Landau-Lifshitz方程基于外推法的二阶BDF投影方法

赵果玫

(温州大学数理学院，浙江温州 325035)

Landau-Lifshitz（LL）方程描述了连续铁磁体中磁化强度的演化，对理解非平衡磁学有着重要意义．类似于流体动力学中的Navier-Stokes方程，LL方程在铁磁物质的动态磁化理论中扮演了极为重要的角色，成为研究的基石．由于LL方程是一个强非线性偏微分方程，无法求出精确解的解析表达形式，往往通过数值模拟来了解LL方程解的特征．研究LL方程的数值算法成为国际数学界广泛关注的热点问题之一．本文主要考虑带有交换场的Landau-Lifshitz方程：

本文基于球面投影方法和外推方法，构造求解LL方程的二阶Backward Difference Formula（BDF）部分投影有限元算法，使得数值解可精确地满足模为1的约束．同时在时间步长条件τ=O(h)下，从理论上证明了精确解和数值解之间具有最优的L2误差估计．

1 预备知识

2 二阶BDF投影格式

下面给出求解Landau-Lifshitz方程（1）的二阶BDF有限元投影格式方法．

显然，这里所构造的二阶BDF投影格式（6）―（9）可以在逐点意义下精确地保持数值解的模为1．为证明最优的有限元误差估计，假设Landau-Lifshitz方程（1）存在唯一的局部强解m，满足如下正则性：

3 误差估计