基于GeoGebra对2021年全国新高考Ⅰ卷数学第21题的分析与思考

◎吴启霞 （广东省清远市华侨中学，广东 清远 511538）

2021年全国新高考Ⅰ卷，进一步深化了对“立德树人”这一根本任务的考查要求.2021年全国新高考Ⅰ卷的设计进一步从“考知识”向“考能力”转化，尤其加强了对创新能力与批判性思维能力的考查.以“一核、四层、四翼”为主体内容的高考评价体系，意味着高考命题和评价的新标准已然确立，高考指挥棒的指挥方向发生了根本性的转变，它将深刻地影响每位考生和一线教师，也必将助推中国基础教育改革迈向纵深.2021年的全国新高考Ⅰ卷重视数学本质，突出理性思维，聚焦核心素养，考查关键能力，稳步推进改革，倡导理论联系实际，科学地把握了必备知识和关键能力的关系，利用真实问题情境，加大了开放题的创新力度，科学地把握了数学题型的开放性和数学思维的开放性，很好地体现了数学思想、数学方法在解决实际问题中的价值和作用，稳中求新，对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.这既是一份中学数学教师喜闻乐见的“标准卷”，又是一份突出通性通法、落实四基四能的“方向卷”.整份卷子难度适中且保持稳定，梯度分布合理.总而言之，这是一份质量很高、引导性很好的试卷，它启发我们：对于2022年高考备考，要按部就班地培养学生的学科素养，认真抓落实就是最好的方式，“过程”落实了，“结果”也就瓜熟蒂落了.本文以2021年全国新高考Ⅰ卷数学第21题为例，通过GGB软件分析解决问题的动态过程，深入剖析该题.

一、真题再现与赏析

（1）求的方程；

【题型分析】

又，皆为正根，

∴由弦长公式可得：

即（+）（-）＝0，

显然≠，

∴+＝0，

即直线的斜率与直线的斜率之和为0.

【题目赏析】

本题主要考查双曲线的定义及其标准方程，以及直线和双曲线之间的位置关系等基础知识，同时考查学生分析问题、解决问题与运算求解的能力，包含着对通性通法的常规考查，如：联立方程组、韦达定理、弦长公式，可谓“一按三连键”.

第一问直接用双曲线的定义和+＝即可求出双曲线的标准方程.

二、GGB动态实验探究，追本溯源

（一）对学生答题的思考

（二）利用GGB进行动态实验探究

图1

结论：已知，是双曲线的两条弦，它们所在直线的斜率分别为，，则，，，四点共圆的充要条件是+＝0.据此我们在感叹结论如此神奇的同时，又欲罢不能地借助GGB软件继续探索任意椭圆、双曲线、抛物线与圆相交于四点的情况，分别如图2、图3、图4所示.

图2

实验探究成果：若椭圆与圆有四个交点，四点两两连线，则对应边直线的斜率必互为相反数.

图3

实验探究成果：若双曲线与圆有四个交点，四点两两连线，则对应边直线的斜率必互为相反数.

图4

实验探究成果：若抛物线与圆有四个交点，四点两两连线，则对应边直线的斜率必互为相反数.

根据探究结果，我们可以得出一般性结论，若圆锥曲线与圆相交于，，，四点，则四点构成的三组直线（与，与，与）斜率相反（若存在斜率），或者叙述为倾斜角互补.我们可以用八个字将其简述为“与圆四交，叉连互补”.

（三）追本溯源，高考题背景的研究

（1）求椭圆的方程；

经过对比，发现这两道高考题如出一辙，都源于人教A版选修4-4第38页例4“如图5所示，，是中心为点的椭圆的两条相交弦，交点为两弦，与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1＝∠2.求 证：｜｜·｜｜＝｜｜·｜｜”为背景进行命制的，这体现了高考题有源可溯这一特点.四点共圆的知识在数学学习中有着重要的意义，多年来，四点共圆问题在高考或数学竞赛中频繁出现，很多试题都是以“四点共圆”作为解题手段或解题目的，考查学生对平面几何知识的掌握与运用情况的.备考过程中，教师要善于引导学生重视并学会归纳一些结论，从而快速解决高考或竞赛题目.

图5

三、运用GGB软件进行教学的若干反思

（一）利用GGB软件，激发学生的学习兴趣

高中解析几何模块知识是高中数学的主要内容之一，解析几何知识在历年高考中具有举足轻重的地位.然而在教学过程中，笔者发现学生对其概念的理解、轨迹的探索、数学结论的探究总是困难重重，学生的学习兴趣很难被激发，解析几何的课堂气氛也不太理想，教学效率十分低下.一些生源较为薄弱的学校的数学教师，对解析几何模块的教学存在恐惧、茫然、不知所措的心态，甚至有一些教师认为与其将时间用在“无用”的数学解析几何压轴题型的教学上，倒不如给其他知识模块让路.但是笔者认为，如果高考回归基础和常规，学生在此模块选择了让路，如果别的学校的考生在这个模块选择提升分数，那么这些“让路的学生”就相当于隐性退步，这一策略可谓得不偿失.因而我们一线教师还是要脚踏实地地做好这一模块的教学工作.如能立足于功能强大的动态几何软件——GGB软件，挖掘该软件在解析几何高中数学教学中的应用功能，就可以改善上述现状.我们要充分利用GGB软件的辅助功能，一方面教师在课堂上通过演示，当然条件允许的话部分环节也可以选择让学生自己操作，让探究的过程引导学生体验GGB动态教学软件本身的趣味性.另一方面，在GGB环境支持下，以前教学过程中较为抽象的、学生难于理解的数学概念、数学定理、数学结论等也会较为容易地被学生理解.在整个学习过程中，学生学习的成就感油然而生，学习解析几何的积极性自然也会被调动起来.因此，用GGB软件整合解析几何的教学，是激发学生学习兴趣的一种很好的方式.

（二）让数学变得简单、直观，提高学生的数学思维能力

高中生普遍认为，解析几何的学习非常枯燥、烦琐，很难.难在方法的多样化、公式的烦琐、运算的复杂上.解析几何涉及的知识深广，解题方法灵活多变，解题过程中会涉及大量的未知数设置、复杂的动点变换与代数运算，使得学生思维受阻，难以正确解题，甚至使学生望而却步、见之生畏.从本文的高考题的问题解决过程中，我们发现压轴高考题的思维量是相当大的，对此在课堂教学过程中，数学教师如果用GGB软件去直观地诠释问题，锻炼学生的思维能力，就会使得这类问题在学生眼中变得简单而有趣.用GGB软件充当解题的探究者，可以拨云见日般地助力问题解决，给我们的学生带来一种成功的体验和喜悦.

（三）为数学实验提供了探索的平台

GGB是国际上非常流行的数学教学平台，功能十分强大，它能让数学走入实验室，所提供的动态的图形可使数学问题可视化.而数学核心素养的培养正是在可视化的问题情境中，通过让学生进行数学问题解决的实践培育起来的.因而，借助GGB软件清晰的动态变化和几何直观，可以带领学生在数学的海洋中实验探索，帮助学生感受数学的魅力，更好地启迪学生的数学思维，开启学生的智慧，培育学生的数学核心素养.透过现象看本质，教师在课堂上通过灵活地操作GGB绘制精准的动态几何图形，可以让学生先猜后证，确定问题解决的方向，给学生提供形象、生动、直观、灵活的问题情境，推动学生问题解决能力和创新实践能力的发展.教师不仅可以将GGB运用在解析几何中定点、定值、轨迹等问题的解决上，还可以将其运用到函数、数列、概率统计等问题的解决上.用好GGB，以可视化实验引导学生，会为我们的教学带来极大的方便，能够启迪学生认识数学对象的本质特征，构建认知情境，让教与学更加丰富多彩.

（四）提高教师的教学效率，减轻学生的学习负担

灵活地运用GGB软件整合教学不但可以提高数学课堂教学的效率，还能有效减轻学生的学习负担.例如，教师在圆锥曲线的定义及其标准方程、几何性质的新授课上运用GGB整合教学，能够让学生亲历整个知识的探究过程，从而将知识的发生、发展过程动态地迁移到脑海里，加深对知识的理解程度.同时，GGB软件本身易操作，且对知识的诠释显而易见.这些特征都能够加快学生对知识的深度理解，从而提高学生的课堂学习效率，减轻学生的课后学习负担.GGB软件提供了很多便利的操作，若想快速掌握GGB软件的基本操作方法，只需要掌握GGB平台各项功能的“几何输入”方法；若想成为GGB软件的操作高手，就需要掌握“代数输入”的方法.另外，软件本身也提供了丰富的资源，可供教师进行各种数学公式的编辑及各种函数、曲线图形的构造.很多操作教师都可以在课堂上当堂完成，这就大大地减轻了教师备课时的课件制作负担，让教师即教即制图，提高了教师教学工作的效率，有利于学生透过现象掌握数学的本质.

（五）为高中数学学习架起了数形结合的桥梁

从本文对2021年全国新高考Ⅰ卷数学第21题的探索中可以看出，GGB软件在探索数学问题中，具备早在二十世纪九十年代就广泛为数学教师使用的主流数学软件的几何画板、超级画板的大部分功能，而且与这些软件相比，它还具备独到的优势，如数形同步显示等.比如，对于本文中的高考题，通过GGB软件进行展示，学生不仅能感受到四点共圆的优美性质，还能加深对问题本质的认识.我们用GGB软件直观地将几种圆锥曲线与圆相交于四点的情形呈现给学生，随着圆和圆锥曲线的不断变换，四点构成的三组直线的斜率始终互为相反数，使学生从心底信服，从而产生非常深刻的印象.这一过程不仅奇妙，而且隐藏了规律，能够引导学生揭开问题的面纱，激活学生的思维，让其积极地通过代数运算探寻真相，从代数证明的角度对问题进行拓展，提高学生的数学思维能力.同一个数学对象，在GGB软件环境下用数和形两种方式同步显示出来，这一动态过程实则是深入学习数学、思考数学，从思维上解决数学问题的过程，其中蕴含着数形结合的思想、解析几何的原理.对于学生来说，借助GGB的教学可以让其形成对数学问题、数学对象的多元表征.总之，用GGB软件整合高中数学的教学有利于学生在心理上建立和强化数形结合思想，同时架起数形结合的桥梁，实现寓美于教、以美启智的教学目标.