时变需求下基于随机干扰和部分预支付的易腐品库存控制

陈金叶，彭扬

（1.浙江经济职业技术学院，浙江 杭州 310018；2.浙江工商大学，浙江 杭州 310018）

0 引言

库存管理是企业为提高库存使用效率并降低库存成本而采取的一系列策略。库存控制系统的主要目标是在不降低顾客满意度和服务水平的前提下提高企业的总利润。Harris于1913年提出第一个库存模型，即经典的经济订货批量（EOQ）模型。而库存管理中经典的订货批量模型都是基于每批次生产或接收的产品都符合所有质量要求这一假设，与实际情况存在差异，是传统EOQ库存模型研究中的一个重要限制。近年来，库存管理实践过程中出现的“供应干扰”问题吸引了众多研究者的关注，拓展出更多数学模型应用于现实库存控制问题。此外，由于供应商之间竞争加剧、上涨的通货膨胀率以及取消订单等因素，供应商通常会要求零售商提前预付。

Parlar和Berkin在经典订货批量模型中考虑了供应中断问题，假设仅供应商，构建了考虑机器故障的生产与库存模型。Yano和Lee的研究重点是供应过程的中断及其对产量不确定性的影响。Parlar和Perry提出了随机干扰下的双供应商库存控制模型，他们假设在不同的参数下，可以使用指数概率分布函数来模拟供应商的供应中断。Babich研究了供应商的相互依赖和风险如何影响供应链、制造商的采购和生产、供应商的定价策略以及供应链中每个成员的利润。Chen，等将库存控制模型扩展到两个可靠和不可靠的供应商，第一个供应商可能会被中断，但是第二个供应商在中断期间提供有限的供应能力。Hishamuddi，等运用数学模型研究了生产过程中断下供应链的恢复问题，提出一种启发式算法求解最佳的修复方案，使供应链的总成本最小化。Wang，等对存在随机中断的多阶段库存控制问题进行了周期性回顾。Snyder将确定性需求和随机供应中断引入经典的EOQ模型，研究了最优订购策略。供应中断可能由不同的原因（运输问题、工人罢工、自然问题等）而引发。近年来，研究人员已经开始关注库存控制系统中的供应中断问题和延迟交付。Skouri，等研究了带有延迟订单的单级库存模型，其中有一批有缺陷的产品被拒绝，该模型类似于考虑供应中断干扰的经济订货批量问题。Salehi，等提出了一个部分延迟订货的EOQ模型，考虑了由于质量问题导致的供应链中断，他们采用“全部或无”策略，即该批次产品完全被接受或者完全被拒绝。Taleizadehet，等考虑了现实情况中可能发现的供应链中断情况，研究了部分延迟支付和随机中断下的库存成本结构变化，并给出了最优的订购策略。Konstantaras，等考虑了独立内生供应中断的经典订货批量问题，采用独立的伯努利过程研究了由（S,T）库存策略控制的单级库存配置问题。

而对于高季节性的产品或者易于腐败变质的产品来说，卖方通常会要求买方预付一定的采购费用来降低风险，而作为回报，买方得到准时的交货保证或价格折扣等。Zhang建立了考虑固定预付费用的库存控制模型，推导出最优订购策略。Maiti，等研究了预付策略下具有价格依赖需求的随机库存控制模型。Teng，等认为针对有季节性需求的变质商品，供应商通常要求零售商预付采购成本的一部分作为定金，而变质商品的保质期是买方作出购买决定的重要因素。在研究中假设随着保质期的临近，产品的变质率逐渐增加，构建了季节性需求产品库存控制模型，并给出全局最优决策。

国内对于易腐品库存控制的研究主要是将经典的订货批量模型拓展到不同的需求函数或不同的支付策略。贾涛，等研究了在销售单一品种的易腐品供应链中，假设销售商在获得供应链上游供应商延时还款的同时，也从供应链下游顾客处获得了部分预付款，分三种情况讨论了销售商的成本构成，并由此建立数学模型以求解最优订货周期，使得销售商单位时间总成本最小化。段永瑞，等主要对需求受展示区库存水平影响的易腐品订购和转运问题进行了研究。李嘉音，等基于需求依赖库存的一般商品的库存模型，以单一易腐品为研究对象，考虑零售货架空间有限和商品在零售商仓库及货架腐败速率的差异，建立了单一易腐品模型，并分析了零售商如何寻求最优订货策略和补货策略的问题。彭扬，等构建了基于部分预付策略，不允许缺货、部分短缺以及完全短缺三种情况下的易腐品库存控制模型，给出了零售商最优订货周期和最优订购批量的求解算法。崔玲，等考虑到市场需求不仅受零售商库存量的影响，而且常依赖于零售商的延期支付策略，研究了易腐商品需求同时依赖于库存量与延期支付期限的两级延期支付库存策略问题。周熙登考虑了两层次延期支付，其供货商提供给批发商延期支付期策略，同样批发商提供给零售商延期支付策略，建立了在商业信用条件下具有随机缺陷率产品的库存决策模型，然后得出批发商在不同情况下的最优订货周期、订购数量的简单判定方法。林峰，等基于商业信用额度构建了零售商关于易腐品的订购决策模型。通过分析零售商资金机会成本的不同形式，得到零售商关于易腐品的五种不同的成本函数表达式。结合数学证明可以得到零售商五种目标函数的性质，以及在商业信用额度条款下零售商最优的订购决策。曹裕，等研究了具有保质期的易变质产品批量订货决策，考虑了不存在缺货与缺货部分积压问题，引入零售商向供应商提前支付购置成本的支付方式，探究了零售商对于易变质产品的库存控制策略。

根据上述文献综述，基于部分预支付和部分延迟订购下同时针对买方可能面临的随机中断情况的易腐品经济订货批量问题研究不多，并且相关研究中鲜少考虑预支付所产生的资金成本和部分延迟订购产生的延期交货成本。在易腐品市场中，供应商如何通过部分预付策略降低经营风险，获取采购保证以及零售商需要面临供应随机中断情况下的订购风险等都是实际订购中需要考虑的问题，均可成为易腐品库存控制的研究方向。本文建立了基于随机干扰和部分预支付条件下部分延迟交货的经济订货批量模型。总成本函数包括固定订货成本、采购成本、库存持有成本、资金成本、变质成本、延期交货成本和损失的销售机会成本。给出了具体的模型以及零售商最优订货周期与最大收益的决策算法，并且在推导出理论结果后进行了数值实验和灵敏度分析，最后从管理分析角度提出了决策建议。

1 符号表示与条件假设

1.1 符号表示

模型中所用到的主要符号见表1。

表1 模型参数与变量

1.2 条件假设

模型的假设条件为：（1）供应链内有一个供应商销售单一产品给零售商，计划期无限长，瞬时补货，不考虑订货提前期和运输能力限制；（2）供应商要求零售商在订单下达时将采购费用按照一定次数分批预支付，零售商可在预付期内分批将的采购费用分成期支付，在零售商收到订货后，需要按照合同立即支付货款比例的(1)给供应商；（3）产品为易腐品，市场需求率与时间以及库存有关，且产品仅在库存阶段出现变质情况，变质率为常数(01)；（4）考虑允许缺货且缺货部分延迟情况；（5）供应商不完全可靠，供货批次低于质量标准的概率是固定的（缺陷交付），缺陷交付事件是相互独立的；（6）每次供货到货后都要进行检验，如果发现有缺陷，就予以拒收，整个系统实行“全接收或全退回”策略；（7）无紧急交付，不合格批次的总数量按常规添加到下一个交付周期。

2 模型构建

图1 T'=2T时基于随机干扰和部分预支付的易腐品库存控制模型

本文的需求方程中，假设在库存降为零以后，由于拖后率是等待时间的递减函数，即存在部分顾客由于等待时间过长而造成销售机会损失，则其需求率可由式（1）表示：

则订购批量(0)()。

在一个订货周期[0]内，库存系统的成本包括：固定订货成本、库存持有成本、采购成本、资金成本、延迟交货成本、变质成本、机会成本，除固定订货成本外，其余成本分别为：

由泰勒公式可知：

总成本为以上几部分的总和，即为：

平均成本为：

则目标函数平均成本可以转换为以下形式：

其中：

情形一：

方程Δ()可写成：

由于()0无根，则()在定义域上严格大于0或者严格小于0，又因为(0)≤0，则()在定义域[01]上应严格小于等于0。

由计算可得：

情形二：

方程Δ()可写成：

由于()0无根，则()在定义域上严格大于0或者严格小于0。(0)≤0，则()在定义域[01]上严格大于0。将()代入Δ()中，则：

将代入()中，可得：

3 数值实验和灵敏度分析

3.1 数值实验

本文数值试验参数设置见表2。

表2 参数赋值

计算可得最优解为：=0.147 7，=0.754 3，=187.055 3，=339 86。

3.2 灵敏度分析

为了研究各参数值变化对最优解的影响，进行以下数值分析。

由于库存系统成本中有部分成本项目相同，包括固定订货成本、采购成本、资金成本、库存持有成本、延迟交货成本、变质成本、机会成本，所以本文将对部分相关参数的灵敏度进行分析，将各参数分别变化-60%、-30%、30%、60%，令其他参数不变，逐一进行计算，结果见表3。根据表3的计算结果，可得以下结论：

表3 灵敏度分析

随着参数的变化，未出现变化，、和都出现明显变化；随着参数d增加，最优订货周期降低，而最优订货批量增加，反之亦然；总成本出现与参数d相似的改变。

随着参数的变化，未出现变化，和出现明显变化，出现较小变化；随着参数A增加，最优订货周期和最优订货批量随之明显增长，总成本出现微弱增长趋势，反之亦然。这是因为随着固定订货成本的增加，为了平衡总成本，库存系统会相应减少采购次数，提高订购批量和延长订购周期。

随着参数的变化，、和出现较小变化，变化不明显（灵敏度较小，可忽略不计）；随着参数增长，最优订货周期、和最优订货批量均随之小幅度降低，反之亦然。这是因为随着变质率上升，库存系统需要减少平均库存量来降低整体库存损耗，所以最优订货周期和订货批量都会降低。

随着参数的变化，、、和均出现较小变化，随着参数增加，最优订货周期、最优订货批量和总利润出现微弱的增长趋势，出现微弱的降低趋势，反之亦然。这是因为随着单位时间资金成本率的增加，库存系统中的资金成本增加，所以总成本会有所降低，反之亦然。

随着参数的变化，、、和均出现较小变化，随着增加，最优订货周期、最优订货批量和总成本出现微弱的增长趋势，出现微弱的降低趋势，反之亦然。这是因为供应商要求零售商提前支付的采购成本比例增加会导致整个库存资金成本的增加。

随着参数C的变化，、和均出现较小的变化趋势，变化不明显（灵敏度较小，可忽略不计）。随着C增加，最优订购周期、和最优订购批量均出现下降趋势，总成本出现微弱的增长趋势，反之亦然。

随着参数r的变化，、、和均出现一定程度的变化。随着r增长，最优订购周期出现明显下降趋势，和最优订购批量出现明显增长趋势，总成本出现较小程度的增幅。这是因为库存周期控制依赖于每批次由于不合格而被拒收的概率，若概率增加，零售商将通过缩短订购周期和提高订货批量以应对随机干扰风险。

随着参数的变化，、、和变化不明显（灵敏度较小，可忽略不计）。

随着参数的变化，、、和均出现较小程度的变化。随着增加，、和出现较小的增幅，出现较小幅度的降低，反之亦然。

4 管理分析

本文定量地分析了随机干扰情况下易腐品供应链中的经济订货批量和库存控制问题，在部分预支付条件下对零售商成本构成进行了详细分析。分别从供应商和零售商的角度出发，提出最优决策，从而降低各自的经营和采购风险。综合以上模型的数值实验和算例分析可知，对于零售商而言，更倾向于选择批次处理不合格概率更低、预付比例更少、预付周期更短、预付款分批次数更多的供应商。对于供应商来说，如果产品质量和供应保障能力较高，可以适当要求零售商支付部分采购成本，这样可以降低供应商经营风险，获取采购保证。在应对供应商要求提供更高百分比的预付款的，零售商可以通过向供应商要求延长预付款支付周期长度来平衡这种利益关系。

5 结语

对于易腐品，常用的库存管理策略仅适用于正常的市场环境中，在库存管理决策面临随机干扰时，最终决策往往不受限于最优性决策。由于易腐品的特殊性，考虑实践中的随机干扰情况，现有的库存控制模型并不能满足库存管理决策需要，基于此，本文建立了随机干扰下的经济订货批量模型。考虑在库存控制系统中，零售商在接受每个批次之前均进行抽样检查，如果检验员在该批次中发现一件次品，则该批次货物不合格，零售商将拒绝接受。假设每批次出现货物不合格为随机事件，服从概率分布，则库存系统的周期取决于批次不合格的概率。拒收后直接导致所需物品的供应中断。为使模型适用于现实情况，还考虑了供应商要求部分预支付条件下部分延迟交货的经济订货批量模型。构建了具体的模型以及零售商最优订货周期与最大收益的决策算法，并且在推导出理论结果后进行了数值实验和灵敏度分析，最后从管理分析角度给出决策建议。但是在模型构建中未考虑供应商中断对产品价格的影响，也未考虑常见的提前销售策略。在未来的研究中，可以从总利润角度出发，考虑基于延迟支付策略和随机干扰影响产品价格的最优库存控制决策。