基于GM（1，1）模型对广西人均地区生产总值的预测

莫定源MO Ding-yuan

（百色学院数学与统计学院，百色 533000）

0 引言

广西作为西部唯一的沿海地区，是中国对外开放、走向东盟、走向世界的重要门户。近二十年，广西的经济得到快速发展，2020 年广西生产总值达到22156.69 亿元，人均地区生产总值达到44309 元。人均地区生产总值作为衡量一个地区经济发展的重要指标，也是衡量一个地区人民生活水平的一个标准，该指标可以客观反映某一地区的宏观经济运行状况，因此，分析和预测广西人均地区生产总值具有重要的现实意义。广西统计年鉴数据显示，广西2013-2020 年人均地区生产总值保持着稳步增长的态势，为了进一步分析和预测广西人均地区生产总值的未来趋势，本文对2021-2025 年广西人均地区生产总值进行预测。考虑到广西人均地区生产总值指标是等时距观测得到，该指标的时间序列隐含着指数变化规律，而且经济系统属于复杂的灰色系统范畴，符合灰色预测模型的客观条件，因此本文采用GM（1，1）模型对其进行预测分析。

1 灰色预测模型

灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息建立数学模型做出预测的一种预测方法[1]，利用离散随机数建立起的微分方程形式的模型。GM（1，1）表示一阶的、一个变量的微分方程型预测模型，GM（1，1）模型是灰色预测模型中最常用的模型。该模型对于样本数量少、规律性不强的信息也有较好的拟合效果，并且预测的精度高，因此GM（1，1）模型应用非常广泛，该模型已被科研工作者应用于经济、生态、工业、医学等各领域[2-5]，并取得许多丰硕的研究成果。GM（2，1）、DGM 和Verhulst 模型往往用于非单调的时间数列或有饱和的S 型序列。灰色预测模型在进行预测之前，需要对模型进行精度检验，常用的检验方法是残差检验和后验差检验，只有满足精度要求的模型才能运用于预测研究。

1.1 GM（1，1）模型的建立

③构造数据矩阵B 和列向量Y：

④新数列可用如下的微分方程表示：

其中，a 和u 为待定的系数，利用最小二乘法即可得到参数估计：

⑤利用得到的参数估计，求解即可得到时间响应函数：

上式得到的即为累加数列的值，再累减逆运算即得到原始数列预测值：

1.2 模型的验证[6-9]

GM（1，1）模型验证的常用方法有两种：残差检验和后验差检验。

1.2.1 残差检验

①先计算残差的值：

②再计算相对残差的值：

1.2.2 后验差检验

根据相关参考文献[6]，模型验证等级参照表如表1 所示。只有当模型满足一定精度要求时，即通过模型验证时，才能将该模型应用于预测研究。在表1 中，相对残差e（k）、均方差比值C 的数值越接近于0，小误差概率P 的数值越接近于1，则表示模型精度越高；反之，则表示模型精度越低。

表1 模型验证等级参照表

2 广西人均地区生产总值实证分析

本文主要研究2013-2020 年广西人均地区生产总值的变化规律，通过已知数据建立GM（1，1）模型，并对模型进行预测分析。本文所用的2013-2020 年广西人均地区生产总值指标数据来源于《广西统计年鉴》。详细数据见表2所示。

表2 2013-2020 年广西人均地区生产总值 （单位：元）

①由表2 中2013-2020 年广西人均地区生产总值的

表3 累加生成数据

②构造X（1）的均值序列Z（1），则Z（1）=（40762.5，70509，…，260504.5）。

③构造数据矩阵B 和数据向量y 分别为：

④利用最小二乘法估计参数：

⑤经计算，得到的GM（1，1）模型的方程为：

⑥根据上述模型，计算2013-2020 年广西人均地区生产总值累积预测值及2013-2020 年广西人均地区生产总值预测值，并计算绝对值残差和相对残差，计算结果如表4 所示。除了验证相对残差之外，还需要对模型进行后验差检验，模型的后验差检验结果如表5 所示。

GM（1，1）模型需要通过相对残差验证和后验差检验才能用于预测研究。GM（1，1）模型的相对残差越小越好，由表4 可知，平均相对残差为1.16%，模型精度达到98.84%，因此从相对残差角度看，根据表1 中的模型精度划分，该模型精度等级为良好。GM（1，1）模型的后验差检验，后验比方差C 的值越小越好，而小误差概率P 的值越大越好，模型的后验差检验需要综合考虑C 和P 的数值，由两者共同判断模型的后验差检验，本案例的后验差检验计算结果详见表5 所示。由表5 可知，后验比方差C 为0.055＜0.35，小误差概率P 为1＞0.95，因此从后验差检验角度来看，根据表1 中的模型精度划分，该模型精度等级为优秀。GM（1，1）模型经过上述的相对残差检验和后验差检验，模型检验通过。因此，可运用该模型对2021-2025 年广西人均地区生产总值进行预测研究。

表4 模型预测及相对误差计算

表5 后验差检验

⑦模型预测。根据GM（1，1）模型对2021-2025 年广西人均地区生产总值进行预测，预测结果如表6 所示。将表6 中的结果用折线图表示，如图1 所示。

由表6 可知，GM（1，1）模型的预测结果显示，2021 年广西人均地区生产总值的预测值为48857.84 元，2022 年预测值为52669.04 元，2023 年的预测值为56777.53 元，2024 年的预测值为61206.50 元，2025 年的预测值为65980.97 元。由图1 可见，广西人均地区生产总值在2021-2025 年保持平稳增长，而且增长速度较快。GM（1，1）模型的预测结果，既可为广西2021-2025 年的经济发展状况提供科学依据，又可为地方政府和管理部门出台相关经济政策提供理论支撑。

图1 2021-2025 年广西人均地区生产总值预测

表6 GM（1，1）模型对广西2021—2025 年人均地区生产总值的预测 （单位：元）

3 政策与建议

3.1 创造良好营商环境，加大投资

广西首府南宁作为中国—东盟博览会的永久举办地以及“一带一路”的重要门户城市，政府应当充分利用本地区的优越条件，创造良好的营商环境，加大投资力度，吸引国内外有影响力的企业在广西投资。同时，加强与东部发达地区的合作，形成友好的合作贸易伙伴关系。

3.2 发展优质特色产品，打造品牌

柳州螺蛳粉、百色芒果、桂林米粉、横县茉莉花茶等是广西极具地方特色的地理标志品牌，在国内享有较高知名度，但还需进一步拓宽市场渠道，特别是拓展国外消费市场。政府应当鼓励个人或企业通过抖音等平台推介优质农产品，进一步提升地理标志品牌的产品知名度。同时，通过高端技术和营销手段打造特色产品的品牌效应。

3.3 引进高端科技人才，引领发展

贯彻以人为本的发展理念，大力引进国内外高科技尖端人才，以实现广西产业的升级与转型。为了留住高端科技的人才，政府要实施一系列引才留才的优惠政策，发挥高科技人才在广西经济发展中的引领作用，为广西经济的快速发展做铺垫。

4 结语

本文运用GM（1，1）模型对广西2021-2025 年人均地区生产总值进行预测，研究表明，未来五年广西人均地区生产总值仍保持稳定增长趋势。经模型验证，该模型的拟合效果比较理想，预测精度等级从相对误差角度属于良好等级，从后验差检验角度为优秀等级，因此该模型具有较高的可信度。对广西2021-2025 年人均地区生产总值进行预测，为广西未来经济的发展状况提供了科学客观的理论支撑，促使广西地区的经济实现跨越式发展。最后，立足广西经济发展现状及产业结构特点，提出加快广西经济发展的政策与建议。