明晰算理，掌握算法，发展数学运算核心素养

王祯玥 (江苏省苏州高新区第一中学 215011)

1 问题背景

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.数学运算贯穿解析几何学习的全过程，是处理解析几何问题时避不开的核心问题.

当前解析几何问题的主要特点体现在变量多、综合性强、讨论繁杂等，导致运算量加大，影响了解题速度.然而在解析几何的教学过程中，教师往往强调解题思路的分析，不重视运算过程的展示，轻视多种运算过程的对比与总结，忽视运算推理在解题中的作用，这就造成学生在处理解几问题时不关注研究对象的分析，省略算理剖析，往往仅凭感觉或惯性思维解题，导致在解题中选择了运算量较大而不易处理的算法，最后因运算错误或时间不足不得不放弃.所以，解读问题的本质，剖析算理的意义，总结多种算法的优劣，形成稳定的解题经验，达成数学运算素养的培养，是落实解几问题处理的重要任务.本文以一道高三期末试题为例，谈谈对上述思考的理解.

2 问题呈现

解读 本题的目的是要建立一个等量关系，求得方程的根.在解几问题中，点和直线是重要的研究对象，因而对研究对象的位置关系及几何特征解读到位，是建立等量关系的关键所在.在研究过程中，问题的突破点往往是选择设点坐标还是设直线方程.此时就要斟酌设点的前后顺序，明晰直线方程的设置方式，将几何关系代数化，思考如何展开运算.

思路1孤点深入，易思难算

构建目标导向，直接设点A坐标，建立点A与点M,N的坐标关系，再根据点M,N关于y轴对称(两点横坐标值相反)构建等式，从而得到点A横坐标的方程，求解方程可得结论.

反思1：明晰运算对象是构建运算程序的首要环节.解法1以研究对象为主导，用两个有关的未知量来表示解题步骤中的所有处理对象，思路清晰，建构简洁，充分体现“设点—示点—求解”的运算程序.但复杂的表达式以及较大的运算量会导致学生望而却步，在有限时间内往往半途而废，正确率偏低.由于解法1只使用了两个参数，导致其他对象的表示较为繁杂，特别是直线方程与曲线方程的联立运算，无疑是求解过程中的难点.如果能简化直线方程的表示，则会精简方程组求解的过程.

思路2斜参引入，侧重联系

根据点M,N的对称性，可判断直线AF,AB必存在斜率，且不为0,所以两直线方程以x=my+t方式引入.这表明点A是两直线的交点，在处理过程中强调一次方程组求解，优化算法.

反思2：引入含斜参的直线方程能精简直线表达，改进算法，但也引进了更多的未知量.在解法2中核心未知量共有4个，即x0,y0,m,t，因而需要形成4个方程.此时如何进行消元运算，就成为问题解决的关键.方程①②的两侧是关于字母m,t的非齐次式，而x0则是关于m,t的齐次式，所以在结合方程①②的过程中，考虑将常数消掉，留下字母间的齐次式，能避开消元过程中的难点.虽然解法2已减少了运算量，但运算技巧过强，学生难以联想操作.如何在不增加未知量的基础上化拙为巧、改进运算方法，值得我们进一步思考.

思路3工具引领，强化关联

平面向量集几何与代数于一体，是连接几何与代数的纽带.向量工具的使用能表明图形中点之间的联系，特别是直线上的不同点可在向量的帮助下建立运算关系，避免因直线方程的引入而导致的讨论，既加强了关联又减少了运算.

反思3：向量的融入增强了处理解几问题的灵活性，意味着知识间的融合能促进相关信息的结合，可以构建对象间的关系通道，体现了研究对象的综合化处理在问题解决中的重要作用.解法3在引入向量的同时也引入了参数，这表明需要构建三个关于未知量的方程.那么是否可以既不增加未知量个数，又能将共线想法引入到解题过程中呢？

思路4再识交点，避曲就直

从本质上讲，向量的使用是强调了点在直线上的身份，回避了直线与曲线相交的关系，讲究在运算中侧重一次方程的联立从而弱化对二次方程的处理.重新审视运算对象，把点A理解为直线AF和直线AB的交点，强调点M和点N间的对称性，把握从点M(或点N)到点A的推理方向，可打造新的运算思路.

反思4：关注直线与直线的结合是解决“多线汇点”图形类问题的重要突破口.转变观念，打破以往“直线与曲线相交，韦达定理占天下”的惯性思维，探究新的运算思路.在观念上讲究以形为本，突出图形中的关键对象；在方法上落实轻巧夺冠，强调操作简单的运算过程；在表达上推崇关系简洁，降低解几运算中的繁杂程度；在思维上把握简明扼要，凸显数学运算素养的精华.

思路5凸显“特”点，化曲为直

一般情形常规处理，特殊直线特别认识.由于直线AM过左焦点F，故线段AF和MF均为椭圆的左焦半径.根据圆锥曲线的统一定义，可将线段AF和MF的长度转换为点A和点M到左准线距离的相关值，进而在焦半径的表达中体现椭圆二次方程的功能，将直线与曲线的问题完全转变为直线间的问题.

图1

反思5：进一步深入分析运算对象，指明直线AF不仅是与椭圆交于两点的直线，更是过焦点的直线，抓住特殊直线特殊处理的解题经验，将直线与椭圆的相交弦长问题转变为点到特殊直线的距离问题，把点的位置关系转变为线段长度间的数量关系，认识新的运算思路.

3 总结反思

(1)准确剖析对象特征，一题多解领会算法

运算对象是数学运算的基础，既是运算目标也是运算途径.要引导学生从多方面审视对象特征，如：已知条件是什么？所给条件与目标对象有怎样的关系？从几何角度看，这些对象是由哪些基本图形元素构成的，对象之间是否存在位置关系和数量联系？从代数角度看，对象所要表示的代数式、方程、不等式等是怎样的？运算对象的准确分析在一定程度上影响了运算路径，最终影响了运算的长度及繁简程度.

罗增儒教授指出：一个数学问题，只有在得出多个解法之后，才会对问题的实质有真正的了解，才能体会不同的思维所引起的不同运算方式，学生的运算能力在不同的思维中得以比较,得以提升[1].好的问题蕴含多种审视视角，能帮助学生巩固基础知识，训练基本技能，明了在问题处理过程中会遇到的困惑、障碍及易错处，熟知各类方法的长处及短板，进而领会各种算法的针对性和思想性，有助于提升数学运算能力.

(2)双层素养互相影响，强化关系明晰算理

算理即运算的原理，是运算的基础，是算法背后蕴含的数学知识[2].本题的算理为如何构建并求解关于点A横坐标的方程,而方程的构建方式具有多样性，既能直接表示(解法1、解法3),也能间接表达(解法2、解法4)，还能共同引入、相互作用，由此形成灵活多样的解题策略.

算理不仅与数学运算有关，也与其他素养要求有着密切的联系.事实表明，逻辑推理与数学运算有着很强的相关性，且数学运算对逻辑推理的影响比逻辑推理对数学运算的影响更大[3].数学解题本质上是逻辑推理，是数学命题推演的基本过程.在分析解几问题时，要善于用推理的方式解读几何语言，把握图形与数量的有效结合，将图形的信息(即几何对象的位置关系和特征)命题化，加强命题间的转换联系，形成核心命题集，准确表达到位，明确运算方法，打造运算求解路径，展现合理算法.

(3)积累数学运算经验，优化算法建构理解

不同的数学知识之间具有广泛的联系性与相通性，问题解决过程中的第一个解法往往是后续解法的重要基础.因而倡导在教学中揭示问题中数学运算的实质内容，加强对运算材料的多角度算法设计，充分利用已有的数学运算经验，逐步更新、理解、同化新的运算过程，挖掘算法的多样性，培养数学思维的灵活性与发散性.

数学运算经验是数学思维的沃土.教师要主动引导学生对不同算法进行分析比较，指明其区别与联系，并适当进行优化.强调深度理解而非简单接受，重点引导学生通过观察体验、前后对比、归纳总结、合理表达等环节达成对问题本质特征、方法及思想的领悟，打造“会做、做好、学透”的教学效果，把提升学生的思维品质和运算素养落到实处.