小学中高年级数学教学中渗透数形结合思想的应用分析

雷美妹

（福建省三明市尤溪县东城中心小学，福建 三明 365100）

数学是研究数量关系和空间形式的科学。“数”是侧重于数量关系，是符号的表达，而“形”则是侧重于空间形式，是直观的表达，二者各有各的特点、各有各的优势。“数”和“形”不是独立存在的，充分利用两者之间的内在关联，以“数”研究“形”，以“形”表示“数”，就形成了数形结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”由此可见，数形结合思想在数学中的地位之重。

数形结合指的是数与形之间的一一对应关系，主要包含两点内容，其一，以形助数。它对于代数知识的建构，主要是通过图形直观化地呈现代数知识，促进学生对知识的理解。其二，由数解形。通过图形找寻代数关系，把复杂抽象的问题以形象直观的形式具体地表达出来，把复杂问题简单化、抽象问题具体化，以最优化的方式解决图形问题，并能深入理解所学知识，使学生的逻辑思维能力和空间想象能力得以提升。

一、数形结合思想的应用在小学中高年级数学教学中的价值

（一）有助于将抽象的概念简单化

数学是一门逻辑性很强的学科，无论是对一些知识点概念的理解还是在解题过程中对数量关系的分析，都对学生的思维能力提出了较高的要求。小学阶段，学生正处于从具体形象思维到抽象思维的过渡阶段，特别是中高年级教材中往往会出现一些学生难以理解的知识点。如果教师没有使用一定的教学方法，仅仅靠让学生机械地记忆和背诵，则无法实现对知识点的深刻理解。例如，人教版三年级上册第五单元《倍的认识》的学习，学生已有的学习经验是通过作差进行两个数量关系的大小比较，这种比较方式会对本单元的学习产生负迁移，影响学习的效果。而学生在生活中虽然或多或少听说过一些用来描述两者之间数量关系的情景，但由于缺乏相关生活经验，往往不能理解其中确切的含义。所以在教学过程中，教师可以利用数形结合思想，运用合理有序的图形排列，从对两个数的数量关系进行比较引入。如果学生的回答是基于多少的比较，则教师可以结合图形引导学生认真观察它们之间数量关系的规律，就是一个数里面包含了几个的另一个数，由此引入“倍”的概念；接着运用图形的增加与减少，在标准量不变的情况下，变化被比较的量；被比较的量不变的情况下，改变标准量，通过这两种情形的对比，让学生深刻理解“倍”的概念，突破教学中的重难点。

（二）有助于帮助学生理清数量之间的关系

研究表明，小学阶段学生对数量关系的理解与分析，仍然要建立在充足、具体、直观材料的基础之上。而从中年级开始，在教材和习题之中，文字、表格等描述方式逐渐取代了低年级的图形表述，这对学生的学习来说具有一定的挑战，如果学生没有学会一定的方法，则很难理清其中的数量关系。例如，在“已知一个量是另一个量的几倍，求这个量”这节课当中，有这样的一个变式题：花店有红花15 种，是黄花种类的3 倍，花店有黄花多少种？很多学生所列的算式都是15×3=45（种），怎样让学生理清这个数量关系呢？这时候教师就可以通过引导学生找出标准量，利用数形结合思想，用线段图画出红花与标准量黄花之间的关系，学生就能轻而易举地知道黄花的种类了。而这一思想在人教版三年级上册第六单元“用乘除法解决问题”中得到了延续，教师可以先引导学生读懂题目，找出不变的量，接着通过画线段图理清题意。在学习的最初阶段，学生们会感觉到画图很困难，但熟练以后，他们会发现这种方式对解题有着非常大的帮助，能让他们体会到数学学习的快乐，影响到他们对数学学习的热情。

（三）有助于学生找寻数学规律

“双减”政策的出台，对教师的教学水平提出了更高的要求，数学教师已不再可能用题海战术加深学生对知识的理解，最直接的方式是通过提高课堂的效率实现。这就需要教师花更多的时间研究数学知识之间的内在联系以及对题型深入地剖析，通过一个题目的讲解、变换，让学生找出这一类型题目的解题规律，从而达到举一反三的目的。这样的教学方式不仅能激发学生的学习兴趣，更能训练和提升学生的思维能力。例如，在“求组合图形面积”的这部分知识里，如图1 的题型是学生较难掌握的：已知图1 中正方形的面积是10 平方厘米，求圆的面积。而如果学生能利用图形找到解决这个问题的关键：圆的半径与正方形的边长相等，要求圆的面积，只要把圆的半径的平方看成一个整体，问题就能迎刃而解了，不必纠结求不出半径的长度。只要找到了这个规律，解决如图2：已知阴影部分的面积，求圆环的面积；图3：已知三角形的面积，求圆的面积这类问题自然不在话下。

图1

图2

图3

（四）有助于唤起学生对数学美的追求

提起数学，很多人脑海里就会出现枯燥乏味一词，很难把其与“美”联系起来，这主要是受其高度抽象性、严密逻辑性的影响。其实很多人不知道，数学正是源于建筑中对美的追求而产生，以一种独特的方式诠释美学。早在2000 年前的古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就被整数的和谐美、圆和球体的对称美倾倒，称宇宙是数的和谐体系。利用数形结合，可以让学生更形象、更生动地获得数学之美的体验，从而培养和提升学生的审美情趣和能力。而在教学过程中，教师要充分发掘和传递数学之美，让学生在美的感受中提升追求真理的动力，激发学生数学学习的热情，这也是身为数学教育工作者的光荣使命。

二、数形结合在小学中高年级中的运用策略

小学中高年级之后，随着概念、公式和定理的增多，一些知识点的抽象性增强，对学生来说，学习数学的难度越来越大，如果在方法上没有得到及时正确的引导，就可能导致对数学学科的厌倦，留下难以弥补的遗憾。而数形结合思想的应用可以将抽象的问题直观化，通过图形的方式将复杂的问题简单化，使学生的思路清晰明了，从而促进学生核心素养的发展。但在实际教学中，笔者却发现学生对“数形结合”的思想没有内化到平常的数学学习中，遇到难题或较抽象的题时，部分学生选择的是放弃或等待，等待教师的讲解，这对于提高学生的数学素养是极其不利的。那么在平时的教学中，“数形结合”思想在小学中高年级数学教学中有哪些应用策略呢？笔者认为可以从以下几方面入手。

（一）潜移默化渗透“数形结合”思想，提高数学课堂教学效率

学生运用“数形结合”的意识不够，和平常教师的教学方法有很大的关系，有可能是教师对数形结合思想的认识不到位。在教学过程中，有些教师将解题过程和数形结合思想简单地进行结合；而有些教师不到“万不得已”，不会使用数形结合的思想。事实上，除了解题过程，数学概念的界定、定理、公式等的学习，都隐含着数形结合的思想。以人教版小学六年级《圆柱的体积》一课为例。教师利用数形结合思想化抽象为直观，就能让学生更深刻地理解圆柱体积的概念和计算方法。首先，教师组织学生复习已经学过的立体图形的体积公式（长方体、正方体）以及公式的推导过程后抛出问题：“怎样求圆柱的体积？你认为可以从哪些方面进行研究呢？”引发学生的思考。接着再引导学生观察圆柱的底面特征，引导学生回忆圆的面积公式的推导过程，自然而然地把圆柱的体积和长方体、正方体的体积联系在一起。学生们已经掌握了它们的体积可以统一用底面积乘高来计算，同时，他们也学会了“转化”数学思想的运用，会尝试把未知的知识转化为已知。这时候教师再运用“数形结合”的思想，利用学具让学生动手操作，经历圆柱体积的推导过程，加深学生对新知的理解，将“化圆为方，化曲为直”的数学思想植入学生的思维，为学生建立圆柱体初步的空间概念，从而提高学生知识迁移的能力。所以教师在日常教学工作中可以有意识地融入数形结合思想，让学生在直观的图形、图像中经历知识的形成过程，可以增强学生对抽象的数学理论知识的理解和记忆，从而提升课堂的教学效率，进一步激发学生学习数学知识的积极性，使得学习数学的过程变得生动有趣。

（二）积极倡导以形助数思想，提升学生对计算方法的理解

以形助数，就是通过形态的方式帮助学生了解数量之间的关系，将代数中的数量关系用形态的方式表征出来。运用以形助数的方法，可以简洁直观地把抽象的概念和定理以学生易于理解的方式表示出来，让学生感受到，数学知识是可以通过不同的形式直观形象地表现出来的，而不是死背算理和公式，艰涩难懂的甚至一些记不住的算理和公式还能通过几何图形的方式推导出来，从而启发学生了解数学问题的本质与核心，以此促进学生数学思维的形成。

现在的数学计算教学非常注重学生对算理的理解和掌握，以往那种把算法直接告诉学生，让学生机械重复地训练就能提高成绩的教学方法不适用了。所以在教学过程中让学生运用已有的知识和经验，以形助数，自主地探索计算方法，并将数运算的计算过程和含义联系起来，能加深学生对数的运算方法的理解。例如，在教学《分数乘除法》的计算时，要让学生理解分数乘除法的算理，知道为什么要把分子相乘的积作为积的分子、分母相乘的分母作为积的分母；除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。教师就很有必要运用图形直观地把算理推导过程展示出来，把分数乘除法的算理讲明讲透。最后，还可以运用图形对以上知识进行巩固：根据图4 写一个分数乘法算式和一个分数除法算式。通过以数转形，形再转数，将分数乘除的计算简单化，生动直观，易于掌握。

图4

（三）引导学生灵活运用“数形结合”思想，提高解题能力

小学高年级数学中，应用题型增多、难度加大，对学生的数学素养提出了更高的要求。在应用题的解题过程中，经常会有学生在读题时出现不理解题意、不知道如何运用已知条件得到问题答案的情况。这时如果学生能运用数形结合思想，把题目中的数学语言通过图形简洁明了地表达出来，则能帮助学生更快、更准确地把握问题的关键，理清思路，促进问题的解决，同时也能增强学生学好数学的信心。例如，小学六年级教学中常见的行程问题：快、慢两车从AB 两地同时出发，相向而行，4 小时后相遇，相遇时距离AB两地的中点为60 千米，此时慢、快两车行驶的路程之比为2:3。AB 之间相距多少千米？对教师来说，这类的题型难度并不是很大，也是很常见的题型，如果学生能运用数形结合画出图5 线段，就能知道快车行驶的路程比总路程的1/2 多60km，而慢车行驶的是总路程的2/5，这样就能轻易找到60km 对应的率，利用量率对应轻易列出算式：60÷（1/2-2/5）。如果这道题用方程来解，解题思路是一致的。但如果学生没有正确掌握“数形结合”的思想，不运用图形分析问题，则很难正确找出数量关系，学生解题的正确率则会大打折扣。所以教师要引导学生在遇到类似的问题一筹莫展之时，灵活运用画图等方式直观形象地分析问题，能很大程度地提高解题的准确性。

图5

（四）培养学生建立“数形结合”思维，提升空间想象能力

空间想象能力在几何学习的过程中有着重要的作用，数形结合思想的应用，不仅能够帮助学生理解图形公式的计算原理，对学生更直观地了解几何规律也有很大的促进作用，它能帮助学生形象思维与抽象思维之间的转换，提高学生的想象能力和数学思维能力。小学阶段的空间观念主要定位在空间表象层次上，小学高年级学生正处于具体形象思维到抽象概括思维的过渡阶段，而高年级的教学内容又要求学生有较高的抽象概括能力，在几何教学中利用数形结合的思想，有利于提升学生的空间观念，让学生能在直观与抽象之间轻松转换。

三、结语

综上所述，小学中高年级数学中数形结合思想的运用，不仅能帮助学生更好地理解、掌握抽象的数学概念，更深刻地理解算理，还能引导学生在遇到难题或较抽象的几何题时，学会用画图方式直观地表达题意，提高解题能力，发展空间想象能力，提升学生的数学核心素养。