解析几何运算策略的分析与选择

广东省佛山市顺德区第一中学 魏 智

解析几何向来是高考的必考题，且分值占比较大，而且对学生基本功与素养的要求较高。日常教学与备考向来重视解析几何题的反复磨炼，总结模型，积累技巧，花费了很多时间与精力。然而事实是相当大的一部分学生在考试中仍然拿不到理想的分数。原因当然是多方面的，但其中重要一条是，考试的时候学生花相对多的时间去想“怎么算”，真正计算、写步骤的时间不够，以至于错漏百出。那么怎样才能减少想的时间，增加算与写的时间呢？

实际上，我们可以将解析几何题目当作一个小故事来看，有背景交代与情节发展。有的题目背景清晰，情节简单，而有的题目背景繁杂、情节“跌宕起伏”或“一波三折”。总结近年来各类高考的解析几何解答题，不难发现如下特点：（1）情节简单的题目相对较多（约占55%），情节相对丰富的约占45%；（2）全国卷多以简单情节为主，地方卷多以复杂情节为主。一般而言，情节简单的，主要工作在于翻译符号语言、图形语言，情节丰富的，主要工作在于分析故事情节，选择运算路径。

一、简单情节的理解与翻译

图1

分析：直线l过点F（1，0），很容易设出其方程。∠OMA＝∠OMB，说明x轴是∠AMB的角平分线，则有直线MA与直线MB关于x轴对称，进而有MA与MB的倾斜角互补，从而有MA与MB的斜率之和为零。

解析：当直线l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°。

当直线l与x轴垂直时，△AMF≅△BMF，所以∠OMA＝∠OMB。

当直线l与x轴既不重合又不垂直时，设其方程为

思路二：要证∠OMA＝∠OMB，只需证直线MA与直线MB关于x轴对称，只需证点A（x1，y1）关于x轴的对称点A′（x1，－y1）在直线MB上，只需证kA′M＝kBM，

思路三：要证∠OMA＝∠OMB，只需证MA与MB的倾斜角互补，即证

本题是2018年高考全国Ⅰ卷理科第19题，非常具有典型性与代表性。此题背景为方程已知的椭圆，简单清晰；情节简单，过焦点的直线l与椭圆相交。按通性通法来看，此题会走“联立方程＋消元＋韦达定理”的路子。计算量的大小，关键在于如何翻译∠OMA＝∠OMB。由上可以看出，由角平线来翻译最复杂，用对称翻译适中，用斜率来翻译最简洁。一般而言，情节简明的题目，首先要做好翻译工作，然后就是按部就班地进行计算。当然有的翻译工作简单，有的翻译工作相对比较困难。

由于一般而言依照题目的表达方式去直接计算，往往计算量较大，抑或者题目没有正面告诉怎么算，只是告诉要算什么。因此就需要解题者去做一个翻译工作。所谓的翻译就是将题目要算的东西转换成一种恰当的相对简洁的方式去计算，比如上述例题，题目只是让证明两个角相等，如何证明？就需要做另外的翻译。

二、情节丰富时的分析与选择

例2 过定点（6，0）的直线l与抛物线y2＝4x交于P，Q两点．连接QF（F为抛物线的焦点）并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR与抛物线相切时，求直线l的方程（见图2）。

图2

分析：此题背景简单，为方程的已知的抛物线、过定点的直线。

但其情节较为复杂，将此小故事按情节发展解构可有：直线l→点P、Q→直线QF→点R→直线PR。

结局是PR与抛物线相切。理清情节以后，一般可以选择的运算路径有：①情节发展计算（顺算）；②从结局倒推式计算（倒算）；③从中间选择一处作为计算的起点。

解析：设直线l的方程为x＝my＋6（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）联立直线与抛物线可得y2－4my－24＝0，于是y1＋y2＝4m，y1·y2＝－24。

代入（*）式可得x2＋x1＝13，所以有x1＝9，x2＝4或x1＝4，x2＝9。

所以直线PQ的方程为2x±y－12＝0。

对于情节较复杂的题，首先必须理清题目所讲故事的来龙去脉，将前因后果的条理弄清楚。一般而言，可先选择依照故事的情节来计算即顺算（思路一）；当顺算比较复杂或难以处理时，可考虑从情节的终点出发倒着算即倒算（思路二）；能力较高的同学经过分析亦可以从中间选择一个节点开始计算（思路三）。不同的计算顺序，计算细节、计算量有所不同。选择计算顺序后，不能一味地死算，需要注意计算细节的优化，如思路一中，直线PR与抛物线相切，可以用△＝0或者导数处理，明显用△＝0处理会非常麻烦；思路二中，点R在直线QF上，可以用直线方程或者三点共线处理，显然三点共线处理更清晰；思路三中，在得出x1x2＝36后，要能抓住其与前两式的联系，从而想到将二者相乘。

分析：本题背景简单清晰，不过情节较为丰富，先理清题目情节，如下：点A→直线l→点B，垂线MH→BF⊥FH，∠MOA≤∠MAO，结局是直线l的斜率范围。

可以设直线l的斜率为k（k≠0），将情节整理为：点A→直线l→点B→BF⊥FH→点H→垂线MH→点M→∠MOA≤∠MAO。

解析：设直线l的方程为y＝k（x－2）。

联立直线与椭圆得（4k2＋3）x2－16k2x＋16k2－12＝0（△＞0）。

此题故事情节较为丰富，参与的几何元素较多，各个角色的登场是有先后顺序的。需要对情节进行较为明晰的梳理，认清内在逻辑，才能找到恰当的计算方法，不然盲目按照常规套路走，可能什么都算不出来。对能力较强的学生来说，可以很顺利，对能力较弱的学生则比较困难，一般可以尝试顺序与倒序的路子。

三、结语

综上所述，对背景清晰、情节简单的题目一定要做好翻译工作，翻译得当题目才更有把握。对情节复杂的题目，先将题目的情节理清楚，一步一步看懂。先按题目的顺序进行预估，可行就落实，觉得计算量大或节点不清，可尝试换成倒序式的计算。当然解析几何题作为传统的中等难度题，本质上是综合性的题目，是考查学生学科素养的重要板块，所以要完成得漂亮需要较强的综合能力，如运算能力、数形结合能力、逻辑推理能力等。本文的研究旨在为考生提供一个处理问题的一般思维与切入点，让考生知道做圆锥曲线题要干什么，解题不再盲目，真正根据题目已知来解题，而不是记套路、记模式，依据经验解题，从而真正在解题中培养与提升学科素养。