片，并不是某一具体管道截面。图8展示50 s时刻下圆柱管道中心截面流场的速度云图，对应条件：颗粒密度为800 kg/m3，流体速度为12 m/s。可以观察到在颗粒聚集区域，由于颗粒与流体的相互作用，该区域流体速度明显比其他区域的速度小；同时在邻近壁面的区域，流体速度本身较小，因此在壁面的邻近区域存在小部分颗粒滑落的现象。

图8 流场速度云图Fig.8 Velocity contour of the flow

3 结论

应用CFD-DEM对流场中的圆柱状颗粒进行数值模拟，分别研究了颗粒密度、颗粒长径比、吸入速度、管道长径比、管道倾角对颗粒输运效率的影响。结果表明，随着吸入速度增大，两种密度的颗粒输运效率均增大，但低密度颗粒的输运效率始终大于高密度颗粒的输运效率。而颗粒密度与颗粒输运效率的关系则为负相关，随着颗粒密度增大，颗粒的输运效率逐渐减小，同时高吸入速度情况下颗粒的输运效率始终大于低吸入速度情况的颗粒输运效率。颗粒的长径比对不同密度的颗粒输运效率影响各不相同，但整体上随着颗粒长径比的增大，颗粒的输运效率减小，对于高长径比的颗粒影响比对低长径比的颗粒影响较大。对于管道各因素对颗粒输运效率的影响：管道长径比对低密度颗粒的输运效率几乎无影响，对于高密度颗粒的输运效率影响较大，随着管道长径比增大，高密度颗粒的输运效率减小。管道倾角对颗粒输运效率的影响为非单调性：对于低密度颗粒，管道倾角对颗粒的输运效率同样几乎无影响；而对于高密度颗粒，管道倾角对颗粒的输运效率影响较大且二者关系的波动性更强。另外，颗粒在管道中的运动主要集中在管道的下壁面，因此颗粒在流体作用下向上运动的过程会出现颗粒滑落现象。