函数的单调性与极值教学策略分析与探究

◎叶美凤 （江苏省泰兴中等专业学校，江苏 泰兴 225400）

函数的单调性与极值这部分内容是中职数学的一个重要组成部分，要求学生可以充分掌握其中的基本概念，并且可以通过求导、画图求某一函数的单调性与极值.这部分的内容主要包括：函数增减区间的界定、函数极值的概念、函数的最值问题、函数的求导方法等，需要数学教师在实际教学过程中实施有效的教学策略，使学生可以充分掌握函数的单调性与极值，从而有效促进学生的数学解题能力和逻辑思维能力的提高.

一、创设教学情境，激发学生学习兴趣

目前，很多学生对函数单调性的概念不够重视，也没有深入研究其中所蕴含的意义，这就导致学生在解决函数单调性问题的时候会出现很多问题.因此，数学教师可以针对函数单调性的概念创设教学情境，充分激发学生对函数单调性的学习兴趣，让学生可以充分理解函数单调性的界定原理，以此为学生之后的学习奠定良好的基础.

（一）视频应用情境的引入

函数的视频应用情境的引入，应该以学生生活为基础，注重兴趣激发，寻求数学在实际应用中的价值，建立起情境化的课堂引入方式，拉近数学与生活、数学与学生之间的距离，激发学生的学习动机，唤起学生的求知欲望，提升学生主动参与学习、主动参与课堂的信心.高中生有丰富的生活体验，对于函数的认识有充足的生活案例和素材资源.教师可以据此进行教学设计及开展课堂教学活动.例如，教师可以通过上下楼梯的视频、潮水涨落的视频等让学生寻找其中的相同点，构建“起落”“上下”“升降”“左右”等概念，再举一反三，让学生提供更多的相似个例，最终从合适的个例中引入教学主题“单调”.在各个案例中加入生活情境，可以让学生学习知识，同时培养其健全的生活文化精神.例如，通过“天下奇观”钱塘江大潮视频，让学生在思考的同时，感受大自然的壮丽多姿.

（二）图片情境的应用

在教学“函数单调性概念”的时候，首先，教师可以用降水量的曲线图来创设教学情境，向学生出示某地某日降水量随时间变化而变化的曲线图，让学生仔细观察曲线图中给出的信息，以此引导学生找出该曲线图中的规律.之后，教师可以让学生找出这天最大的降水量及其对应时间，并总结在这天中哪个时间段降水量是逐渐增加的，以此让学生初步接触函数单调性的概念.这时，较为细心的学生就会快速回答：“早上9点的时候降水量最大，并且在早上6点到早上9点这段时间，降水量一直处于增加的状态.”接着，教师可以反过来提问学生，让他们再找找降水量减少的时间段.然后，教师就可以引入单调性的概念教学，使学生深度理解增函数与减函数的定义.最后，教师可以对函数单调性的概念进行总结，以再一次加深学生对这部分内容的理解和记忆.

（三）动画情境的应用

图片情境是静态的，而动画情境是动态的，动态的情境更容易吸引学生的兴趣及注意力.在同一问题中，引入动画情境设计教学过程，更加直观、简单，而且有效.例如，教师可以应用函数单调性动画，通过轨迹变迁函数（如图1），引导学生思考在这一段，函数的变迁特点是什么，从而引出单调升或单调降这一基本思想，让学生深刻理解增函数与减函数的定义及理论内涵，建构分析与解决问题的思维框架.从函数动画实现效果和便携性考虑，选择用Canvas来实现，实现原理较为简单，调用Canvas的基础接口API就可以很方便地生成.

图1 轨迹变迁函数

图2 希沃白板软件交互函数

（四）交互情境的应用

交互情境，更加强调学生的参与性与主体性，体现了行知特征，让学生在做中学、在动中学，构建行动导向的学习形态.交互，必须有构建的工具及软件，智能触摸交互屏及交互课件的应用是必备条件.交互情境的创设，对教师的技术要求较高，更加强调教师的教学思想的提升.例如，教师可以通过某一案例函数值，让学生通过交互构建图形，再实施交互分析，最终自己总结单调升或单调降的规律，从而理解增函数与减函数的定义，形成自己的分析与解决的逻辑思维方式，建立个人思考模型、学习模式，提高学习兴趣，获得学习能力增长.在希沃白板软件中，打开“学科工具”，点击“函数”，就可构建各类型函数图像（图2），通过改变各函数表达式中的数值，就可改变函数图像.交互情境的创设，让课堂教学更为高效，让学生通过自己设置不同表达式，进行交互分析，最终实现深度学习.

二、应用现代信息技术，提升学生理解能力

学生是否能正确画出函数的图像直接影响其能否正确判断该函数的单调性.因此，中职数学教师可以利用现代教育设备帮助学生正确画出函数的图像，揭示出函数图像与导数之间的紧密联系，使学生学会用求导来确定函数的正确图像，让学生更加直观、清晰地判断函数的单调性，并且最后可以得出该函数的增减区间，从而有效促进学生数学理解能力的提升.

（一）传统多媒体的应用

在教学“函数的单调性”的时候，首先，教师可以用多媒体设备向学生展示三角函数的图像，并且让学生判断三角函数的图像属于什么类型，从学生所学过的三角函数图像的复习入手，使学生在课堂上的数学思维开始变得活跃.其次，教师可以引导学生思考导数与函数的增减性之间的关系，让学生通过基本概念总结出导函数与原函数之间的关系.再次，教师可以用多媒体设备为学生展示二次函数的图像，并且让学生再次进行判断.最后，教师可以让学生尝试画出三次函数甚至是四次函数的图像，以此让学生对导数和图像之间的关系有一个更加清晰的认识和理解.

（二）现代多媒体的应用

随着信息技术的发展，先进的教学设备逐渐进入课堂，以希沃触摸屏为主体的交互投影屏取代了传统的多媒体投影仪.教师使用希沃触摸屏进行教学，更加强调课件的动态性及交互性，通过教学设计，将虚拟及真实相融合，实现现代多媒体技术的应用，构建新型现代教学课堂形态.例如导弹拦截——单调队列问题，从实际角度思考：给出一些入侵导弹的高度（不知道数量），要将拦截导弹发射到与入侵导弹相等的高度才能拦截掉这一颗导弹，并且每套系统每次发射的导弹的高度都不能超过前一颗，则一套系统最多能拦截几颗导弹？拦截所有导弹最少需要多少套系统？在这种问题式设计中，通过希沃交互课件，交互演示发射导弹高度的变化，可以将复杂的问题简单化，在虚拟中构建真实情境，在个体与协作之间实现互助.

（三）人工智能的应用

将学生的实际情况（如某一时期上课的抬头率）通过大数据的分析，建立起函数关系，引导学生思考自身存在的问题，可以提升学生思考问题的深度，促使学生灵魂升华，实现知识与人的和谐统一.教师有效地利用人工智能的技术优势，可以实现精准化、个性化、协作化教学，为学生提供学习支持，让学习过程更为简单.人工智能可以充分利用学生的视觉、听觉、触觉，实施教学设计，并依据学生语音、情绪、眼神、行为、专注度等数据，反馈学生的学习状态、学习心理及学习效果.在这样的设计中，教师可以根据学生的数据，建立起数据函数，打造探究型课堂，提高学生的理解能力.

三、注重典型习题讲解，培养学生数学思维

数学教师要注重对典型习题的讲解，让学生在解题过程中充分掌握求解函数极值这一类型习题的解题技巧，以此促使学生的数学思维得到更好的培养，使学生可以以一种更加轻松的姿态求解函数的极值问题.

（一）加强典型习题特征分析，建立典型习题分析框架

对于各类型问题，我们在分析其内部知识结构及框架的基础上，要努力寻找解题的基本方法，并根据典型习题的特征，建立典型习题分析思路框架.例如，对于函数的单调性问题，我们一般采用定义法、复合法、图像法、导数法进行求解.教师应加强对典型习题特征的分析，引导学生选择正确的解题方法.例如，对于习题“求函数＝-｜1-｜的单调增区间”其主题词为“单调”和“增区间”，相对于这一特征，比较好的分析思路是画出图像进行分析.因此，我们可以通过取特殊点，求出值，画出其图像，从而得到结论.

（二）掌握典型习题解题技巧，提高典型习题解题能力

在教学“函数的极值”的时候，首先，教师可以为学生选择一道难度适中的函数极值习题，让学生判断所给函数是否存在极值.接着，教师不要急着为学生讲解习题，而应留出时间让学生单独思考，鼓励他们尝试着将所学知识运用起来.在学生有了答案之后，教师也不要急于评价学生做得是否正确，而是要带领学生从头开始将这道题再做一遍，并在最后一起求出正确的结果.这样可以让出错的学生逐步发现自己出错的原因，使他们不再犯同样的错误，同时可以让所有学生都参与到解题的过程中，使每位学生都亲身经历正确答案的产生过程，从而有效提升学生学习函数极值知识的积极性.

四、强化训练提升，即时巩固提升

（一）参照学习题型，强化训练提升

在学生学会分析与求解各种典型题型后，教师可布置批量作业，实施强化训练.只有进行强化训练，才能让学生对所学知识理解得更透彻、应用得更熟练，对解题的方法技巧掌握得更加娴熟，从而建立起个人解题的思维框架，并提高对其他同类知识的学习能力.没有巩固强化，所学内容只能昙花一现，逐渐被学生淡忘，达不到教学要求.教师应该加强对学生在组合类题型方面的巩固训练，拓宽学生的解题视野，丰富学生的解题思路，提升学生的解题能力，让学生较为熟练地解决各类题型.

（二）即时巩固提升，定期查漏补缺

即时巩固提升，是对当下的要求.而定期查漏补缺，则是长期的要求.任何知识都会随着时间逐步淡忘，即时的复习巩固与提升、查漏补缺是必须的.教师定期布置一些函数单调性、极值问题，或者在新的知识、内容中穿插相关习题，可以唤醒学生对此类知识的理解记忆，让学生构建稳定的解题思路框架，掌握稳定的解题步骤.

综上所述，函数的单调性与极值这部分内容对学生的数学进步和成长有着不可忽视的推动作用.因此，数学教师在实际的教学过程中要从函数的定义域、函数的单调性概念、函数的图像和导数之间的联系、函数的最值这些方面入手，使学生可以学好函数的单调性与极值这部分内容.