含随机分布裂纹材料的剪切模量

崔 崧, 吕 嫣, 陈岚峰

(1. 沈阳师范大学 物理科学与技术学院, 沈阳 110034;2. 沈阳师范大学 辽宁省射线仪器仪表工程技术研究中心, 沈阳 110034)

0 引 言

研究内部缺陷对材料机械性能的影响,可以采用损伤力学的方法。损伤力学的方法大致可分为2种:基于宏观性能的唯象方法[1-4]和基于损伤本质的细观方法[5-8]。还可以将二者结合起来,探究损伤的细观机理和材料宏观的力学性能之间的联系,这也是今后损伤力学发展的趋势。

剪切模量是材料的机械性能之一,是衡量材料机械强度的一个重要指标,当材料内部存在缺陷时,其剪切强度会相应地下降,下降的程度与裂纹的分布状况有关。通过平均化方法求出一个代表性体积单元局部的细观应力和应变,再利用统计方法计算其宏观应力和应变,进而可得到剪切模量与裂纹分布之间的关系。

1 远端受剪切薄板内部的代表性单元

考虑一个二维平面问题的无限大薄板,薄板远端受均布剪力q,如图1所示。薄板内部取一个代表性单元ΔV,其中含有多条微裂纹,这些裂纹的长度和方向按照某种规律随机分布。

当某些裂纹受到压剪载荷作用时,裂纹面间可能会有摩擦滑动[9-11],这必然会对ΔV的剪切模量产生影响。设想ΔV里的每一条裂纹都包含在一个局部的代表性单元里,如图2所示,该单元长为2l,宽为2h,裂纹长为2L,且与x轴夹角为θ。在远端剪力q的作用下,设裂纹面上的正应力为N′,剪应力为q′,则裂纹的可能状态有3种:

图1 远端受剪力的薄板Fig.1 Plate under remote shear

图2 ΔV内的局部代表性单元Fig.2 Local representative element in ΔV

1) 裂纹面受拉伸作用而张开,此时N′≥0,q′=0;

2) 裂纹面受压剪作用闭合,且裂纹面间没有摩擦滑动,此时N′<0,|q′|<μs|N′|,其中μs为材料的摩擦系数;

3) 裂纹面受压剪作用闭合,且裂纹面间有摩擦滑动,此时N′<0,|q′|>μs|N′|。

裂纹面处于上述的何种状态取决于裂纹的角度θ。根据文献[11],当90°≤θ<180°时,裂纹面处于张开状态;当0°≤θ

为了求出薄板内任一点的应力和应变,可以采用弹性力学理论中的复变函数法[12],先根据应力边界条件给出适合的复变函数φ1(z),ψ1(z)的具体形式,再按照公式:

(1)

和

(2)

分别求出薄板在平面应力条件下任意一点(x,y)的位移分量u和v以及应力分量σx,σy和τxy。其中,式(1)中的E为材料的杨氏模量,μ为泊松比。

图2中的裂纹面处在不同的状态时,函数φ1(z),ψ1(z)具有不同的形式,具体可参考文献[11]。比如裂纹面之间若有摩擦滑动,则裂纹面间就有摩擦力τf=μs|N′|,这种应力边界条件对应的复变函数为

同理,由公式(2)可求出局部代表性单元边界上各点的剪应力分量,再求出其平均值,就得到了局部代表性单元上的局部剪应力τxy。局部代表性单元上的剪应力τxy和剪应变γxy可看作ΔV内每一条微裂纹附近的局部剪应力和剪应变。

显然,ΔV内的每一条裂纹附近的局部剪应力τxy和局部剪应变γxy均与裂纹的长度和角度有关,即

τxy=τxy(L,θ),γxy=γxy(L,θ)

如果ΔV内的裂纹分布概率密度函数为f(L,θ),则ΔV的总体剪应力和剪应变分别为

(3)

利用上式,就可以得到含随机分布裂纹的代表性单元ΔV的有效剪切模量:

(4)

若将ΔV看作薄板内的一点,则用上述方法可求得薄板内任一处的剪应力、剪应变和剪切模量。

2 微裂纹完全随机分布的薄板剪切模量的计算

假设图1中的薄板含有方向完全随机分布的微裂纹,裂纹半长为a,则公式(3)可以变为

如果忽略微裂纹之间的相互作用,则每一条微裂纹附近的局部剪应力τxy就可近似为远场剪力q[13],这时薄板的有效剪切模量可表示为

α=Na2

图3 h/l的变化对曲线的影响Fig.3 Influence of h/l on relation cueve

图4 μs的变化对曲线的影响Fig.4 Influence of μs on relation cueve

3 结 语

本文利用弹性力学方法,结合基于细观力学的统计方法,分析了受剪切作用薄板内部含分布裂纹的一个代表性单元的剪切模量,并用分析得到的公式计算了微裂纹完全随机分布的薄板的有效剪切模量。该方法可以分析含各种随机分布裂纹的平面问题薄板的剪切损伤模量,还可用来分析含缺陷材料受拉伸和压缩时的有效杨氏模量,进一步可研究复杂载荷作用下的材料和结构的各项力学性能。