小学高年级数学中数形结合思想的应用探究

◎王文妍 （甘肃省天水市甘谷县大像山镇柳湖小学，甘肃 天水 741200）

一、前 言

小学数学新课标将数形结合思想纳入小学数学教学的重要目标之一.数形结合思想作为一种辅助“教”与“学”的重要手段，在教学实践中有非常突出的优势，其有利于将抽象问题直观化，提高学生解决问题的效率.数形结合思想通过将抽象数量关系与直观空间图形结构相结合，巧妙地构造丰富、灵动的数学世界，帮助学生深刻地理解抽象数学知识、记忆数学符号，理解数学实质，让学生有灵活运用数学知识的“资本”，在具体问题面前，也能够机智地分析和处理问题，找出更多的解题思路，发展解题能力，最终促使学生的数学综合能力和核心素养提升.

二、小学高年级数学教学中数形结合思想的应用价值

新课标对数学这门课程做出了明确论述，强调数学是在对客观现象进行抽象、概括的基础上形成的一门学科，这也就意味着数学这门课程具有较强的理论性、抽象性.而小学高年级的学生思维正处于由具象思维向抽象思维过渡的重要阶段，想要深入准确地理解抽象的数学知识难度较大.这也就需要数学教师在抽象数学知识与学生具象思维之间建立一道“桥梁”，而数形结合思想就可以充当这一“桥梁”角色.数形结合思想既是一种数学思想，也是一种学习工具.“数”和“形”都是数学的重要内容，二者的有机结合是抽象数量关系与直观空间形式的有机融合.教师借助数和形的巧妙结合能够构造出更丰富灵动的数学世界，便于学生理解抽象的数学知识，结合个人教学经验来看，在小学高年级数学教学中渗透数形结合思想具有如下价值：

一是帮助学生更好地理解和掌握抽象的数学知识.小学生心智发育不成熟，对抽象数学知识的理解不够透彻，难免会影响其学习效率和解题正确率.而数与形的结合能够将抽象数学知识具体化、直观化、立体化，进而帮助学生更好地记忆数学符号，分析数量关系，理解数学本质.

二是有利于提高学生解决问题的能力.如前文所言，数形结合思想其实也是一种学习工具，能够帮助学生分析数学问题，提供更广泛的解题思路.从小学数学教学内容来看，教材中大部分内容都离不开数形结合，大部分问题的设计都包含数和形两方面内容，解决这些问题实际上就是将数和形进行有效转化.因此，从数学问题的研究角度而言，加强培养学生的数形结合思维，拓宽学生的解题思路，提高学生的解题能力.

三、在小学高年级数学教学中数形结合思想的应用问题

毋庸置疑，数形结合思想渗透于小学高年级数学教学中，既能发挥助学作用，又有促教功能，但这也是建立在有效应用数形结合思想的基础上的.从当前小学高年级数学教学现状来看，无论是教师在培养学生数形结合思想方面还是学生应用数形结合思想解决问题的实践中都存在不少问题，典型问题分析如下：

一方面，数学教师对数形结合思想的认识不够，不少教师在教学过程中仅仅简单地将数形结合思想与解题过程联系在一起，忽略了数形结合思想还可以应用到数学概念、公式、定理的教学之中.这导致数形结合思想功能失效，没有发挥促教作用，没有真正地应用到概念理解、公式推导、定理分析之中，学生仍然是通过死记硬背学习这些理论知识，制约了学生的学习效率.例如，六年级数学教材中涉及的正方体的表面积以及圆柱的表面积等知识，教师都可以应用数形结合思想进行教学.倘若教师能够在教学过程中充分应用数形结合思想，那么推导公式的过程也会轻松便捷，学生在学习这一板块知识时“如虎添翼”，效率更高，理解得更透彻，掌握得也会更扎实.

另一方面，数学教师对于“数”与“形”的互相转化讲解不够深入.“数”与“形”是可以互相转化的.但大部分学生都对此存在理解偏差，只认为“形”可以助数，忽略了“数”其实也可以助“形”，学生没有从本质上理解数形结合，自然无法灵活应用数形结合思想学习理论知识和解决实际问题，这不仅制约了学生的学习效率，同时也限制了学生解决问题能力的发展.

此外，一部分数学教师在教学过程中也忽略了对学生思维的培养.数形结合本身就是一种数学思想，一种思维体现.教师在教学过程中过分关注方法讲解和应用，习惯将解决问题的全过程传授给学生，导致学生自主思考和应用数形结合思想的机会较少.大多数时候数学教师都是在给学生讲哪些知识、哪些问题可以应用数形结合思想，而没有引导学生自主思考，影响了学生独立思维的发展.

四、小学高年级数学教学中数形结合思想的具体应用

如前文分析，“数”和“形”可相互转化，可互助互利，是相辅相成的.因此，数学教师在教学过程中渗透数形结合思想就需要从“数”和“形”两个维度进行探究，既要引导学生认识“形”助“数”，鼓励学生将抽象数学知识用形表现出来，降低抽象知识的学习难度；也要引导学生认识“数”解“形”，以更简单概括的方式表达形，促进学生抽象概括思维的发展；更要鼓励学生巧妙地将“数”和“形”相互转化，灵活自然地应用数形结合思想推导数学公式、定理，解决实际问题，从而促进学生数学思维发展和学习能力提升.

（一）以形助数，将抽象问题直观化

以形助数是数形结合的直接体现，也是小学高年级数学教学中广泛应用的一种手段，通过“形”的内容帮助学生将抽象知识变得具象化、直观化，削弱问题难度，便于学生更好地理解重难点知识，并且有利于学生主动建构“数”与“形”的关系.在小学高年级数学教学中，以形助数主要体现在借助“形”认识数、借助“形”运算数，借助“形”整理数三个方面.

借助“形”认识数主要指学生通过图形来认识数字、数学符号以及生活中的实物和图形，加深学生对数的认识和理解，帮助学生厘清数与数之间的关系，比如“小数”的学习，就需要借助“形”认识数.

借助“形”运算数指学生运用图形知识来理解和掌握数的运算，熟悉数的运算规律、方法，提高学生的数学运算能力.

借助“形”整理数强调的是图表与数据的关系，需要学生运用图表内容整合杂乱无章的数据信息，并且呈现数据规律，比如统计图、数学表格，都是用“形”整理数的直接体现，引导学生整理数有利于培养学生的数据分析能力，帮助学生厘清数的规律和数的关系.

在教学实践中，数学教师应有意识地在“数”的相关内容中渗透“形”的知识，引导学生应用图形解决“数”的问题.

线段图是小学高年级解决数学问题的常用图形之一，也是帮助高年级学生解决数学问题的重要手段.此题看似简单，实际上考查了学生的数形结合思维、信息提取和分析能力，学生必须要厘清数与数之间的关系，找出题中的隐含条件方能解题.

虽然小学高年级学生已经具备了一定抽象思维，但发展尚不成熟，在理解一些复杂的、表述比较“委婉”的数量关系时也显得“捉襟见肘”.所以教师在指导学生解决这一例题时，不妨启发学生画线段图（如图1所示），以线段图呈现抽象的数量关系，帮助学生厘清解题思路.

图1

（二）以数解形，深化图形结构认识

数形结合思想除了包含以形助数之外，也包括以数解形.从小学数学教学内容来看，并非所有问题都是可以直接通过图形来表达的，也并非画图就可以解决所有问题，有些问题本身就是以图形方式呈现的，或者图形结构比较复杂，小学生在抽象思维和空间观念发展不成熟的情况下，很难快速准确地把握图形结构，无法通过观察图形来确立数学关系和数学算式，从而容易陷入思维困境.所以，在小学高年级数学教学中，数学教师也应当有意识地引导学生以数解形，通过数学语言、数量关系、数学符号对图形结构进行表达和描述，重新认识图形结构.除此之外，借助数学语言、数学符号、数学关系来表达和描述图形知识，也有利于促进学生对数学知识的深层认知和理解，帮助学生准确地表述图形的运动状态以及位置关系，培养学生的数学抽象思维以及空间思维.

例如，在人教版数学教材五年级下册“图形的变换”这一内容教学中，教师可先出示如图2所示两个三角形，引导学生描述旋转的特点，请学生分别说一说三角形围绕哪一个点，哪个方向，旋转多少度后能旋转成三角形出示香港区徽（如图3所示），请学生思考可以将香港区徽看作哪一种基本图案，通过怎样旋转才能得来.请学生用自己的话描述：将香港区徽看作一个花瓣，连续旋转4次.

图2

图3

此过程就是以数解形的过程，学生用数学语言来描述图形的变换过程，可以更深刻地理解“旋转”这一概念，掌握旋转的几大要素，同时充分锻炼了自身的逻辑思维、语言表达能力.

为进一步培养学生运用“数”解“形”的意识，数学教师还可以开展专项训练，譬如“线段图专项训练”，出示如下所示线段图（如图4所示），要求学生看图列算式.以此引导学生用“数”来表示图形，进一步深化学生对图形结合思想的应用.需要注意的是，开展此类专项训练时，教师既要结合教材内容，也要立足于学生思维发展现状和发展需要，循序渐进、步步深入地指导学生用“数”解“形”，提高学生应用数形结合思想的意识.

图4

（三）数形互助，挖掘内在联系

数形结合的最高级表现在于“数”与“形”相辅相成，通过引导学生运用数形互助分析数和形之间的关系，从而使其更深刻地理解数与形之间的内在逻辑关系，更高效地解决数与形相关问题.当然，这也就需要数学教师在数形互助的相关题型讲解中，有意识地引导学生分析数和形之间的内在关系，启发学生主动地将数的问题构造成形的问题，将形的问题抽象成数量关系，引导学生读图、画图、作图、分析图，快速解决实际问题.

某学校六年级二班共有50名学生，学校将要组织课外兴趣活动小组，要求每位学生必须且只能参加一个兴趣小组，其中选择排球的学生人数占总人数的18%，选择篮球的学生人数占总人数的16%，选择乒乓球的学生人数占总人数的32%，选择足球的学生人数占总人数的24%，请同学们算一算选择其他项目的人数是多少.如果学校组织乒乓球比赛，预计会有多少人参加.

图5

在引导学生解决此题时，数学教师不妨从数形互助的角度出发，鼓励学生先将题中的已知信息用扇形统计图的方式呈现，绘制出相应的图形（如图5所示），并且在图形中标注出各个已知量，进一步观察图形和思考题目问题，最后结合图形和已知条件列算式解决问题.教师通过画图，能够让学生充分感受扇形统计图中数据与扇形面积的关系，同时让学生真正了解数据分布的特点，启发学生从分析图形的角度推测数量关系并解决问题，让学生真正经历了“感知数”→“画图形”→“整理数”的过程，培养了学生的观察能力、数据分析能力以及问题解决能力，不断促进学生数形结合思想发展.

五、小学高年级数学教学中数形结合思想应用原则

诚然，在小学高年级数学教学中渗透数形结合思想有助于提升学生的解题效率，促进学生的思维发展，但需要强调的是，数形结合思想作为一种辅助教学的方式，在应用实践中也应当遵循一定的原则，方能最大限度地发挥其助力作用.

第一，要遵循渐进性原则，数形结合思想包含多方面内容，涉及的图形和数量关系也是复杂多变的，在小学高年级数学教学中应用数形结合思想必须要遵循渐进性原则，结合教材内容，由易到难地融入数形结合思想，确保学生能够步步深入地掌握多种数形结合的方法，并且灵活运用数形结合解决实际问题.

第二，要遵循过程性原则，所谓过程性就是指数形结合思想应该体现在学生学习过程、解决问题的过程之中，而不是教师单纯地给学生讲一讲什么是数形结合，也并非给学生讲解数学问题中可能用到哪些数形结合方式，而是应侧重数形结合思想在具体问题情境中的实际效用，让学生置身于问题探索的过程，真正将数与形建立联系，灵活地互相转换，从而提高解题效率.

第三，要遵循等价性原则.“数”和“形”本身就是两个等价主体，数量的特征是精确化，图形的特征是直观化，二者是相互可以转化的.图形除了具有较强的直观性之外，也附带抽象性，小学生难以直接用“数”进行描述，且不同学生对于同一题目的理解也会存在差异，从图形中获取的信息也会不同，因此就容易出现解题错误和疏漏.但如果将图形等价转化为代数相关问题，让数学信息更直接、更标准，就能够极大地减少学生个体差异带来的理解偏差，有效提高学生解题能力.

第四，要遵循双向性原则.数学教师要让学生自主地发现“数转为形”和“形转为数”是双向互换过程，而不是单一通道，在不同的问题情境中，“数”和“形”基本上都可以相互转化，数的问题可以借助形具象化，形的问题则可以借助数抽象化，只有双向转换，才是真正的数形结合.

六、结束语

总而言之，不管在哪个年级进行数学教学，数形结合的思想都有着广泛的应用，而教师在高年级进行数学教学时更应该好好落实“数形结合”的思想，才能够让学生在繁杂的知识链条中把握脉络，我们的课堂效率也将会有进一步的提升.